数学竞赛专题讲座 因式分解.docx

数学竞赛专题讲座 因式分解第二讲 因式分解(二) 1双十字相乘法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式 例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 可以看作是关于x的二次三项式 对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 即 -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1) 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 所以 原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1) =(x+2y-3)(2x-11y+1) 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3 这就是所谓的双十字相乘法 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx 例1 分解因式： (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2 解 (1) 原式=(x-5y+2)(x+2y-1) (2) 原式=(x+y+1)(x-y+4) (3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解 原式=(y+1)(x+y-2) (4) 原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z) 说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似 2求根法 我们把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6， 当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12 若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根 定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a 根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根 定理2 的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解 例2 分解因式：x3-4x2+6x-4 分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0， 即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2 解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2) 原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2) 解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)， 所以 原式=(x-2)(x2-2x+2) 说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证 例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2 分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为： 所以，原式有因式9x2-3x-2 解 9x4-3x3+7x2-3x-2 =9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2 =x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2 =(9x2-3x-2)(x2+1) =(3x+1)(3x-2)(x2+1) 说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式 可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程 总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了 3待定系数法 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法 例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3 分析 由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和xyn的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决 解 设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1) 说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下 例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7 分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式 解 设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7) 说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止 本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式但利用待定系数法，使我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地 练习二 1用双十字相乘法分解因式： (1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3； (3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2 2用求根法分解因式： (1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4； (3)4x4+4x3-9x2-x+2 3用待定系数法分解因式： (1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9