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无穷级数第十二章 无穷级数 新大纲透析 考生应按大纲的要求，了解常数项级数、正项级数敛散性的判别法、任意项级数以及幂级数的性质，学会运用将初等函数展开为x或x-x0的幂级数。 考点详解 本考点要求考生全面掌握无穷级数的概念和性质，其中： 1、理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质； 2、掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法； 3、 掌握几何级数、调和级数、p级数的敛散法； 4、了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法； 5、了解幂级数的概念； 6、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质； 7、掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法； x8、会运用e，sinx，cosx，ln，1/的麦克劳林级数，将一些简单的初等函数展开为x或x-x0的幂级数。 历年考题这部分有如下形式：单项选择题、填空题、计算题。 单项选择题：判断常数项级数的审敛法；填空题：求常数项级数的收敛半径；计算题：求幂级数的展开式； 证明题：证明级数的收敛性。. 知识点构架图 1 无穷级数 常数项级数的概念和性质 常数项级数的概念 常数项级数的基本性质 常数项级数的审敛法 正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 幂级数 函数项级数的概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 函数展开成幂级数 内容详析 一、常数项级数的概念和性质 常数项级数的概念 1级数的概念 定义1 如果给定一个数列u1，u2，u3，un，则由这数列构成的表达式u1 + u2 + u3+ un +叫做(常数项)无穷级数，记为，其中第n项un叫做级数的一般项 定义2 作级数前n项的和sn =s，sn称为级数åun=1¥n 的部分和 定义3 如果级数的部分和数列 sn 有极限s，即limsn =s，则称无穷级数收敛，这时n®¥极限s叫做这级数的和，并写成s = u1 + u2 + u3+ un +；如果 sn 没有极限，则称无穷级数发散 显然当级数收敛时，其部分和sn是级数和s的近似值，他们之间的差值叫做级数的余项。用近似值sn代替和s所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是rn。 例1无穷级数åaqn=1¥n= a + aq +aq + +aq+ n2叫做等比级数，其中a¹0，q叫做级数的公比，试讨论级数的收敛性。 2 a-aqnaaqn解 如果q¹1，则部分和sn = a + aq +aq + +aq= =-1-q1-q1-q2n-1当q1时，由于limqn =0，从而limsn=n®¥n®¥aa，因此这时级数收敛，其和为。当q1 1-q1-q时，由于limqn=¥，从而limsn=¥，这时级数发散. n®¥n®¥如果q=1，则当q=1时，sn= na ®¥，因此级数发散；当q=-1时， 级数成为a-a+a-a+,显然sn随着n为奇数或偶数而等于a或等于零，从而sn 的极限不存在，这时级数也发散。 综合上述结果，我们得到：如果等比级数的公比的绝对值q小于1时，级数收敛；如果q大于1时，则级数发散. 例2 证明级数1+2+3+n+是发散的 证 这级数的部分和为s=1+2+3+4+n=显然limsn=¥，因此所给级数是发散的 n®¥n(n+1)2例3 判定无穷级数 111+×××+×××的收敛性 1×22×3n(n+1)111， =-n(n+1)nn+1解 由于un=因此sn=111 +×××+1×22×3n(n+1) =+×××+ 223nn+11 n+1n®¥n®¥从而limsn=lim=1 n+1所以这级数收敛，它的和是1。 收敛级数的基本性质 性质l 若级数 3 åun=1¥n收敛于和为s，则级数åkun=1¥n也收敛，且其和为ks 性质2 若级数为s±d åun=1¥n、åvn=1¥n分别收敛于s、s，则级数å(un=1¥n±vn)也收敛，且其和性质3 在级数中改变(去掉、加上或改变)有限项，不会改变级数的敛散性· 性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和，但加括号后所成的级数收敛，去括号后原级数未必收敛 性质5 如果级数即limun=0 x®¥åun=1¥n收敛，则它的一般项un趋于零 二、常数项级数的审敛法 正项级数及其审敛法 定义1 若un³0，则¥åun=1n称为正项级数 定理1 正项级数收敛的充要条件是部分和数列s有界 定理2(正项级数的比较审敛法) 设级数åun=1¥n、åvn=1¥n都为正项级数，且un£vn。若级数åun收敛，则级数åvn收敛；反之，若级数åun发散，则级数åvn发散。 n=1n=1n=1n=1¥¥推论设级数åun=1¥n、åvn=1¥n都为正项级数，若级数åvn=1¥n收敛，且存在正整数N，使当n³N时有un£kvn成立，则级数¥åun=1¥n收敛；若级数åvn=1¥n发散，当n³N时有un³kvn成立，则级数例1讨论p级数 åun=1n发散。 1111+×××+××× (2) 的收敛性，其中常数p>0 2p3p4pnp11解，设p£1，这时p³，但调和级数发散，因此根据比较审敛法可知，当p£1时级数nn1+发散。 设p>1，因为当k-1£x£k时，有11，所以 £kpxp 4 kk111 p=òdx£òk-1xpdx k-1kpk 从而级数的部分和 nkn111sn=1+ åp£1+åòk-1pdx=1+ò1pdx xxk=2kk=2n =1+ 111< 1+ p-1np-1这表明数列 sn有界，因此数级收敛。 综合上述结果，我们得到：p级数当p>1时收敛，当p£1时发散。 例2证明级数ån=1¥1是发散的 n2证 因为n<，所以11>.而级数 n+1nån+1=2+3+×××+n+1+××× n=1¥1111 是发散的.根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3设级数åun=1¥n、åvn=1¥n都为正项级数， ¥¥un=l(0£l<+¥）(1)如果lim，且级数åvn收敛，则级数åunn®¥vn=1n=1n收敛； ¥¥unun=l>0或lim=+¥，且级数åvn发散，则级数åun发散. (2)如果limn®¥vn®¥vn=1n=1nn¥例3 判定级数åsinn的收敛性 n=111¥1n解 因为lim=1>0而级数å发散， n®¥1n=1nnsin根据定理3知此级数发散 定理4设级数¥åun=1n为正项级数，如果 5 limn®¥un+1=r， unun+1=¥）时级数发散；r=1时级数可n®¥un则当r<1时级数收敛；r>1时！1=lim=lim=0<1， n®¥un®¥n®¥nn！n 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 以这级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差为 111+× ××n！2111 = n！n+1111 = n！nn111 = =1设级数åun=1¥n 6 如果limnun=l>0，则级数n®¥n®¥åun=1¥¥n发散； 如果p>1，而limnun=l(0£l<+¥），则级数n®¥påun=1n收敛. 例7 判定级数åln(1+n=1¥1)的收敛性 2n11):(n®¥),，故 22nn1122 limnun=limnln(1+2)=limn2×2=1 n®¥n®¥n®¥nn 解 因ln(1+根据极限审敛法可知所给级数收敛 例8判定级数¥ån=132n+1(1-cos)的收敛性 n32p解 因为limnun=limnn®¥n®¥n+1(1-cos) nn+11p212×=pn2n2p =limnn®¥2根据极限审敛法可知所给级数收敛 交错级数及其审敛法 1. 定义1所谓交错级数就是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：u1-u2+u3-u4+×××， 或 -u1+u2-u3+u4-××× 2. 定理7如果交错级数un满足条件： n=1å¥n-1un³un+1； limun=0， n®¥则级数收敛，且其和s£u1，其余项rn的绝对值rn£un+1 绝对收敛和条件收敛 1.一般的级数 u1 + u2 + u3+ un +， 7 它的各项为任意实数.如果级数åun=1n¥n各项的绝对值所构成的正项级数åun=1¥¥n收敛，则称级数åun=1¥n绝对收敛；如果级数åun=1¥收敛，而级数åun=1¥n发散，则称级数åun=1n条件收敛. 2. 定理8 如果级数åun=1¥n绝对收敛，则级数åun=1¥n必定收敛. 例9 判定级数sinna的收敛性 å2nn=1¥¥¥sinna11sinna解 因为，而级数收敛，所以级数也收敛. £åå22n2n2nnn=1n=1 由定理8可知，级数sinna收敛 å2nn=1n¥例10 判定级数åax-xnnn=0¥0x小于x0的收敛性 11n2解，这是交错级数. 记 un=n，有 2n11n1nu=®en2n21而e>1，可知un不趋向于0，因此所给级数发散. 23定理10设级数它们的柯西乘积 åun=1¥n、åvn=1¥n都绝对收敛，其和为s和s，则u1v1+×××+××× 也是绝对收敛的，且其和为s×s 三、幂级数 、函数项级数的概念 如果一个定义在区间I上的函数列 ，u2x），u3x），nx），则由这函数数列构成的表达式 11n-111-+-×××+××× 23n8 称为定义在区间I上的无穷级数，简称级数 (二)幂级数及其收敛性 1.幂级数的概念 设an为常数，则形如¥åa的级数称为x-xnnnn=00的幂级数，常数an称为幂级数的系数.当x0=0时¥åan=0¥nxn称为x的幂级数. 2.(阿贝尔定理) 如果级数åan=0nxn当x=x0时收敛，则适合不等式x<x0的一切x使这幂级数绝对收敛.反之，如果级数åan=0¥nxn当x=x0发散，则适合不等式x>x0的 一切x使这幂级数发散. 推论 如果幂级数naxån不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有n=0¥一个确定的正数R存在，使得 当x<R时，幂级数绝对收敛； 当x>R时，幂级数发散； 当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散. 正数R通常叫做幂级数的收敛半径.开区间叫做幂级数的收敛区间.再由幂级数在x=±R的收敛性就可以决定它的收敛域是，-R,R),(-R,R或-R,R这四个区间之一 3. 如果 1+x+ 其中an、an+1是幂级数121， x+×××+xn+×××2！n！åan=0¥nx的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径nR=1(r¹0);R=+¥(r=0);R=0， r 例1求幂级数 nx2x3n-1x+-×××+××× x-23n的收敛半径与收敛域 9 解 因为r=limn®¥an+1an1=limn+1=1， n®¥1n 所以收敛半径R=1=1 r11n-11+-×××+×××，此级数收敛； 23n111 对于端点x=-1，级数成为 -1-×××-，因此收敛域是(-1,1 -此级数发散，×××23n 对于端点x=1，级数称为交错级数1-例2 求幂级数 121x+×××+xn+×××的收敛域 2！n！1a1！ 解，因为r=limn+1=lim=lim=0， n®¥an®¥n®¥n+11nn！所以收敛半径R=+¥，从而收敛域为 1+x+例3 求幂级数 x的收敛半径ån！nn=0¥ 解 因为r=limn®¥an+1！= lim=+¥， n®¥ann！所以收敛半径R=0，即级数仅在x=0处收敛 (x-1)n例4求幂级数ån的收敛域 n=12×n¥an+1tn2n×n1=，解，令t=x-1，上述级数变为ån，因为 r=lim= limn+1 n®¥an®¥22×n(n+）12n=1n¥ 所以收敛半径R=2 ，收敛区间为t< 2，即-1< x< 3 n¥1 当x=3时，级数成为å，这级数发散；当x=-1时，级数成为å，这级nn=1n=1n¥数收敛， 因此原级数的收敛域为-1,3) 、幂级数的运算 1. 性质1幂级数åan=0¥nxn的和函数s在其收敛域I上连续 10 2. 性质2幂级数åan=0¥n的和函数s在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式 xn¥¥xé¥x1xann+1nùns(x)dx=axdx=axdx=x(xÎI) åååånúòòò00ê0nnn+1n=10ën=0û0¥逐项积分后所得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径 3 性质3幂级数åan=0nn¥nxn的和函数s在其收敛区间内可导，并有逐项积分¥¥0公式s¢(x)=(åax0¥)¢=å(anx)¢=ånanxn-1(x<R), nn=0逐项积分后所得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径 四 函数展开成幂级数 f(x)=åan(x-x0)n+×××设0¥å0¥f(n)(x0)f¢(x0)fn(x0)n(x-x0)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)nn!1!n!在x-x0<R上成立，其中R>0或R=+¥，已知右端的幂级数求左端的函数f(x)，这是幂级数求和。反之，已知左端的函数f(x)求右端的幂级数，则是函数的幂级数展开问题. 1. 泰勒级数与麦克劳林级数 设函数f(x)在点x0的某一领域内具有任意介导数，则称级数 å0¥f(n)(0)nf¢(0)f¢¢(0)2f(n)(0)nx=f(0)+x+x+×××+x+××× n!1!2!n!fn(x0)(x-x0)n+××× +×××+ n!为函数f(x)在点x0的泰勒级数 特别,若x0=0，则级数 å0¥f(n)(0)nf¢(0)f¢¢(0)2f(n)(0)nx=f(0)+x+x+×××+x+××× (2) n!1!2!n!为函数f(x)的麦克劳林级数 11 注，只要函数f¢(x),f¢¢(x),Lf(n)(x)x在x=x0的某一领域内具有任意介导数就73有式式），不过这样得到的级数是否收敛，并且是否收敛于原来的函数f(x)还需要进行检验 2. 函数f(x)展开成x的幂级数 (n)第一步 求出f(x)的各介导数，f(0),f¢(0),f¢¢(0),Lf(0)L，如果在x=0处某介73导数不存在，就停止进行，例如在x=0处，f(x)=x的三介导数不存在，它就不能展开为x的幂级数 第二步 求出函数以及各介导数在x=0处的值 (n) f(0),f¢(0),f¢¢(0),Lf(0),L 第三步，写出幂级数 f¢(0)f¢¢(0)2f(n)(0)nx+x+×××+x+××× f(0)+1!2!n!并求出收敛半径 第四步利用余项的表达式Rn(x)=1，考察当x在区间f(n+1)(qx)xn+1(0<q<1）(n+1)!内时余项的极限是否为零.如果为零，则函数f(x)在区间的幂级数展开式为 f¢(0)f¢¢(0)2f(n)(0)nx+x+×××+x+××× f(x)=f(0)+1!2!n!例1 将函数f(x)=e展开为x的幂级数 解 所给函数的各介导数为f(n)(n)(n)(x)=ex因此f(0)=f(0)，这里fx2xn(0)=f(0)，+L+L，于是得级数1+x+它的收敛半径R=+¥ 2!n! 因为当n®¥时，有Rn(x)®0，于是得展开式 x2xn+L+L e=1+x+2!n!x例2将函数sinx展开为x的幂级数 12 解 给函数的各介导数为f(n)(x)=sin(x+n× f(n)p2， )(0)循环取0,1,0，-1 L ，于是得级数 x3x5 x-+-L+(1-k)3!5!xk2+(k2+1R=+¥ L+它的收敛半径,1)!因为当n®¥时，有Rn(x)®0，于是得展开式 x3x5x2k+1kSinx =x-+-L+(-1)+L,-¥<x<+¥ 3!5!(2k+1)!前面我们已经求得的幂级数展开式有 xne=å n=0n!x¥x2k+1Sinx= å(-1) (2k+1)!k=0¥k¥1=å(-1)nxn 1+xn=0利用这三个展开式，可以得到许多函数的幂级数展开式，例如 对式两边从0到x积分，可得 (-1)nn+1¥(-1)n-1nx=åx(-1<x£1) ln=ån+1nn=0n=1¥对式两边求导，即得 (-1)k2kx(-¥<x<+¥); Cosx=å(-1)(2k)!k=0¥k把式的x换成xlna，可得 a=exxlna(lna)nn=åx(-¥<x<+¥) n!n=0¥把式的x换成x，可得 ¥1n2n=(-1)x å21+xn=02对上式从0到x积分，可得 (-1)n2n+1arctanx=åx(-1£x£1) 2n+1n=0¥ 13 例3 把函数f(x)=ln(1+x) 展开为x的幂级数 (-1)n-1n 解 由ln= åx(-1<x£1) nn=1¥(-1)n-1n¥(-1)n-1n¥(-1)n-1n+1得 f(x)=(1-x)åx=åx-åx nnnn=1n=1n=1¥(-1)n-1n¥(-1)nn =åx-åx nn=1n=2n-1¥(-1)n-1(2n-1)nx(-1<x£1) =x+ån(n-1)n=2¥ 例4把函数sinx展开成的幂级数 4 解 因为 sinx=sinê 并且有 pù1éppùép+(x-)ú=cos(x-)+sin(x-)ú ê44442ëëûû(x-)2(x-)4p4+4-L(-¥<x<+¥) cosx(-=1-)42!4!(x-)3(x-)5pp4+4-L(-¥<x<+¥) Sin(x-)=(x-)-443!5!ppppp2p3éù(x-)(x-)1êp4-4+Lú(-¥<x<+¥) 1+(x-)-Sinx=êú42!3!2êúëû真题演练 一、 选择题 1现有下列命题： (1)若级数å(un=1¥2n-1+v2n)收敛，则åun收敛. n=1¥(2) 若åun=1¥n收敛，则åun=1¥n+100收敛. 14 ¥un+1若lim>1，则åun发散. n®¥un=1n¥若å(un=1n+vn)收敛，则åun和åvn必收敛 n=1n=1¥¥A(1),(2) B.(2),(3) C.(3)，(4) D. (1)，(4) 2limun=0是级数n®¥åun=1¥n收敛的( ) A必要条件 B充分条件 c充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 3下列命题中错误的是( ) A若åun=1¥¥n与åvn=1¥n都收敛，则级数å(un=1n¥n+vn)必收敛 B若åun=1¥n收敛，åvn=1n¥n发散，则å(un=1n¥+vn)必发散 C若åun=1¥n与åvn=1¥发散，则å(un=1¥+vn)不一定发散 ¥ D若å(un=1¥n+vn)收敛，则åun和åvn必收敛 n=1n=1¥4若级数åan=12n(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处 A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D. 收敛性不能确定 5设a为常数，则级数ésin(na)1ùåên2-ú ( ) nûn=1ë¥A.绝对收敛 B发散 C条件收敛 D收敛性与a的取值有关 6 设常数t>0,且级数åan，则级数å(-1)n2n=1n=1¥¥ann+t2A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D收敛性与t的取值有关 7. 下列各选项正确的是 A. 若åun=1¥2n与åvn=1¥2n都收敛，则级数å(un=1¥n+vn)2必收敛 15 B. 若åuvn=1¥nn收敛，则åun=1¥2n与åvn=1¥2n都收敛 C. 若正项级数åun发散，则un³n=1¥1. n D若正项级数åun=1¥n收敛，且un³vn(n=1,2,L)，则级数åvn=1¥n也收敛. 8若级数åa(x-1)nn=0¥n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处 A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D. 收敛性不能确定 9.设an>0,n=1,2,L，若级数¥åan=0¥n 发散，å(-1)n=1¥n-1an收敛，下列正确的是 A. åan=02n-1收敛，åan=0¥n发散 B. åan=1¥¥2n收敛，åan=1¥2n-1发散 Cå(an=1¥2n-1+a2n)收敛. D. å(an=12n-1-a2n)必收敛. 10. 若级数åan=0¥n收敛,则下列结论不正确的是 A. å(an+an+1)必收敛. B. n=1¥¥22(a-aånn+1)必收敛. n=1¥Cå(an=12n-1+a2n)必收敛. D. å(an=1¥2n-a2n+1)必收敛. 二 、填空题 1. 设幂级数åaxnn=0¥¥n的收敛半径为3，则幂级数åna(x-1)nn=0¥n+1的收敛区间为_ 2. 对于级数åun=1n，limun=0是它收敛的_条件，不是它收敛的_条件 n®¥3. 部分和数列sn是正项级数¥åun=1¥¥n收敛的_条件 4. 若级数åun=1n绝对收敛则级数åun=1n必定_；若级数åun=1¥n条件收敛，则级数 16 åun=1¥n必定_. 5. 幂级数nx2n-1的收敛半径为_ ånnn=14+(-3)¥¥xn-16. 幂级数å的收敛域是_ nn×2n=17. 幂级数三、 计算题 1. 判定下列级数的收敛性 å(nn=1¥2-1)xn的和函数是_ ånn=1¥¥1nn； (2) 1; ån=1n(n+1)1 ånn=1¥¥2n2 (3) å2 (4) n+3n+5n=12. 判别下列正项级数的敛散性 ¥(lnn)2lnnån； å； nnn=1(ln2)n=12¥ånan=1¥¥bn(a>0,b>0)； å1¥1； 2n-12(3n-1)n=1¥ån=1¥n2+1+n1n0； 1(1-cos)； ånn=1åòn=1¥xdx å1+xn=11òn401+xdx43. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性： 1111+L+； 1:33:55:7(2n-1)(2n+1)sinp6+sin2pnp+sin+L 664. 判定下列级数的收敛性： 17 n88283n8-+2-3+(-1)n+L； 99991111+L+L； 3693n1111+3+L+n+L； 3333332333n+2+3+L+n+L； 2222(+)+(11231111+)+L+(+n)+L。 22n23235. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性： 1+111+L+L； 351+1+21+31+n+L+L； 2221+21+31+n111+L+L； 2:53:6(n+1)(n+4）sin¥p2+sinp22+sinp23+L+sinp2n+L； 1ånxn=1¥¥n-1； x4n+1å； 4n+1n=1x3x5x2n-1+L+x+。 352n-17. 求下列极限： 1¥11k2(1) limåk(1+); n®¥nkn=1311é1ùn3n39L:(2)ú (2) limê2:4:n®¥ëû 18 8. 求下列幂级数的和函数： 2n-12n-2； xån2n=1¥¥(-1)n-12n-1åx； 2n-1n=1ån(x-1)n=1¥n； xnå。 n(n+1)n=1¥¥¥2n-12n-229. 设正项级数å与都收敛，证明级数也收敛 xv(u+v)åånnnn2n=1n=1n=1¥10. 讨论下列级数的绝对收敛性和条件收敛性 ¥1n+1nå(-1)p； å(-1)ln nnn=1n=1n¥vn11. 设级数åun收敛，且lim=1.问级数åvn是否收敛，试说明理由. n®¥un=1n=1n23n¥¥12. 求级数x+2x+3x+L+nx+L的收敛区间 13. 判别下列级数的敛散性 ¥11 å； åplnnn=2(lnn)n=2(lnn)¥1lnnåp åp n=2nlnnn=2n¥¥14. 讨论下列级数收敛区间 ¥3n+5nnx； ån(x+1)n ånn=1n=1¥15. 求下列幂级数的收敛域 å(-1)n=1¥n-1n¥3nxnn-1x； å(-1) nnnn=1(3) åxn=1¥n-1n¥ln(1+n)n-1(-1) å(x+1) nn×2nn=1 19 xn16. 求幂级数å的收敛域及其和函数 nn=1¥17. 求下列幂级数的收敛域及其和函数： (n-1)2åx; (2) n+1n=1¥nåxn(n+1) nn=1¥ (3) åx2n(n=1¥¥1-1) 2n+1¥un18. 若级数åun收敛，并且lim=1，能否断定åvn也收敛？ n®¥vn=1n=1n19. 将ln(a+x)展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间. 20. 将lgx展开成(x-1)的幂级数，并求展开式成立的区间. 21. 将下列函数展开成麦克劳林级数 ln(1+x+x) arctanx22.将函数f(x)= 23将函数f(x)=21+x 1-x1展开成(x-3)的幂级数. x1展开成(x+4)的幂级数. x2+3x+2224将函数ln(2x+x-3)在x=3处展开成泰勒级数. 25.将下列函数在制定点处展开成幂级数： f(x)=lnx，分别在x=1与x=2处；f(x)= 26.求幂级数x在x=1处 x+2åxn的收敛半径与收敛域 n=1¥227求幂级数 28.求幂级数å(2n+1)xn=1¥2n+2的收敛域并求其和函数 ù2n1n-1é(-1)1+åên(2n-1)úx的收敛区间与和函数f(x). n=1ëû¥x2n(x<1)的和函数f(x)及其极值. 29.求幂级数1+ å(-1)2nn=1¥n 20 30.将下列函数展开成x的幂级数： xarctantdex-11+xf(x)=；f(x)=f(x)=dt 2ò0dxx(1-x)t31. 将函数f(x)=xarctanx-ln1+x展开成x的幂级数，并求其收敛域. 2参考答案及解析 一、选择题 1.B(解析：un=(-1)n-1(n=1,2,3,L)，于是å(u2n-1+v2n)=0收敛，但åun=å(-1)n-1n=1¥¥¥n=1n=1发散，可见命题不正确； 设 åun=1¥n收敛，则前n项的部分和sn(n=1,2,L)满足limsn=s.而n®¥åun=1¥n+100的前n项的部分和Tn=Sn+100-S100,(n=1,2,L),从而limTn=S-S100,即n®¥åun=1¥n+100收敛，可见命题正确； 设limun+1u>1，由极限的保号性可知，存在自然数N，使得当n>N时，n+1>1成立，n®¥uunn这表明当n>N时，un同号且后项与前项的比值大于1.无妨设uN+1>0，于是有0<uN+1<uN+2<L<un，从而limun¹0，故åun发散，可见命题正确； n®¥¥n=1设un=1,vn=-1(n=1,2,3,L)，于是命题不正确. 2.A 3.D(解析：因为该级数å(un=1¥n+vn)=0收敛，但åun和åvn都发散. 可见n=1n=1¥¥å(un=1¥n+vn)取(1-1）+L时，不难看出该结论不成立) 4.B (解析：因为x=-1是级数的收敛点，由阿贝尔定理知，在x-1<-1-1=2内，级数绝对收敛.现x=2满足x-1<2，故选B) ¥sin(na)15.B(解析：因sin(na)£1，故由比较审敛法知å绝对收敛，但发散，å2nnn=1n=1¥ 21 故所给级数发散). 6.C(解析：因åann=1¥21收敛, å2,故n=1n+t¥å(an2+n=1¥1)收敛. 又2n+tann+t2 £ ¥an121收敛，故所给级数绝对收敛). (an+2)，故由比较审敛法知åå22n+tn=1n=1n+t¥7.A(因å0£(un+vn)2£(un+vnn=1¥)2=un2+2unvn+vn2£2un2+2vn2，又级数¥å