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数学物理方法作业习题第二篇第4章习 题 1. 解具有固定端的弦0xl的自由振动问题，如果弦的点的初始速度为零，而初始位移u(x,0)=j(x)： (1) 正弦曲线，即j(x)=Asin(2) 对称轴在直线x=npx，n为整数； l1ll上的抛物线，而顶点是点M(,h)，即22l1j(x)=h-(x-)2，这里h=l2； 24l(3) 折线OAB，其中O(0,0),A(c,h),B(l,0),0<c<l，讨论c=的2情况. 2. 解具有固定端的弦0xl的自由振动问题，如果弦的初始状态处于静止(j(x)=0)，而初始速度y(x)为 (1) y(x)=C=const,(2) y(x)=íxÎ0,l； ìv0,xÎa,b， 其中0a<bl； î0,xÎa,bp(x-x0)ìïAcos,xÎx0-a,x0+a(3) y(x)=í， 2aï0,xÎx0-a,x0+aî其中 0x0-a<x0+al. 3. 解均匀杆的纵振动问题，如果u(x,0)=j(x)，ut(x,0)=y(x)，而端点： (1)杆的一端x=0是刚性固定，而另一端x=l是自由的； (2) 杆的两端是自由的； (3) 杆的一端x=0是自由的，而另一端x=l为弹性固定. 4. 解杆的自由纵振动，如果杆的一端x=0是刚性固定的，而力P施于另一端- 1 - x=l，在时刻t=0时力P停止作用，即解定解问题： ìïutt=a2uxxï íu(0,t)=0,uxx=l=0ïru(x,0)=x,ut(x,0)=0ïEsî 这里s为杆的横截面积，E为杨氏模量. 5. 求解可变电流流过长度为l的导线中的电流强度i(x,t)，如果没有漏电，且可以忽略电阻，假定在导线中初始电流等于零，而初始电压为E0sinpx2l，导线的左端(x=0)是绝缘的，而右端(x=l)是接地的. 提示：问题归结为混合问题： ìïLCitt=ixxï íixx=0=0,ix=l=0 ïEppx=-0cosïit=0=0,itt=02lL2lî6. 解沿边缘固定的矩形薄膜(0<x<a,0<y<b)的自由振动问题，如果 t=0ut=Asin7. 解混合问题 pxasinpyb，ut=0. ìu=a2(u+u),(0<x<p,0<y<p)xxyyïttï íux=0=ux=p=uy=0=u =0y=pïu=3sinxsin2y,ut=5sin3xsin4yït=0ît=08. 求解沿边缘固定的半径为a的均匀圆薄膜的自由振动问题： (1) 解混合问题 - 2 - 1ì2u=c(u+ur)rrïttrï=0,ur=0<+¥ïu ír=a， 这里mk是方程J0(m)=0的正根. mrkïu=AJ0t=0ïRïîutt=0=0(2) 解混合问题 1ì2u=c(u+ur)rrïttrï íur=a=0,u <+¥r=0ïu=f(r),utt=0=g(r)ït=0î(3) 解混合问题 ì12u=c(u+ur)ïttrrrï<+¥ íur=a=0,u， A为常数. r=0ïr2ïut=0=A(1-2),utt=0=0Rî提示： xx323xJ(x)dx=xJ(x)， xJ(x)dx=2xJ(x)+(x-4x)J1(x). 010òò000以上各小题中的c是常数. 9. 解下列混合问题： 21ìu=u+ux,(0<x<1,t>0)xxïttxï íux=0有界，ux=1=g(t) ïu=j(x),utt=0=y(x)ït=0î- 3 - (1) 若g(t)=sin2t,j(x)=ê1-0ú,y(x)=0； 2ëJ0(2)ûj(x)=J0(2x),y(x)=0； J0(2)1éJ(2x)ù(2) 若g(t)=cos2t,(3) 若g(t)=t-1,j(x)=J0(m1x)-1,y(x)=1，其中m1是方程J0(m)=0的正根. 10. 设长度为l的重均匀绳索，在端点x=l处悬挂，使绳索无初速离开平衡位置，假定介质无阻力，在重力作用下，绳索的振动问题就归结为解混合问题： ìutt=a2(xux)x,(0<x<l,t>0)ï íux=l=0,ux=0有界ïu(x,0)=j(x),u(x,0)=0tî 这里a=g，g为重力加速度. 11. 已知长度为l，侧面是绝热的均匀细杆，求杆中的温度分布u(x,t). 若(1) 杆端x=0，x=l保持为零度。而初始温度u(x,0)=j(x)，其中设 j(x)=A，j(x)=Ax(l-x)，A为常数； (2) 杆端x=0保持零度，而在x=l端与周围为零度的介质发生热交换，杆的初始温度u(x,0)=j(x)； (3) 在杆的两端x=0与x=l都有与周围为零度的介质热交换，而杆的初始温度为u(x,0)=j(x)；提示：其边界条件为：(ux-hu)x=0=0,(ux+hu)x=l=0. - 4 - (4) 杆端是绝热的，而初始条件为u(x,0)=u0； (5) 杆端是绝热的，而初始温度分布为 lìu=const,0<x<ï02 u(x,0)=ílï0,<x<l2î 讨论当t®+¥时u(x,t)的状态. (6) 杆端是绝热的，而初始温度分布为 lì2u0x,0<x<ï2， u为常数， u(x,0)=íl02u0lï(l-x),<x<l2îl求limu(x,t). t®+¥12. 设球心在坐标原点半径为a的均匀球体，求球内的温度u(r,t). 若(1) 球的外侧球面保持为零度，即u(r,t)r=a=0，而初始温度仅与到球心的距离r有关，即ut=0=j(r)； (2) 在球面上与零度的介质发生按牛顿定律的对流热交换，而初始温度ut=0=j(r)； 提示：半径为a，球心在坐标原点的均匀球体，当球的任一点的温度仅与该点离球心的距离r有关的情况，热分布问题归结为热传导方程2ut=c2(urr+ur). r13. 有半径为1的球体，其上半球面的温度常保持为u0(>0)，其下半球面的温度常保持为0C，试求球内的稳定温度分布u(r,q). - 5 - 0提示：问题归结为边值问题： cosqì2ru+2ru+uq+uqq=0rïrrsinqïïpì í u,0<q<ï02ïu(1,q)=ípïï0,<q<pï2îî14. 已知半径为a的球面保持温度为u0，半球底面保持绝热，试求这个半球里的稳定温度分布u(r,q). 提示：问题归结为解混合问题： ìïDu=0,(r<a,0<q<p,0<j<p)ï22ïp(0£q£) íur=a=u0, 2ïï¶u=0ï¶qq=p2î15. 解下列混合问题： ìutt=a2uxx+2b,(0<x<l,t>0)ï (1) íu(0,t)=u(l,t)=0，这里b为常数. ïu(x,0)=u(x,0)=0tîìutt=a2uxx+cost,ï(2) íu(0,t)=u(p,t)=0ïu(x,0)=u(x,0)=0tî(0<x<p,t>0)16. 设长为l的均匀弦，弦的两端x=0与x=l固定，初始条件为零，弦所受外力密度为p(x,t)=Arsinwt，w¹npa(n=1,2,L)，l求解弦的强迫振动问题. 17. 设长度为l的均匀杆，将杆x=0端悬挂，求解在重力作用下杆的纵向振动问题.归结为解混合问题： - 6 - ìutt=a2uxx+g,(0<x<l,t>0)ï íu(0,t)=0,ux(l,t)=0 ïu(x,0)=0,u(x,0)=0tî这里g为重力加速度. 18. 设圆心在坐标原点半径为a的均匀圆膜，如果它的边缘固定，初始条件为零，假定介质无阻力，振动是由附加在薄膜一侧的均匀分布压力p=p0sinwt引起的，这里w¹求解此强迫振动问题. 提示：问题归结为解混合问题： 1cmn，mn是方程J0(m)=0的正根，a11ì1u=u+u+sinwt,(0<r<a,t>0)rrrïc2ttrr í ïu有界,u=0,ut=0=0,utt=0=0r=aîr=019. 解下列混合问题： ìut=a2(uxx-2ux)+x+2t,ï (1) íu(0,t)=u(l,t)=0ïu(x,0)=exsinpxî(0<x<l,t>0)ìïut=uxx+u-x+2sin2xcosx,ï(2) íux=0=0,uxx=p=02ïïut=0=xî(0<x<p2,t>0)ìut-uxx-9u=4sin2tcos3x-9x2-2,(0<x<p,t>0)ï(3) íuxx=0=0,uxx=p=0 2ïu=x+2ît=020. 设弦长为l，一端x=0为固定，而另一端x=l受Asinwt的力扰动作用，kpa(k=1,2,L)，在时刻t=0时位移和速度设为零，解此弦这里w¹l强迫的横振动问题归结为解下列定解问题： - 7 - ìutt=a2uxxïíu(0,t)=0,u(l,t)=Asinwt ïu(x,0)=0,u(x,0)=0tî21. 设长度为l的杆处于静止状态，它的一端x=0刚性固定，在时刻t=0沿杆作用在杆的自由端x=l为常力Q，求杆的位移u(x,t). 此问题归结为解混合问题： ìutt=a2uxx,(0<x<l,t>0)ïQïu(0,t)=0,u(l,t)=íxEsïïîu(x,0)=0,ut(x,0)=0其中E为弹性模量，s为杆的横截面积. 22. 解下列混合问题： ìtïutt-uxx+2ut=4x+8ecosx,ïpï (1) íux(0,t)=2t,u(,t)=pt2ïïu(x,0)=cosx,ut(x,0)=2xïîìutt-3ut=uxx+2ux-3x-2t,ï(2) íux(0,t)=0,u(p,t)=ptïu(x,0)=e-xsinx,u(x,0)=xtî(0<x<p2,t>0)(0<x<p,t>0)ìïut=uxx+2sinxsin2x,ïpï(3) íu(0,t)=0,ux(,t)=12ïïu(x,0)=xïî(0<x<p2,t>0)- 8 - ìut-uxx=xt(2-t)+2cost,ï22(4) íux(0,t)=t,ux(p,t)=tïu(x,0)=cos2xî(0<x<p,t>0)23. 设半径为a的无限长圆柱体，圆柱侧面保持常温u0，圆柱体内的初始温度，求圆柱体内的温度分布u(r,t). 24. 设半径为a的无限长圆柱体，它的侧面发生热辐射到温度为零的周围介质中去，其初始温度为j(r)，求圆柱体内的温度分布u(r,t). 提示：边界条件u(r,t)当r=0为有界，(ur+hu)r=a=0. 25. 解下列定解问题： ìuxx+uyy=0,(0<x<a,y>0)ï (1) íu(x,0)=x(x-a),limu(x,y)=0y®+¥ïîu(0,y)=0,u(a,y)=0(0<x<a,0<y<b)ìuxx+uyy=c,ï(2) íu(0,y)=0,u(a,y)=0ïu(x,0)=0,u(x,b)=0î这里c为常数. 2ìïuxx+uyy=y,(r<a)222(3) í，其中r=x+y. ïîur=a=xyì(0<x<a,y>0)ïuxx+uyy=0,ï(4) íu(0,y)=0,u(a,y)=0,(0£y<+¥)ïxu(x,0)=A(1-),limu(x,y)=0ïay®+¥î- 9 - ìuxx+uyy=0,(0<x<a,0<y<b)ï(5) íu(0,y)=A,u(a,y)=Ay,(0£y£b) ïu(x,0)=0,u(x,b)=0yîy(6) 在矩形区域G:í(x,y)0£x£a,-的边界上取零值的解. (7) íìîb£y£2büý，求泊松方程在区域G 2þìuxx+uyy=-4，其中r2=x2+y2. îur=a=0ìuxx+uyy=0,(0<x<a,0<y<b)ï(8) íux(0,y)=A,ux(a,y)=A,(0£y£b)，其中A,B为已知常数. ïu(x,0)=B,u(x,b)=B,(0£x£a)yîy- 10 -