无穷乘积的收敛性.docx

无穷乘积的收敛性 无穷乘积的收敛性 郭州雄 摘 要 在无穷乘积的研究中，确定无穷乘积的敛散性问题是一个很重要的问题， 本文通过无穷级数与无穷乘积的关系浅谈一下判断无穷乘积敛散性的一些方法。 关键词 无穷乘积 无穷级数 The abstract in the infinite product research, determined the infinite product collects the divergence question is a very important question, this article through the infinite series and the infinite product relations discussed shallowly judges the infinite product to collect the divergence some methods. Key word infinite product infinite series 一 预备知识 定义1 设p1,p2,.,pn.(pn¹0)是无穷可列个实数，我们称他们的“积”p1.p2.pn.pn称为无穷乘积的通项或一般项. 为无穷乘积，记为Õpn，其中n=1¥从定义我们可以看出，这里有无穷多个实数相乘，当然我们无法对无穷多个实数逐一地进行乘法运算，所以必须对无穷乘积求积给出一个合 理地定义，为此构作无穷乘积Õpn的部分积数列Pn： n=1¥P1=p1P2=p1.p2 . Pn=p1.p2.pn.1 定义2 如果部分积数列Pn收敛于一个非零的有限数P，则称无穷乘积Õpn收敛，且称P为它的积，记为Õpn=P，如果Pn发散或收n=1n=1¥¥敛于零，则称无穷乘积Õpn发散。 n=1¥注意这里当limPn=0时，我们称无穷乘积Õpn发散于0，而不是x®¥¥n=1收敛于0，以后我们将会看到这样做的好处仅仅是使无穷乘积的收敛性和无穷级数的收敛性统一，下面给出无穷乘积收敛的一个必要条件： 定理1 如果无穷乘积Õpn收敛，则 n=1¥limPn=1 x®¥limm®¥n=m+1Õ¥pn=1 ¥证明 设无穷乘积Õpn 的部分积数列为Pn ，则 n=1limpn=limn®¥Pn=1n®¥Pn-1pn=limn=1m®¥mn=1m®¥limn=m+1Õ¥ÕpÕp¥n=1n 证毕 由定理1知，若无穷乘积的通项不趋于0，则无穷乘积必定发散，而当通项趋于0时，必定在某一项以后大于0，而无穷乘积的收敛性与前面有限项无关，只不过若收敛的话“积”不同罢了，所以下面我们假定无穷乘积的通项pn>0，而下面的定理将无穷乘积与无穷级数的敛散性统一起来： 定理2 无穷乘积Õpn收敛的充分必要条件是无穷级数ålnpnn=1n=1¥¥ 2 收敛。 证明：设无穷乘积Õpn的部分积数列为Pn ，无穷级数ålnpn n=1n=1¥¥的部分和数列为Sn ，则 pn=eSn 所以Sn 收敛的充分必要条件是Pn 收敛，而Pn 收敛于0，既Õpn 发散于0的充分必要条件是ålnpn 发散于¥。 n=1n=1¥¥由定理2 ，我们建立了Õpn 与ålnpn 之间的关系，于是我们n=1n=1¥¥可以通过判断无穷级数ålnpn的敛散性来判断无穷乘积Õpn的敛散n=1n=1¥¥性，下面给出两个重要的推论： 推论1 设an>0，则 无穷乘积Õ(1+an) 收n=1¥敛的充分必要条件是级数 åan 收敛。 n=1¥证明：显然级数åln(1+an)与级数åan 都是正项级数或都是负n=1n=1¥¥项级数，它们都以liman=0 为收敛的必要条件，而当liman=0 时，我n®¥n®¥们有 limln(1+an)=1 n®¥an¥于是由正项级数的比较判别法，级数åln(1+an) 收敛的充分必要n=1条件是 åan 收敛。 n=1¥ 证毕 3 推论2 设级数 åan收敛，则 无穷乘积Õ(1+an)收敛的充分n=1n=1¥¥必要条件是级数åan2 收敛。 n=1¥证明：由åan收敛，可知liman=0，由ln(1+an)£an及 n=1n®¥¥122an+o(an)an-ln(1+an)12， lim=lim=22n®¥n®¥anan2根据正项级数的比较判别法，当åln(1+an)与åan收敛时，必有n=1n=1¥¥åan=1¥2n的收敛性，反过来，当åan 收敛时 ，由于åan的收敛性，必定2n=1n=1¥¥¥可得到åln(1+an)的收敛性。 n=1 证毕 我们由定理2 可以看到，要判断一个无穷乘积的敛散性我们只需要判断对应的级数的敛散性，而由推论1及推论2可以看到正项级数在数项级数中占有重要的地位，于是我们先讨论正项级数的判别法，进而再讨论一般的数项级数的判别法. 二 正项级数的判别法 定理3 正项级数åxn收敛的充分必要条n=1¥件是它的部分和数列有上界。 定理4设åxn与åyn是两个正项级数，若存在常n=1n=1¥¥数A，成立 xn£Ayn,n=1,2,3. 则 4 当åyn收敛时，åxn也收敛 n=1¥n=1¥¥¥¥当åxn发散时，åyn也发散。 n=1n=1¥证明：设级数åxn 的部分和数列为Sn，级数åyn的部分和数列为Tn，n=1n=1则显然有 Sn£ATn,n=1,2,3. 于是当Tn有上界时，Sn也有上界，而当Sn无上界时，Tn必定无上界。 证毕 定理 4设åxn与åyn是两个正项级数，如'n=1n=1¥¥果xn与yn是同阶无穷小量，即 limn®¥xn=l(0<l<+¥) yn则åxn与åyn同时收敛或同时发散。 n=1n=1¥¥ 证明：由limn®¥xnl=l(0<l<+¥)，取e=，则存在自然数N，当n>N时， yn213lyn<xn<lyn 22由定理4，即得所需结论， 证毕 定理5 若åxn收敛，则有åyn收敛，其中xn£yn； n=1¥n=1¥¥¥ 若åxn发散，则有åyn发散，其中xn³yn。 n=1n=1 证明：令yn=xn+1，显然xn£yn， 2n5 因为åxn收敛，所以åyn收敛 n=1n=1¥1若åxn发散，令yn=xn，显然xn³yn，而由åxn的发散性，得2n=1n=1¥¥¥¥到åyn的发散性。 n=1 证毕 由定理5可以看出 ，一切正项级数均可以用比较判别法判定，但问题是要找到一个合适的比较对象却很难，但是基于比较判别法，我们可以得到很多判别法，尽管这些判别法都有一定的局限性，但它们给我们判别正项级数的敛散性带来了极大的方便，如果我们把比较对象取为p级数，则可得到下面的对数判别法： 定理 6若有a>0 ，使得当n³n0时ln1an³1+a(an>0)，则级数lnnåa(ann=1¥n>0) 收敛；若n³n0时ln1an£1 ，则级数发散。 lnn1a11证明：若n³1+a，则³n1+a 或an£ ，由于级anlnn1+n1+aln数åln¥11+an=1n 收敛，故级数åan也收敛 n=1¥1¥an111若£1，则£n或an³ 。由于级数å 发散，故级数 anlnnnn=1nåan=1¥n也发散. 证毕 6 如果我们把比较对象取为几何级数，则可得到下面的Cauchy判别法： 定理7 设åxn是正项级数，r=limnxn ，则 n=1n®¥¥当r<1，级数åxn收敛； n=1¥¥当r>1，级数åxn发散 n=1当r=1，判别法失效，级数既可能收敛，也可能发散。 证明：当r<1时，取q满足r<q<1，则存在N，对一切n>N，成立 nxn<q， 从而 xn<qn，0<q<1 由定理4可知åxn收敛 n=1¥当r>1，由于r是数列x的极限点，可知存在无穷多个n满足nnnxn>1，这说明xn不是无穷小量，从而åxn发散。 n=1¥对于r=1，级数11与 的敛散性说明判别法失效 nn2 证毕 引理 设xn是正项数列，则 lim证明：设 r=limxn+1n®¥xnxn+1x£limnxn£limnxn£limn+1 n®¥xn®¥n®¥n®¥xnn则对任意给定的e>0，存在N，对一切n>N，成立 xn+1<r+e xn7 于是 xn<(r+e)n-N-1.xN(n>N) 从而 limnxn£limn(r+e)n-N-1.xN=r+e n®¥n®¥由e的任意性，就得到 limnxn£r=limn®¥xn+1n®¥xn同理可证 limxn+1£limnxn n®¥xn®¥n证毕 通过上面的引理，我们可得到如下定理： 定理8 设åxn (xn>0)是正项级数，则 'n=1¥¥xn+1当r=lim<1，级数åxn收敛 n®¥xn=1n¥xn+1>1，级数åxn发散 当r=limn®¥xn=1n当r³1或r£1时，判别法失效，级数可能收敛，可能发散 ¥对于某些级数åxn，成立limn=1xn+1=1，这时定理6与定理7 都失n®¥xn效，下面给出针对这类情况的判别法： 定理9 设åxn是正项级数，r=limn(n=1n®¥¥xn-1)，则 xn+1当r>1，级数åxn收敛 n=1¥¥当r<1，级数åxn发散 n=1 8 证明 设s>t>1，f(x)=1+sx-(1+x)t,由f(x)的连续可微性与f(0)=0，f'(0)=s-t>0,可知存在d>0，对一切0<x<d 成立 1+sx>(1+x)t x当r>1时，取s,t满足r>s>t>1。由r=limn(n-1)>s>t与不等式n®¥xn+11+sx>(1+x)t，可知当n充分大时， xns1tn+1t>1+>(1+)=t xn+1nnn这说明正项数列ntxn从某一项开始单调减少，因而其必有上界，设 ntxn£A 于是 xn£¥A nt¥1由于t>1，因而åt收敛，根据比较判别法就得到åxn的收敛。 n=1nn=1当r=limn(n®¥xn-1)<1，则对于充分大的n， xn+1xn1n+1<1+= xn+1nn这说明正项数列ntxn从某一项开始单调增加，因而存在N, a>0,使对一切n>N成立，于是 xn>¥an¥1由于å发散，根据比较判别法就得到åxn发散. n=1nn=1 证毕 无穷级数与反常积分结合，便有下面的积分判别法： 定理10 设 f(x) 定义于a,+¥),f(x)³0, 且f(x) 9 在任意有限区间a,A上Riemann可积，取一单调增加趋于+¥ 的数列an：a=a1<a2<a3<.<an<. ， 令un=òa 则反常积分ò且ò+¥¥an+1nf(x)dx +¥af(x)dx与正项级数åun同时收敛或同时发散于+¥，n=1¥an+1¥af(x)dx=åun=åòn=1n=1anf(x)dx +¥特别，当f(x)单调减少时，取an=n，则反常积分 ò数 åf(n)(N=a)+1 同时收敛或同时发散。 n=N¥af(x)dx 与正项级证明：设正项级数åun的部分和数列为 Sn 则对任意 A>a n=1¥存在整数n 成立an£A<an+1 于是 Sn-1£òf(x)dx£Sn aA当 Sn 有界时 即 åun 收敛时，则有limn=1¥A®+¥aòAf(x)dx 收敛 ，且¥根据极限的夹逼性，它们收敛于相同的极限；当 Sn 无界时。即åun发n=1散于+¥时，则同样有 limA®+¥a¥òAf(x)dx=+¥ 。由此得到下列关系 ¥an+1ò+¥af(x)dx=åun=åòn=1n=1anf(x)dx 特别，当f(x)单调减少时取an=n ，则当 n³N=a+1 ， f(n+1)£un£f(n) 由比较判别法可知 åf(n) 与åun 同时收敛或同时发散，从而与 n=Nn=N¥¥ò+¥af(x)dx 同时收敛或同时发散。 证毕 10 由积分判别法可得下面的马尔可夫判别法： 定理 11 设f(x)为单调减少的正值函数，又设 exf(ex) xlim=l ®+¥f(x)若l<1，则函数åf(n)收敛；若l>1，则级数åf(n)发散。 n=1n=1¥¥exf(ex)=l，故对任意的e>0，总存在N>0，使证明：由于xlim®+¥f(x)得当x>N 时，有exf(ex)<(l+e)f(x) 当l<1时，取e使得l+e=r<1，则有exf(ex)<rf(x)，于是，当m>N时有 òmNef(e)dx<ròf(x)dx xxNemNm即òef(x)dx<ròNf(x)dx，也即 (1-r)òNf(x)dx<ròf(x)dx-ròNf(x)dxeNeemmemm=ròeNNf(x)dx-ròemmf(x)dx由于N充分大且m>N，故m<em，又因f(x)>0，故òemm，从而 f(x)dx>0emeNeN(1-rò)Nfx(dx)<ròfxdxòemeNf(x)dx<r1-ròeNNfx(dx)固定N，让m®+¥，取极限即得 ò+¥eNf(x)dx£1-ròreNNf(x)dx=常数 于是，由积分判别法知级数åf(n)收敛， n=1¥ 11 当l>1时，则取N为充分大，可得exf(ex)³f(x) (x>N)， 从而òNef(e)dx³òNf(x)dx，即 xxmmòemeNemf(x)dx³òf(x)dx 或òN+ò³ò+òN, 故 NemNemmemeNmòmf(x)dx³ò0eNNf(x)dx (m>N) 1k今设e0=N+1,e1=ee,e2=ee,.,ek+1=ee,.,并分别取m=e0,e1,e2,.，则 òòò最后得 e2e1e3f(x)dx³òf(x)dx³òeNNeNf(x)dxf(x)dxe2N .ek+1ekf(x)dx³òeNNf(x)dx.ò+¥0+¥e0f(x)dx=limåòn®¥k=1¥ekek-1f(x)dx³limnòn®¥eNNf(x)dx=+¥， ¥即òef(x)dx为发散的，并由积分判别法知级数åf(n)发散。 n=1 证毕 三 一般项级数的判别法 上面浅谈了正项级数的收敛判别法，接下来讨论一般项级数的收敛判别法，对于一般项级数，判断敛散性最本质的方法是Cauchy收敛原理: 定理12 级数 åxn收敛的充分必要条件是：n=1¥对任意给定的e>0，存在N ，使得 |xn+1+xn+2+.+xm|=|åxn|<e n=1¥对一切 m>n>N 成立。 12 定义3 如果级数åxn=å(-1)un(un>0)且un单调减少收n=1¥¥n+1n=1敛于0，则称此级数为Leibniz级数 由Cauchy收敛原理，可以得到： 定理13 Leibniz级数必定收敛 证明： |xn+1+xn+2+.+xn+p| =|un+1-un+2+.+(-1)p+1un+p| 当p是奇数时 un+1-un+2+.+(-1)n+1un+p =(un+1-un+2)+(un+3-un+4)+.+un+p =un+1-(un+2-un+3)-(un+4-un+5)-.-(un+p-1-un+p) 所以 0<un+1-un+2+.+(-1)n+1un+p£un+1 当p是偶数时 un+1-un+2+.+(-1)n+1un+p =(un+1-un+2)+.+(un+p-1-un+p) =un+1-(un+2-un+3)-.-un+p 因而成立 |xn+1+xn+2+.+xn+p|=|un+1-un+2+.+(-1)p+1un+p|£un+1 由成立 |xn+1+xn+2+.+xn+p|£un+1<e limun=0，"e>0,$N,"n>N:un+1<e于是对于一切正整数p，n®¥由定理 10 ， Leibniz级数必定收敛。 证毕 关于一般项级数的判别法还有Abel判别法和Dirichlet判别法： 13 定理 14 若下面两个条件之一满足，则级åanbn数收敛： n=1¥an单调有界，åbn收敛； n=1¥an单调趋于0，åbn有界。 n=1¥¥证明：若Abel判别法条件满足，设 an£M ，由于 åbn 收n=1n+p敛，成立"e>0,$N,"n>N 和pÎN ，应用 Abel 引理，即得 n+p+k=n+1åbn+pk<e，对 k=n+1åabkk|k=n+1åabkk|<e(an+1+2an+p)£3Me 若Abe判l别法条件满足，由于 liman=0 ，因此n®¥"e>0,$N,"n>N：an<e 设åbi£M。令Bk=i=1n+ki=1ni=n+1åb(k=1,2,.),则 inin+k Bk=åb-åbii=1£2M 应用Abel引理，同样可得 n+p|k=n+1åabkk|£2M(an+1+2an+p)<6Me 对于一切n>N与一切正整数p成立 根据定理10 ，可知åanbn收敛。 n=1¥ 证毕 四 例题 æn!en例1 讨论无穷乘积Õç1+n+pnn=1è¥ö3的敛散性。 p>÷2ø 14 æn!en解：根据定理2的推论1 ，无穷乘积Õç1+n+pnn=1è¥ö÷的敛散性与无穷级数ø¥n!enn!en的敛散性是等价的，于是我们只需说明无穷级数ån+p的敛散性ån+pn=1nn=1n¥即可， n!enn+pn+pan1n+1æön=ç÷ an+1(n+1)!en+1eènø(n+1)n+1+p由于 1æn+1öç÷æanöeènølimnç-1÷=limn®¥1èan+1øn®¥nn+p-11+p÷ln(1+x)11ç+pèxøxe-1(1+x)-1ee =lim=limx®0x®0xxæ1ö11+(p-2)x+o(x)e-11e=lim=p- x®0x21由Raabe判别法知 ¥n!en13当p->1即p>时，级数ån+p收敛 22n=1næn!en所以无穷乘积Õç1+n+pnn=1è¥ö÷收敛， øæöç÷1例2 讨论无穷乘积Õç1+÷的敛散性。 1n=1çln2(sin)÷nøèæö¥ç÷1解： 根据定理2推论1，无穷乘积Õç1+÷的敛散性与12n=1çln(sin)÷nøè¥ 15 无穷级数å¥11n=1ln2(sin)n¥的敛散性等价， 考虑级数å11n=1ln2n，由于 11ln2n11öælnsinçn÷ =ç1÷çln÷1nøln2(sin)èn1cosxlnsinn=limlnsinx=limsinx=1 并且 limn®¥x®0+x®0+11lnxlnnx2所以 11ln2(sin)n»ån=1¥1ln21n=1 2lnn¥111又当n>1时，0<lnn<n，所以 2>，由于级数å发散，lnnnn=1n¥11所以级数å2发散，从而级数å发散，所以无穷乘积1n=1lnnn=1ln2(sin)n¥æöç÷11+ç÷发散。 Õ1n=1çln2(sin)÷nøè¥æ(-1)n+1ö例3 讨论Õç1+x÷的敛散性。 nøn=1è¥æ(-1)n+1ö解：由无穷乘积收敛的必要条件，可知当x£0时，Õç1+x÷nøn=1è¥是发散的， ¥¥(-1)n+111当x>0时，åan=åx收敛，而åan=å2x在0<x£时发n2n=1n=1n=1n=1n¥¥ 16 散，在x>时收敛，于是由推论2，得到 ¥¥æ(-1)n+1öæ(-1)n+1ö11 当x>时，Õç1+x÷收敛，当x£时，Õç1+x÷nønø22n=1èn=1è12发散。 参考文献 。北京：高等教育出版社，2000。 1陈纪修，於崇华，金路。数学分析2吉米多维奇，数学分析习题集。山东科学技术出版社，2005 17