整体思想在整式运算中的运用.docx

整体思想在整式运算中的运用 “整体思想”在整式运算中的运用 “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考： 例1、已知a=2333x-20，b=x-18，c=x-16， 88822求：代数式a+b+c-ab-ac-bc的值 解析：本题若将a、b、c的值直接代入计算，则复杂繁琐，显然不可取，考虑到： 1a2+b2+c2-ab-ac-bc=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2，而由题设可以求得2a-b,b-c,c-a的值，整体代入，则化繁为简，迅速可解 333x-20，b=x-18，c=x-16，可得a-b=-2,b-c=-2,c-a=4 8881222222从而a+b+c-ab-ac-bc=(a-b)+(b-c)+(c-a) 211222=(-2)+(-2)+4=´24=12 22由a=22例2、已知x+y=4，xy=1，求代数式(x+1)(y+1)的值 解析：由题设条件求出x,y的值，再分别代入待求式计算， 有一定困难，可考虑将22待求式(x+1)(y+1)变形，用x+y和xy来表示，然后再整体代入求值 (x2+1)(y2+1)=x2y2+x2+y2+1=(xy)2+(x+y)2-2xy+1 22把x+y=4，xy=1，整体代入得到：1+4-2´1+1=16 即(x+1)(y+1)=16 2253例3、已知x=2时，代数式ax+bx+cx-8=10，求当x=-2时，代数式 ax5+bx3+cx-8 的值 - 1 - 53解析：由于ax+bx+cx中x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值 5353当x=2时，代数式ax+bx+cx-8=10，即 2a+2b+2c-8=10 则32a+8b+2c=18 53当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8 =(-2)5a+(-2)3b+(-2)c-8 =-(32a+8b+2c)-8 将式整体代入，得到-(32a+8b+2c)-8=-18-8=-26 53即当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8 的值为-26 例4、已知a-b=b-c=3222，a+b+c=1，则ab+bc+ca的值等于 53 5解析：由已知条件求出a,b,c的值，再代入待求式计算，比较复杂，由a-b=b-c=222可先求出a-c的值，再将ab+bc+ca变形，用a+b+c、a-b、b-c及a-c来 表示，从而整体代入，可使问题化难为易，迅捷获解 由a-b=b-c=36，可以得到a-c= 55由(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)得到 1ab+bc+ca=(a2+b2+c2)-(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2 2将a+b+c、a-b、b-c及a-c的值整体代入，可得 22213361542ab+bc+ca=1-2+2+2=1-´=- 255522525例5、若M=123456789´123456786，N=123456788´123456787 试比较M与N的大小 解析：在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易，在解决大数值的问题时，也可考虑将某些大数值整体用字母代换，转化为整式问题，- 2 - 使问题化繁为简，巧妙获解，通过仔细观察发现这些大数值都在123456788左右波动，不妨将123456788整体用a代换，则123456789=a+1，123456786=a-2，123456787=a-1，从而：M=(a+1)(a-2)=a2-a-2，N=a(a-1)=a2-a 所以M-N=(a2-a-2)-(a2-a)=-20，由此得到：MN - 3 -