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新编概率论与数理统计习题7答案华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿 学 院 _专 业 _班 级 _ 学 号 _姓 名 _任课教师_ 第二十次作业 一填空题： 1在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位: mm)如下: 1.23， 1.24， 1.26， 1.29， 1.20， 1.32， 1.23， 1.23， 1.29， 1.28 =_x=1.257_， 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望m的估计值m=_sn-1=0.037_。 标准差s的估计值s二计算题： 1设总体X服从泊松分布P(l)，(X1，X2，L，Xn)为样本，分别用矩估计法和。 极大似然法求参数l的估计量l解： 矩估计法，因为XP(l)，所以总体平均值EX=l， 1n1n而样本平均值X=åXi， 所以l=X=åXi； ni=1ni=1极大似然法，设(X1,X2，L，Xn)的一组观测值为(x1,x2，L，xn)， 似然函数L(l)=ÕP(X=xi)=Õi=1nnlxi=1exi!i-l=e-nlÕx!, i=1inlxi取对数, 得lnL(l)=-nl+å(xilnl-lnxi!), i=1ndlnL(l)1n1n令=-n+åxi=0, 解得：l=åxi=x, dlli=1ni=1=X。 故J的极大似然估计量为：l 2设总体x服从几何分布 P(X=x)=p(1-p)x-1(x=1,2,L)，(X1,X2,L,Xn)为X的样本。 (1)求未知参数p的矩法估计；(2)求未知参数p的极大似然估计。 解: (1)由于xGe(p), 因此Ex=11=. , 由矩法原则可知Ex=X, 故pXp(2)设样本(X1,X2,L,Xn)的一组观测值为(x1,x2,L,xn), 由于总体为离散型, x-n因此似然函数 L(p)=ÕP(Xi=xi)=p(1-p)åi=1i, ni=1nn取对数, 得lnL(p)=nlnp+(åni=1ix-nln(1-p), n)dlnL(p)nåi=1xi-n=+=0, 上式两端关于p求导, 令dpp1-p解上式, 得1X-11=。 +=0Þpp1-pXì(q+1)xq,3设总体总体X的密度函数为f(x)=í0,î0<x<1， 其中J>-1是其他未知参数, (X1,X2，分别用矩估计法和极大似然法求L，Xn)是来自总体的样本，J的估计量。 解： 总体X的数学期望为EX=òxf(x)dx=ò-¥+¥+¥¥-¥(q+1)xJ+1dx=J+1, q+2J+11n设X=åXi为样本均值, 则应有：X=, J+2ni=1=2X-1 ； 解得J的矩法估计量为: J1-X设(x1,x2，L，xn)是样本(X1,X2，L，Xn)的观察值, 则似然函数为： L(J)=Õf(xi)=Ji=1nnÕxi=1nJ-1iì(J+1)n(x1x2×××xn)J,0<xi<1,i=1,2,L,n, =í0,其他î当0<xi<1(i=1,2nL,n)时, L(J)>0, lnL(J)=nln(J+1)+qålnxi, i=1ndlnL(J)n令=+ålnxi=0 , 解得J的极大似然估计值： dJJ+1i=1n=-1-Jnålnxi=1n=-1-, 故J的极大似然估计量为：JinålnXi=1n。 i第二十一次作业 一选择题： 1设总体X的数学期望为m，(X1,X2,L,Xn)是取自总体的样本，则下列命题中正确的是( A ) A. X1是m的无偏估计量； B. X1是m的极大似然估计量； C. X1是m的一致(相合)估计量； D. X1不是m估计量。 2设(X1,X2,L,Xn)为总体XN(m,s2)(m已知)的一个样本, X为样本均值, 则总体方差s2的下列估计量中, 为无偏估计量的是( C ). 1n-11n2A. å(Xi-X); B. (Xi-X)2; ån-1i=1ni=11n1n2C. å(Xi-m); D. (Xi-m)2; åni=1n-1i=1二计算证明题： 1设总体xN(m,1)，(X1,X2,X3)是x的样本， 111X1+X2+X3 244Ù111 m2=X1+X2+X3 333Ù221 m3=X1+X2+X3 555证明： m1=Ù都是m的无偏估计。 m1，m2，m3这三个估计中，哪一个估计最有效？ ÙÙÙ证明： (1) 11ö111æ1æ111ö1=EçX1+X2+X3÷=EX1+EX2+EX3=ç+÷m=m,Em44ø244è2è244ø11ö111æ1æ111ö2=EçX1+X2+X3÷=EX1+EX2+EX3=ç+÷m=m, Em33ø333è3è333ø21ö221æ2æ221ö3=EçX1+X2+X3÷=EX1+EX2+EX3=ç+÷m=m,Em55ø555è5è555ø1,m2,m3都是m的无偏估计. 所以, m(2)由于样本X1,X2,L,Xn独立同分布,那么 11ö1113æ11=DçX1+X2+X3÷=DX1+DX2+DX3=,Dm44ø416168è211ö1111æ12=DçX1+X2+X3÷=DX1+DX2+DX3=,Dm33ø9993è321ö4419æ23=DçX1+X2+X3÷=DmDX1+DX2+DX3=,55ø25252525è51>Dm3>Dm2,故m2最有效. 可知Dm 2设从均值为m，方差为s2>0的总体中，分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，X1和X2分布是这两个样本的均值，试证：对于任意常数a、b(a+b=1)， Y=aX1+bX2都是m的无偏估计，并确定常数a、b，使得DY达到最大。 证明： 因为EY=E(aX1+bX2)=aEX1+bEX2=(a+b)m=m, 故对于任意常数a,b(a+b=1),Y=aX1+bX2都是m的无偏估计. 由于两个样本独立, 因此X1,X2相互独立, 那么由定理6.2.1,可知 a2s2b2s2,将b=1-a代入, 得 DY=E(aX1+bX2)=+n1n22a2s2(1-a)2s2(n1+n2)a2-2n1a+n12DY=+=s, 求其最小值, n1n2n1n2é(n1+n2)a2-2n1a+n12ù¢2(n1+n2)a-2n12n1, s=s=0Þa=êún1n2n1n2n1+n2ëûb=1-a=n2n1n2, 即当a=时, DY最小。 ,b=n1+n2n1+n2n1+n23设随机变量X服从区间(J,J+1)上的均匀分布, 其中J为未知参数, X1,X2,L,Xn是来自于X的一个样本, X是样本均值, X(1)=minX1,X2,L,Xn. =X-1都是J无偏估计量(n>1). =X-1和J证明: (1)J12(1)2n+1和J哪个更有效? (2)比较J12证明： (1)因为X服从区间(J,J+1)上的均匀分布, 所以EXi=EX=2J+1， 211n11n2J+112J+11EJ1=E(X-)=åE(Xi)-=å-=-=J， 2ni=12ni=12222=X-1是J无偏估计量. 所以J12是J无偏估计量, 先求X的概率分布, 再证J(1)2x£Jì0,ïX的分布函数F(x)=PX£x=íx-J,J<x<J+1， ï1,x³J+1îì1,J<x<J+1X的密度函数p(x)=F¢(x)=í， 其它î0,X1,X2,L,Xn与X独立且同分布, 故X(1)的分布函数为： F(1)(x)=PX(1)£x=1-1-F(x)n， f(1)(x)=F(¢1)(x)=n1-F(x)+¥n-1ìn(1+J-x)n-1,J<x<J+1， p(x)=í0,其它înx(1+J-x)n-1dx J+1J于是, EX(1)=òxf(1)(x)dx=ò-¥J+1J=-nòJ+1J(1+J-x)(1+J-x)n-1dx+n(1+J)ò(1+J-x)n-1dx=1+J， n+1=E(X-1)=1+J-1=J， EJ2(1)n+1n+1n+1=X-1也是J无偏估计量； 所以J2(1)n+1(2)因为X服从区间(J,J+1)上的均匀分布, 所以DX=D(X-1)=DX=1DX=1， DJ12n12n1， 12E(X(21)=ò2nn(J+1)+， Jn+1n+22nn122D(X(1)=E(X(2)-(EX)=(J+1)-(J+1)+-(-J)2 1)(1)n+1n+2n+1J+1nx2(1+J-x)n-1dx=(J+1)2-=n， 2(n+1)(n+2)n=D(X-1)=DX=DJ， 2(1)(1)n+1(n+1)2(n+2)当n³8时，n1更有效； <D(J)，J比J<, DJ21212(n+1)(n+2)12nn1比J更有效。 <D(J)， J>, DJ12122(n+1)(n+2)12n当1<n£7时， 第二十一次作业 一、填空题 1置信区间的可信度由置信水平1-a； 控制，而样本容量可用来调整置信区间的 精确度 。 2有一大批糖果，先从中随机地取16袋，称的重量如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布N(m,s2)，则总体均值m的置信水平为95%的置信区间为 500.4,507.1 ，总体标准差s的置信水平为95%的置信区间为 4.582,9.599 。 二、选择题 1设从总体xN(m1,s1)和总体hN(m2,s2)中分别抽取容量为9，16的独2222立样本，以x，y，Sx，Sy分别表示两个独立样本的样本均值和样本方差， 若已知s1=s2，则m1-m2的95%的置信区间为 A. (x-y-u0.975B. (x-y-u0.975s129+2s216，x+y-u0.975s129+2s216) 2222SySySxSx，x+y-u0.975+) 916916229Sx+16Syt(23)Swt(23)Sw)，其中Sw=C. (x-y-0.975，x+y-0.9755523229Sx+16Syt(25)Swt(25)Sw)，其中Sw=D. (x-y-0.975，x+y-0.97555252关于“参数m的95%的置信区间为(a,b)”的正确理解的是。 A. 至少有95%的把握认为(a,b)包含参数真值m； B. 有95%的把握认为(a,b)包含参数真值m； C. 有95%的把握认为参数真值m落在区间(a,b)内； D. 若进行100次抽样，必有95次参数真值m落在区间(a,b)内。 三、计算题 1设某地旅游者日消费额服从正态分布N(m,s2)，且标准差s=12，今对该地旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计误差小于2，问至少需要调查多少人？ 解：由于总体为正态分布,且标准差s(=12)已知,又由1-a=0.95,即a=0.05, 查表可得U1-a2=U0.975=1.96， 误差小于2即Usa21-n<2Þ1.96×12<2Þn>138.2976， n故至少要调查139人。 2某厂生产一批长为5mm的药片，已知药片长XN(m,s2)，随机抽取16粒药片，测得样本均值x=4.87mm,样本标准差s=0.32mm，求总体的方差s2在置信水平为0.95下的置信区间。 解：由样本值得s=0.32,n=16，a=0.05，自由度为n-1=15。 22查表得c0，(15)=6.262c)=27.488。所以， .0250.975(1515´0.322=0.0559, 227.488c0.975(15)15´0.322=0.2453. 26.262c0.025(15)即s2的置信水平为0.95的置信区间为：0.0559。 ,0.24533假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区18岁25岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取10名，样本均值1.64m1,样本标准差0.4m,求 两正态总体方差比的95%的置信区间 两正态总体均值差的95%的置信区间。 解：(1)根据题意，得m=n=10,Sx=0.2,Sy=0.4， 对于a=0.05查表得：F0.975(9,9)=4.03,F0.025(9,9)=计算置信下限和上限： 2Sx2SyS2x(n-1)S2(n-1)S211， =F0.975(9,9)4.030.220.42=0.062,F0.975(9,9)4.03S2yF0.025(9,9)=0.20.4=1.0075,14.0322即两正态总体方差比的95%的置信区间为0.062,1.0075。 2222(2)注意到1Î0.062,1.0075,故在实际中可以认为sx。 sy=1，即sx=sy对于a=0.05查表得：t0.975(18)=2.1009， 计算m1-m2的置信上下限： (X-Y)±ta(m+n-2)×Sw21-11+mn9´0.22+9´0.4211=(1.64-1.62)±2.1009´´+ 10+10-21010=0.02±0.2971,即两正态总体均值差的95%的置信区间为-0.2771,0.3171。
