文科数列 裂项相消.docx
文科数列 裂项相消1、已知数列xn31æ1öxn+1-xn=ç-÷,nÎN*,且x1=1.设an=xn-,42且è2ø满足nT2n=a1+2a2+3a3+L+(2n-1)a2n-1+2na2n. 求 求xn的表达式； T2n； Qn=1-3n+1*(nÎN)29T与Qn的大小，并说明理由. (2n+1)，试比较2n 若1Qxn+1-xn=(-)n,2 解析：xn=x1+(x2-x1)+(x3-x2)+L+(xn-xn-1)111=1+(-)+(-)2+L+(-)n-122211-(-)2=11-(-)2 21æ1ö=+ç-÷33è2øn-1当n=1时上式也成立， 21æ1öxn=+ç-÷33è2øn-1(nÎN*).n-1311æ1öan=xn-=ç-÷424è2ø æ1ö=ç-÷è2øn+1.QT2n=a1+2a2+3a3+L+(2n-1)a2n-1+2na2n æ1öæ1öæ1öæ1ö=ç-÷+2ç-÷+3ç-÷+L+(2n-1)ç-÷è2øè2øè2øè2ø3452342næ1ö+2nç-÷è2ø2n+12n+1 2n+21æ1öæ1öæ1öæ1ö-T2n=ç÷+2ç-÷+3ç-÷+L+(2n-1)ç-÷2è2øè2øè2øè2ø ，得 æ1ö+2nç-÷è2ø3æ1öæ1öæ1öT2n=ç-÷+ç-÷+L+ç-÷2è2øè2øè2ø232n+1æ1ö-2nç-÷è2ø2n+23T2n=21éæ1öê1-ç-÷4êëè2ø1+122nùú2n+22n2nú1111n1æöæöæöû-2n-=-ç-÷-ç-÷.ç÷66è2ø2è2øè2ø2n11æ1öT2n=-ç-÷99è2ø2nnæ1ö-ç-÷3è2ø9T2n1æ3n+1ö=ç1-2n÷.9è2ø 由可得3n+1Q=1-3n+1=1-2n.n2(2n+)2又 2n2n=1时,2=4,(2n+1)=9,9T2n<Qn; 当2n2n=2时,2=16,(2n+1)=25,9T2n<Qn; 当2nn2012n22n³3时,2=(1+1)=(C+C+C+L+C)>(2n+1). nnnn当9T2n>Qn. 求数列6666,LL,LL前n项和 1´22´33´4n(n+1)611=6(-) n(n+1)nn+1解：设数列的通项为bn，则bn=11111Sn=b1+b2+LL+bn=6(1-)+(-)+LL+(-)223nn+1=6(1-16n)=n+1n+12、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5。 求数列bn的通项公式； 5ü 数列bn的前n项和为Sn，求证：数列ìíSn+ý是等比数列。 4þî1前n项和Sn. n21111 解：Sn=1´+2´+3´+LLLL+n´n 2482111111Sn=1´+2´+3´+L+(n-1)´n+n´n+1 2481622求数列n´11(1-n)1111112-n ,两式相减得：Sn=+LL+n-n´n+1=212248222n+11-21n1nSn=2(1-n-n+1)=2-n-1-n 22223、求数列6666,LL,LL前n项和Sn. 1´22´33´4n(n+1)解：设数列的通项为bn，则 bn=611=6(-) n(n+1)nn+1Sn=b1+b2+LL+bn 11111=6(1-)+(-)+LL+(-) 223nn+11=6(1-) n+16n= n+14、设f(x)=a1x+a2x2+a3x3+L+anxn,nÎN*,若f(1)=n,求数列an的通项公式,2a若记bn=2n求数列bn的前n项和,求f 12由f(1)=a1+a2+a3+L+an=n2,得Sn=n2,易得an=2n-1. 2311111f=+32+53+L+(2n-1)n2222211Sn=3-n-2-(2n-1)gn 22a由bn=2n得bn=22n-1即bn=2g4n-1,Sn=g(4-1). n由错位相减法得1、已知数列xn31æ1öxn+1-xn=ç-÷,nÎN*,且x1=1.设an=xn-,42且è2ø满足nT2n=a1+2a2+3a3+L+(2n-1)a2n-1+2na2n. 求 求xn的表达式； T2n； Qn=1-3n+1*(nÎN)29T与Qn的大小，并说明理由. (2n+1)，试比较2n 若2、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5。 求数列bn的通项公式； 5ü是等比数列。 数列bn的前n项和为Sn，求证：数列ìS+íný4þî求数列n´1前n项和Sn. 2n3、求数列6666,LL,LL前n项和Sn. 1´22´33´4n(n+1)24、设f(x)=a1x+a2x2+a3x3+L+anxn,nÎN*,若f(1)=n,求数列an的通项公式,a若记bn=2n求数列bn的前n项和,求f 12
