新课必修5数学基本不等式经典例题.docx
新课必修5数学基本不等式经典例题基本不等式 知识点： 1. (1)若a,bÎR，则a+b³2ab 22a2+b2(2)若a,bÎR，则ab£ 22. (1)若a,bÎR*，则a+b(2)若a,bÎR*，则a+b³2ab a+bö (当且仅当a=b时取“=”(3)若a,bÎR，则ab£æ） ç÷è2ø*3.若x>0，则x+1³2 (当且仅当x=1时取“=”） x1若x<0，则x+£-2 (当且仅当x=-1时取“=”） x若x¹0，则x+1³2即x+1³2或x+1£-2 (当且仅当a=b时取“=”） xxxab4.若ab>0，则+³2 (当且仅当a=b时取“=”）若ab¹0，则baabab+³2即+³2或babaab (） +-£2当且仅当a=b时取“=”baa+b2a2+b25.若a,bÎR，则( )£22注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 y3x 211 yx 22xx1解：(1)y3x 2 2 22x1(2)当x0时，yx 2x13x 2· 2 2x1x· 2； x6 值域为6 ，+） 11当x0时， yx = 2xx值域为 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知x<1x· =2 x5，求函数y=4x-2+1的最大值。 44x-51 解：因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)g不是常数，所以对4x-24x-5要进行拆、凑项， 511öæQx<,5-4x>0，y=4x-2+=-ç5-4x+÷+3£-2+3=1 44x-55-4xèø当且仅当5-4x=1，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1。 5-4x技巧二：凑系数 例： 当时，求y=x(8-2x)的最大值。 解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。 当 ，即x2时取等号 当x2时，y=x(8-2x)的最大值为8。 变式：设0<x<3，求函数y=4x(3-2x)的最大值。 2232x+3-2xö9æ解：0<x<3-2x>0y=4x(3-2x)=2×2x(3-2x)£2ç÷= 222èø当且仅当2x=3-2x,即x= 技巧三： 分离 技巧四：换元 3æ3öÎç0,÷时等号成立。 4è2øx2+7x+10(x>-1)的值域。 例：求y=x+1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。 当,即时,y³2。 x+1解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。 (t-1)2+7(t-1）+10t2+5t+44y=t+5 ttt4当,即t=时,y³2t´+5=9。 t技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)=x+调性。 例：求函数y=a的单xx2+5x+42的值域。 解：令x+4=t(t22x³2)，则y=+5=x2+4x2+4+1=t+(t³2) tx2+41因t>0,t×=1，但t=解得t=±1不在区间2,+¥)，故等号不成立，考虑单调性。 因为y=t+在区间1,+¥)单调递增，所以在其子区间2,+¥)为单调递增函数，故y³所以，所求函数的值域为ê,+¥÷。 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 例：已知x>0,y>0，且1t1t1t5。 2é5ë2öø19+=1，求x+y的最小值。 xy19æö+=1，x+y=ç1+9÷(x+y)³292xy=12 故 xyxyèxyø错解：Qx>0,y>0，且(x+y)min=12 。 错因：解法中两次连用均值不等式，在x+y³219+³2xy9等号成立条件是1xxyxy等号成立条件是x=y，在=9即y=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，y在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 æ19öy9x19正解：Qx>0,y>0,+=1，x+y=(x+y)ç+÷=+10³6+10=16 xyèxyøxy当且仅当技巧七 例：已知x，y为正实数，且x 219y9x=时，上式等号成立，又+=1，可得x=4,y=12时， x+y)min=16 。(xyxyy 22 1，求x1y 的最大值. 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab1a 2b 22 。 1y 22· 2同时还应化简1y 2 中y2前面的系数为 ， x21y 2 x 2 x·1y 2 221y 2 分别看成两个因式： 22x 2(1y 2 )22222 y 21 2x 222下面将x，x·11 22y 2 3 即x41y 2 2 ·x 224y 23技巧八： 1已知a，b为正实数，2baba30，求函数y 的最小值. ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 302b302b2 b 230b法一：a ， ab ·b b1b1b1由a0得，0b15 2t 234t311616 234t 216t· 令tb+1，1t16，ab8 ab18 y tttt 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。 182 ab 30ab22 ab 1法二：由已知得：30aba2b a2b2令u1ab 则u222 u300， 52 u32 18ab 32 ，ab18，y点评：本题考查不等式a+b³ab的应用、不等式的解法及运算能力；2如何由已知不等式ab=a+2b+30出发求得ab的范围，关键是寻找到a+b与ab之间的关系，由此想到不等式为含ab的不等式，进而解得ab的范围. 技巧九、取平方 a+b³ab，这样将已知条件转换2例: 求函数y=2x-1+5-2x(1<x<5)的最大值。 解析：注意到2x-1与5-2x的和为定值。 22y2=(2x-1+5-2x)2=4+2(2x-1)(5-2x)£4+(2x-1)+(5-2x)=8 又y>0，所以0<y£22 当且仅当2x-1=5-2x，即x=3时取等号。 故ymax=22。 2应用二：利用均值不等式证明不等式 例：已知a、b、cÎR，且a+b+c=1。求证：ç+æ1öæ1öæ1ö-1÷ç-1÷ç-1÷³8 èaøèbøècø分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1-1=1-a=b+c³2bc，可由此变形入手。 aaaa解：Qa、b、cÎR，a+b+c=1。+12ac11-ab+c2bc。同理-1³，-1=³bbaaaa12ab。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 -1³cc1æ1öæ1öæ1ö2bc2ac2aba=b=c=。当且仅当时取等号。 -1-1-1³gg=8ç÷ç÷ç÷3abcabcèøèøèø应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x>0,y>0且19+=1，求使不等式x+y³m恒成立的实数m的取值范围。 xy19x+y9x+9y10y9x+=1，+=1.+=1 xykxkykkxky解：令x+y=k,x>0,y>0,1-103³2× 。k³16 ，mÎ(-¥,16 kk应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若 a>b>1,P=lga×lgb,Q=是 . 1a+b(lga+lgb),R=lg，则P,Q,R的大小关系22分析：a>b>1 lga>0,lgb>0 Q=1（lga+lgb)>lga×lgb=p 2a+b1R=lg>lgab=lgab=Q R>Q>P。 22
