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整式的运算复习拓展 暑假专题整式的运算复习拓展 复习知识要点： ììï单项式ï定义íïî多项式ïïì加减合并同类项ïïì基本运算：幂的运算性质ïïïïïïïï 整式í ïïì乘法ïïï运算ï法则ííïïï乘除íî除法ïïïïì乘法公式ïïïïïïï公式í零指数幂ïïïïïïïî负整数指数幂îîî 例1. 计算下列各题。 2 ab¸-3ab·5ab¸2ab·-ab n+3n+2n+13+3´3+9´3nn+1(n+121-n2)()()()21-n-323203´3()¸3n 若A，求A的值。 -B+C=-3x+2x-14，B=-x-2x+x，C=4x+3x-x322332-ab·5ab·8ab·a 解：原式= 3802n+106b =-a3 原式=22n-1n-121-n3663´3n+33´32n+2-n=3 2 原式= -3x+2x-1-4-x-2x+xx+4+3x-x3(23)32x-5 =7 例2. 若x、y均不等于0或1，且xy 解：x、y均不等于0或1，且x2(n+22m+n3)312915m+mn-5n3的值。 ，求3=xy2=x9x15，所以可得 n+2y2m+nìï3(n+2)=9 í，解得n=1，m=2 ïî3(2m+n)=15 将n=1，m=2代入，得： 3 m+mnn-5=3´+2´1´2-5´18=21321322 例3. 若能将3表示成a的形式，求证：c x+1bx+1+cx-4x+7-+=ab1()+()22 证明：令x +=1t，则x=t-1 代入3得： x-4x+723x2-4x+7=3(t-1)-4(t-1)+72 =3t-10t+142=3(x+1)-10(x+1)+142a=3，b=-10，c=14 则c -a+b=14-3-10=1 cab-+=1 例4. 设M=357246357240，试比较M与N的大小。 ，N=456321456312 解：令M=xy，则N=x-6y-9，且y -9>0，y>0-N=- 所以My-9-yx-62y-3x()()3()xx-6x= yy-9yy-9yy-9()()Qx=357246，y=456321 3x>2y2y-3x<0 ，即MN M-N<0 注：上述例3、例4所使用的方法是换元法，即用新的变元替代某个式子，从而使问题转化，这种换元的方法在代数式变形中是十分有效的。 例5. 若x325xyz=3k，y=2k，z=5k 解：设=k，则x 325 由x得：6 k+10k+15k=93y+yz+zx=93 k2222=y=zy+yz+zx=93，且x，求9x+12y+2z的值。 222=3 2222222 所以9 xy+12+2z=9´9k+12´4k+2´25k=179k537 例6. 若a、b、c为非零数，且a+b-cc=a-b+cb=b+c-aa。 求：a+bb+cc+a()()()abc的值。 解：设abc+-abc-+bca+- =kcbaìa+b-c=kcï 那么ía-b+c=kbïb+c-a=kaî<1><2> <3> <得：a +b+ck=a+b+c1>+<2>+<3>() 则(a+b+c)(1-k)=0 若a时，a +bc=-，b+c=-a，c+ab=-+=bc0 那么a+bb+cca+-c-ab()()()()()()abc=abc=-1 若a，则 +b+c¹0 k =1，a+b=2cb+c=2ac+a=2b 那么a+bb+cca+()()()abc2a·2b·2c=8 abc的值为-1或8 综上所述，a+bb+cc+a()()()abc 注：从上述例5、例6可以看到，对于已知条件是一个连等式或连比式时，不妨设连等式或连比式的值为k或其他形式，然后利用等式证明的相应技巧进行适当变形。 例7. 已知：多项式a，当x=3时，它的值为81，则当x=时，它的值为多少？ x+bx+cx+9-3 解：当x=3时， 53x+bx+cx+9=3a+3b+3c+9=81 a 当x=时， -35353x+bx+cx+93=-a+-3b+-3c+9 a ()()()5353=-35a+33b+3c+9+18=-63() 例8. 设a-的值。 a-c2c-a-5b=3，c-b=，求代数式3()+()1231 解：Qa-b=3，c-b= 38a-c=3228æ8ö3a-cc-a5=32´-5=11()+2()-ç÷-è3ø3 注：例7、例8中可以看到，将整个代数式看作一个变量进行代换，把它作为整体变形的一部分，进而使问题合理而迅速地得到解决。 例9. 求满足n-n-1(2)n+2条件的所有整数n的和。 =1 解：据整数指数幂的运算和整式的运算，得满足n-n-1 当n且n-时， n-1¹0+2=0 n -n-1=n-n-1=1 此时n =-2 当n-时，n-n-1=1n1222(2)n+2的条件的情况有： =1(2)(n+22)20()n+2n+2 =1=1n-2n+1=0 此时n-，解得：( n-1=1)() =或n n2=-1 当n-且n+2是偶数时， n-=1-1 n -n1=-11()=22()n+2n+21 此时，n-得nn n=0(-)=02 =或n=1，取n=0 n0 满足n-n-1(2)n+2条件的所有整数n为- 2，2，-1，0=1 即所有整数n的和为-1 ，+8，m+10 例10. 如果mm都是质数，请你写出所有符合条件的m。 +81=1，m+101=3 解：设m时，m都是质数 =3 当m¹3时，设m或m，P是正整数 =3P+1=3P+2+8=+31P+8=3P+3=3P+1 当m时，m是合数 () m¹3P+1 当m时，m是合数 +10=3P+2+10=+3P4=3P+2() m¹3P+2 所以符合条件的质数只有m =3 小结 1. 复习巩固整式运算一章的概念、法则、公式。 2. 进一步提高对换元思想方法的理解和掌握。 3. 通过本节拓展进一步提高分析问题和解决问题的能力。 1. 设a、b、c的平均数为M，a、b的平均数为N，N、C的平均数为P，若a，则P_M。 2. 已知关于x的一次式在x=1和x=时，它的值分别是-3和11，求当x=-1 3. 已知a，求b的值。 -ab-b=-，a-ab+2b=-2212时，这个一次式的值。 32224 4. 设a，若4，则a+9b=37ab<b<022222232a+3b2a-3b的值为多少？ 5. 若s=x+y+z，其中x、y是相邻的整数，且z=xy，求证：S是奇数。 1. 2. 当x= 3. b=± 4. 1216时，它的值为 12752 5. 解：不妨假设x<y，故y=x+，则s=x+x+1 1(2)2æ1ö32 又x+ x+1=0çx+÷+>è2ø4 所以s=x(x+1)+1 2xx1 Q(+)为偶数 11 那么xx为奇数 (+)+ 即S为奇数