数形结合解决一元二次方程根的分布问题.docx

数形结合解决一元二次方程根的分布问题一元二次方程根的分布问题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理的运用。利用函数与方程思想：若y=f(x)与x轴有交点x0Ûf(x0)=0。 下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一一元二次方程根的基本分布零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1，x2，且x1£x2。 ：x1>0，x2>0ìD=b2-4ac³0ìD=b2-4ac³0或ï Ûïïa>0ïa<0ííïf(0)=c>0ïf(0)=c<0ïïîb<0îb>0上述推论结合二次函数图象不难得到。 ：x1<0，x2<0ìD=b2-4ac³0ìD=b2-4ac³0或ï Ûïïa>0ïa<0ííïf(0)=c>0ïf(0)=c<0ïïîb>0îb<0由二次函数图象易知它的正确性。 1 x1<0<x2Ûc<0 ab<0； a1x1=0，x2>0Ûc=0且 2x1<0，x2=0Ûc=0且b>0。 a二一元二次方程的非零分布k分布 设一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根为x1，x2，且x1£x2。k为常数。则一元二次方程根的k分布有以下若干定理。 构造相应二次函数f(x)=ax2+bx+c k<x1£x2ìïD=b2-4ac³0 Ûïaf(k)>0íïbï->kî2ax1£x2<kìïD=b2-4ac³0。 Ûïíaf(k)>0ïbï-<kî2a2 x1<k<x2Ûaf(k)<0。 有且仅有k1<x1<k2Ûf(k1)f(k2)<0 ìa>0ìa<0ïf(k)>0ïf(k)<011ïïïk1<x1<k2£p1<x2<p2Ûï或 íf(k2)<0íf(k2)>0ïf(p)<0ïf(p)>011ïïïîf(p2)>0ïîf(p2)<0ìïD=b2-4ac³02ïD=b-4ac³0ïïïa<0a>0ïk1<x1£x2<k2Ûï或ïf(k)<0 í1f(k)>0í1ïf(k)<0ïf(k)>022ïïbïbïk<-<k2k<-<k112ïï2aî2aîì3 三、练习题 *1. 关于x的方程x2+ax+a-1=0，有异号的两个实根，求a的取值范围。(a<1) *2. 如果方程x2+2(a+3)x+(2a-3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a的取值范围。 (a<-3) *3. 若方程8x2+(m+1)x+m-7=0有两个负根，求实数m的取值范围。(m>7) *4. 关于x的方程x2-ax+a2-4=0有两个正根，求实数a的取值范围。 (a>2) 5设关于x的方程4x2-4(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则m,n必须满足什么关系。 6关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个实根，一根大于1另一个实根小于1，求k的取值范围。 7实数m为何值时关于x的方程7x2-(m+13)x+m2-m-2=0的两个实根x1,x2满足0<x1<x2<2。 8已知方程x2+ (a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0，另一根大于2，求实数a的取值范围。 9关于x的二次方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求实数 m的取值范围。 10已知方程x2-mx+4=0在-1x1上有解，求实数m的取值范围。 4