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数形结合思想的重要性研究 数形结合思想的重要性研究 摘要 数形结合思想是中学到高等数学解题中极其重要的解题方法，数形结合思想在数学问题的解决中起着关键作用。数形结合思想是提高学生分析问题、解决问题的能力，当然，在中学数学教学中数形结合思想的课程在整个教学任务中也是尤为重要，数形结合思想教学的目标就是让学生把握好数形结合思想并熟练运用，因此本文从数形结合的主要解题方法、常见的问题形式、易错常错题型以及如何培养学生的数形结合思想这四个方面阐述，不仅在理论上对中学范围内的数形结合思想进行分析学习，也为日后实践教学中的应用做准备。 关键词：数形结合，思想方法，常见形式，误区，思维方式。 数形结合是初等数学乃至高等数学解题中常用的重要的思想方法，数形结合解题方法不仅能够能几何问题转换成数量关系的问题，还能将数量关系的问题用数形结合方法转换成直观的几何问题。数形结合方法可以使枯燥的数量关系显得更加直观，而且可以将复杂的数量关系问题用表示的更加简单，让数学问题更加通俗易懂。 在解决数学问题时，数形结合思想的解题方法的精髓在于使得抽象概念能够和具体几何图形相互转化，使得数与形的信息相互渗透，使许多数学问题简单化的作用。 因此本文中我主要从几何图形和函数图像两个方面举例说明，并且结合本人学习的经验和以往课堂上老师像我们展示的方法来阐述结合教学实践的情况，举例说明数形结合思想在解决问题中的一些妙用，争取将数学自己学到的方法知识更好的应用到以后的教学工作中。 数形结合的主要途径 首先我们先思考下我国著名的数学家华罗庚曾经说过的一句至理名言数缺形时少直观，形少数时难入微。为什么伟大的数学家有这种感慨和论断？解题时主要运用建立坐标系、以及转化构造数形结合等方法。在实现由几何到数量关系的转化时,常常使用坐标系、数轴或者是将问题直接转换为各类函数问题的方法来求解,将数量关系直接转化为几何问题时,一般要从问题的结构特征出发,将数量关系转化为图形的问题之后利用图形有关性质解题。 建立坐标系进行数形结合 建立坐标系或复平面转换数形关系来解决问题 用数形结合解函数有关问题 例1：求函数的最小值。 分析：这是一个较为复杂的代数类极值问题，直接解非常复杂并且过程繁琐。可以将解题思路向数形结合方向靠拢，可以注意到： 是平面直角坐标系中两点之间距离公式，就可以把代数问题转化为几何问题求解。 解：设点 则即表示平面上点到点的距离和。 通过转化构造出数形结合 引入适当的角，运用三角函数或解三角形的相关知识，把几何问题转化为数量关系 问题。 例3：求函数的定义域。 分析:求三角函数定义域这个题型,我们常画三角函数线、利三角函数的图象以及数轴取交集来解决问题。 解：由题意得，解得。 作出的图像,如图,图象需满足, 由图象知函数的定义域为 利用函数图像解决求方程近似解或解的个数类问题。 通过构造函数的方法，数形结合将求方程解的问题转化为求两函数图像的交点问题。 例4：求方程的近似解。 分析：由方程两边的表达式，我们可以联想到指数函数与一次函数，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图像，由图像不难看出，这两个函数图像交点的横坐标即为方程的近似解，方程的近似解为。 数形结合类题目常见的形式 求值域 例5：求函数的值域。 解：=如图所示， ,所以函数的值域为。 求取值范围 例6：已知关于的不等式的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数的取值范围是：_ 解析：本题利用数形结合的的方法，将不等式转化为，先求出过点）并且与函数相切的直线L，再通过函数与函数的图像直观分析，分和进行讨论满足集合A中恰有两个整数时实数的不同取值。 解：在同一平面直角坐标系中作出函数与函数的图像。如图。 设直线L过点且与函数切于点。因为，所以， 解得或。 当时,切点为,若解集A中恰有两个整数,则只需要考虑点与点连线的斜率之间的关系,这里,所以。 当时,切点为, 若解集A中恰有两个整数, 则只需要考虑与点连线的斜率之间的关系, 这里,所以a。 求最值 不等式组求最值。 例7:试判断三个数的大小。 分析：运用转化思想，把三个数的值转换为三个函数：,。在时，所对应的函数值。在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以非常明确、直观地看出当时，所对应的三个点、的位置，比较它们的纵坐标，即可得出结论：。 圆求最值 例8：已知圆，圆。点M、N分别是 圆、上的动点,则的最小值为_。 分析:作出函数图像,将函数最值问题转化为平面直角坐标系中的图像问题,借助几何图形及其性质解决问题。 解: 圆、的图像如图所示。 设P是x轴上任意一点,则的最小值为,同理的最小值为,则的最小值为。关于轴的对称点 ,连结、 ,与轴交于点,连结,根据三角形两边之和大于第三边可知的最小值为。 数形结合中常见的解题误区 学生在利用数形结合思想方法解题的过程中,由于种种原因,经常会出现错误。常见的错误有：思维定势导致出错、画图不准确、逻辑性错误、构造性错误、函数定义域错误、理解错误、转化条件不等价等。 例9：已知方程有两个不相等的实数根。求实数 的取值范围。 错解: 原方程可化为。引入参数,设,此时 ,。由于原方程在区间内有两个不相等的实数根,等价于在 内有且只有一解,即二次函数在内和轴有且只有一个交点。 如图所示,所以 解析:在使用参数的过程中,应当做到恰当用参、合理用参，正确建立原方程与参数方程的关系，做好转化工作。 以上错误解法在引入参数后,没有完全审清题意,归纳出所有的条件,造成参数方程与原方程条件不等价,继而导致解题错误。实际上, 是在内有且只有一解的充分条件,而不是充要条件。忽略限制条件的转化导致解题出现错误。 正解: 函数在内有且只有一解的充要条件为 ，解得 培养学生的数形结合思维 数与形之间关系的变换方法相互渗透解决数学问题，使数学学习的学生的思维更加的敏捷，数学的探索和研究是很大的相关性和思维性的。数形结合是数学研究的常用方法。多年来，高考的高中招生考试，其中许多人正在使用数形结合思考问题、解决问题。根据新课程标准的指导下，数形结合解题方法应该是在初等数学的教学整个阶段逐步渗透，并培养学生的思维能力，形成良好的数学习惯。因此，在教学中要引导学生积极建立数形结合的思想，帮助塑造和解决一些数学问题。培训作为学生的空间和数字感，意识发展的主要形式，但也相结合，形象思维和抽象思维，不同的思维相互促进，协调发展的影响的交叉使用。教学和学习的多种形式相结合，将帮助教师培养学生灵活运用知识的能力。但一些形状工会思维方法需要学生的年龄特点，知识水平和认知特点作为参考，在日常教学中逐步渗透，不断丰富自己的内容，而不是作为一个一般的数学知识，通过几节课或一个教学几天就能掌握。 中学阶段的数学思想不仅旨在帮助学生拓展思维面，更重要的作用是它能够帮助学生逐渐找到适合自己的学习方法，建立个人学习秩序，从而让学生做到举一反三，真正地学会运用各种数学思维解决问题。中学数学教学中会有很多种数学解题方法，等量代换、构造法、待定系数法、数形结合法，这些数学解题方法对中学学生解题有很大的辅助作用。当然其中的数形结合思想，因为其可以直观的将抽象问题展现出来，而且还能化复杂为简单。初中阶段的学生会初步形成个人知识体系，应该在此时让学生了解接触数形结合思想，并在之后的学习中将其逐步渗透到数学学习中。数形结合思想将会有效地提高学生解题的效率，在其他数学思维的学习领会过程中也能起到辅助作用显而易见我认为教学中培养学生的数形结合思维可以从以下几个方面入手，让学生在数学学习过程中通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的主动应用意识。 一、在日常知识教学中渗透数形结合思想 在中学数学的日常教学中，我们作为学生知识的传授者，学科知识的领路人一定要在平常教学中充分利用教材给我们提供的习题练习，把握住数学解题思想的教学契机，从日常的教学中培养学生的问题分析能力和利用常用解题方法将复杂问题化为简单，将抽象问题直观化。例如在讲三角形的两边之和大于第三边，我们教师完全可以利用数形结合的思想将抽象的问题转换的更加的直观，例如在讲一元一次不等式解集的集合与一次函数图像等，只要我们教师正确引导，这些都是讲授数形结合解题思想的好契机这样就可以将问题变得直观而且简单，往往能够使问题迎刃而解。 二、在特殊知识教学中全面解释数形结合 在中学数学教学中有一些知识是非常明显而且是学生熟记于心的定义需要用数形结合思想去理解接受的或者是论证的，甚至数形结合是某种题型唯一的解题途径的，我们教师一定要牢牢把握住这样特殊的情况来向学生阐述数形结合的解题思想，例如三角函数及其图像的知识，教师让学生根据函数图像反复的对比归纳函数的性质，逐步引导学生探索发现三角函数的基本意义，从而使得学生的潜意识中先入为主地将反比例函数的有关知识与图像紧密结合，继而形成一种习惯性的数形结合思维。 三、利用考试考核引导学生建立数形结合思维 由于在教学过程中，仅依靠课堂上大量的突击式教学不能做到让学生从根本上形成数形结合的思维模式，根据艾宾浩斯遗忘理论，在这样的模式下学生容易出现短时记忆，所以需要一个更加有效的方法让学生牢记这种思想。在课外练习或者是平时的小测验测试中将数形结合思想的这类题型作为重要的考核地位，让学生深刻意识到数形结合解题思想的本阶段学习中重要意义，在课后的数学作业中，教师以实际行动告诉学生在解题时采用数形结合的办法，可以更加容易得分，或者是得到其他奖励。在课堂上教师随机提问或者是请学生台上演练的方法来掌握学生的熟悉运用程度，并加以点评等，让学生逐步培养数形结合解题方法。 结束语 本论文主要是通过回忆自己平时学习的数形结合思想解决数学问题的基础上，以查阅相关教科书以及专家学者文献刊物中从数形结合的主要解题方法、常见题型、易错常错题和如何引导学生培养数形结合思想的观念等几个方面具体分析讨论。文中有不足之处希望各位老师予以批评指正，不胜感激。