数理方程讲义第二章动角 二阶线性偏微分方程及其分类.docx
数理方程讲义第二章动角 二阶线性偏微分方程及其分类第二章 二阶线性偏微分方程及其分类 二阶线性偏微分方程的一般形式： n¶2u¶ua+b+cu+f=0 åååiji¶x¶x¶xj=1i=1i=1ijinn其中aij,bi,c,f是自变量x1,x2,L,xn的函数，如果f=0，则方程是线性齐次方程，否则方程是非线性齐次方程。 §2.1 两个自变量方程的分类： 一般形式： ¶2u¶x+2a¶2au¶2u¶u¶u11212¶x¶y+a22¶y2+b1¶x+b2¶y+cu+f=0其中a11,a12,a22,b1,b2,f只是x，y的函数。 以下讨论时，假定a11,a12,a22,b1,b2,f是实数。 作变量代换 x=x(x,h)，y=y(x,h) 则在上式代换下方程变为 A11uxx+2A12uxh+A22uhh+B1ux+B2uh+Cu+F=0 其中系数： ìA11=a211xx+2a2ï12xxxy+a22xyïA12=a11xxhx+a12(xxhy+xyhx)+a22xyhyïïíA2222=a11hx+2a12hxhy+a22hy+a ïB1=a11xxx+2a12xxy22xyy+b1xx+b2xyïïB2=a11hxx+2a12hxy+a22hyy+b1hx+b2hyïîC=c,F=f从中可以看出，如果取一阶偏微分方程 a2a211zx+2a12zxzy+22zy=0 的一个特解作为x，则 a2+2a211xx12xxxy+a22xy=0 1 2-1）2-2）2-3）2-4） 的另外一个特解作为h，则A22=0，这样方程就可以简化。 一阶偏微分方程的求解可以转化为常微分方程的求解，将改写成： a11(-zx2z)-2a12(-x)+a22=0 zyzy如果将z(x,y)=c看作定义隐函数y=y(x)的方程，则 zdy=-x dxzy从而有： a11(dy2dy)-2a12(-)+a22=0 dxdx常微分方程叫做二阶线性偏微分方程的特征方程。特征方程的一般积分x(x,y)=c1和h(x,y)=c2叫做特征线。 的解为 2dya12±a12-a11a22= dxa112若a12-a11a22>0，二阶线性偏微分方程为双曲型方程 2若a12-a11a22=0，二阶线性偏微分方程为抛物型方程 2若a12-a11a22<0，二阶线性偏微分方程为椭圆型方程 1：双曲型 2当a12式给出一族实的特征曲线 -a11a22>0时，x(x,y)=c1，h(x,y)=c2 取x=x(x,y)，h=h(x,y) 则A11=A22=0，这时方程变为 uxh=-1B1ux+B2uh+Cu+F 2A122 若再作x=a+b,h=a-b则上述方程变为： uaa-ubb=-1(B1+B2)ua+(B1-B2)ub+2Cu+F A122：抛物型 2当a12-a11a22=0，这时式只有一个解 dya12 =dxa11它只能给出一个实的特征线，x(x,y)=c。取与x(x,y)函数无关的h=h(x,y)作为另一个新的变量，则 uhh=-1B1ux+B2uh+Cu+F A223：椭圆型 2当a12式各给出一族复特征线 -a11a22<0时，x=x(x,y)，h=h(x,y) 在该变换下：A11=0,A22=0且方程化为： uxh=-1B1ux+B2uh+Cu+F 2A12令x=a+ib,h=a-ib 则有： uaa+ubb=-1(B1+B2)ua+i(b2-b1)ub+2Cu+F A12例1：判断下面偏微分方程的类型并化简 uxx-2uxy-3uyy+2ux+6uy=0 2解：a11=1，a12=-1，a22=-3 a12-a11a22=4>0 故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程 (dy2dy)+2-3=0 dxdx3 dydy=-3或=1 dxdx故有y+3x=C1或y-x=C2 取新变量x=3x+y，h=-x+y 则 ¶u¶h¶u¶u¶h¶u， =3-=+¶x¶x¶h¶y¶x¶h¶2u¶2u¶2u¶2u=92-6+2 2¶x¶h¶x¶x¶h¶2u¶2u¶2u¶2u=2+2+2 2¶x¶h¶h¶y¶x代入原方程得： ¶2u¶u¶u-16+12+4=0 ¶x¶h¶x¶h即： ¶2u3¶u1¶u =+¶x¶h4¶x4¶h例2：判定下列二阶方程的类型 uxx+4uxy-3uyy+2ux+6uy=0 (1+x2)uxx+(1+y2)uyy+xux+yuy=0 uxx+xuyy=0 §2.2 数学物理方程解的基本性质 1方程的解 定义：如果有一个函数在某一自变量取值区域中具有所需的各阶连续偏导数，并且代入数学物理方程后使该方程成为恒等式，则称此函数为在该取值区域方程的解。 2解的基本性质 性质1：设u1和u2都是线性齐次方程Lu=0解，则c1u1+c2u2也是线性齐次 4 方程的解。其中 L是线性微分算子。 性质2：设u1,u2,L,un,L都是线性齐次方程Lu=0的解，且级数u=åui是i=1¥收敛的，并且对自变量x1,x2,Lxn均可两次通项微分，则u是线性齐次方程的解。这个结论叫解的叠加原理。 性质3：设u1是线性齐次方程Lu=0的解，u2是非线性齐次方程Lu=f的解，则u=u1+u2也是非线性齐次方程Lu=f的解。 3定解问题的适应性 在数学上，适应性问题包括：解的存在性，解的唯一性、解的稳定性。解的稳定性是研究定解条件发生微小变化时，解是否也发生微小变化。 下面列举不稳定的定解问题，即著名的哈达马问题拉普拉氏方程的初值问题为： ì¶2j¶2j+=0 (-¥<x<+¥,y>0)ïï¶x2¶y2 í¶jïjy=0=f(x),y=0=g(x)ï¶yî初值发生微小变化，定解问题为： ì¶2j¶2j+=0 (-¥<x<+¥,y>0)ïï¶x2¶y2 í¶jsinnxïjy=0=f(x),1y=0=g(x)+ï¶ynkî解为 1eny-e-nyj1(x,y)=j(x,y)+k+1sinnx 2n当n充分t时，初值的变化是微小的，即相应的解的变化为 sinnx1£k nkn1eny-e-nyj1(x,y)-j(x,y)=ksinnx 2n+1是任意大的。说明拉普拉氏方程初值问题的解是不稳定的。 5
