数学物理方法第二篇第1章.docx

数学物理方法第二篇第1章第二篇 数学物理方程 第一章 希尔伯特空间L2a,b与施斗姆-刘维尔算子 §2.2.1希尔伯特空间L2a,b 希尔伯特空间L2a,b是一个函数空间，这里简单地介绍一下，不作专门的理论研究. 2.1.1.1连续函数空间Ca,b 定义在区间a,b上的所有连续的复值函数的集合记为Ca,b，这里区间a,b可以是无限的.Ca,b是一个线性空间，现在在Ca,b空间引入内积运算. 定义1.设f(x),g(x)为空间Ca,b内的任意两个函数，称在黎曼b意义下的积分òf(x)g(x)dx为f,g的内积，记作 ab(f,g)=òf(x)g(x)dx a这里g(x)表示取g(x)的复共轭. 根据定义，内积满足以下性质： 1.(f,g)=(g,f). 2对任意复数a,b都有 (af+bg,h)=a(f,h)+b(g,h) - 1 - 这里f,g,hÎCa,b. 3(f,f)0，当且仅当f=0时，(f,f)=0. 可见Ca,b是一内积空间. 引入空间Ca,b内的范数. 定义2.设f(x)为Ca,b内任意一个函数，称实数(f,f)为函数f(x)的范数，记为f. 显然范数与内积满足关系式 (f,g)它就是Cauchy-Schwarz不等式. f×g， 范数×具有以下明显的性质. 1f0，当且仅当f=0时，f=0. 2对任意复数a，有af=a×f. 3成立三角不等式 f+gf+g. 现在引入连续函数空间Ca,b中函数序列收敛的概念. 定义3.设Ca,b中的一个函数序列fn(x)，如果有函数f(x)，使得 æö2÷=0, limfn-f=limçf-fdxn÷n®+¥n®+¥çòèaø- 2 - b12则称函数f(x)为函数序列fn的极限，记为limfn=f. n®+¥这种收敛的概念与高等数学中的序列收敛的定义是不同的，通常称fn为以范数收敛或平均收敛，为方便，也可简称平均收敛为收敛. 高等数学中有一个判定序列收敛的著名的哥西准则.称凡是满足哥西准则的Ca,b中的函数序列fn(x)为基本列，即如果f(x)是基本列，那么对于任意给定的e>0，总存在自然数nN=N(e)，当n,m>N时都有fn-fm<e，反之亦然. 应当指出，在空间Ca,b中，基本列fn的极限未必是连续函数，即基本列fn在Ca,b中未必收敛.不能使得每一个基本列都收敛的空间称为不完备空间.可见，空间Ca,b是不完备的. 为了便于极限运算，可以将不完备的内积空间Ca,b完备化，并且称Ca,b的完备化空间为L2a,b空间. 所谓完备化，就是在Ca,b中增加所有基本列的极限函数.设函数序列fn是Ca,b中的基本列，则定义函数f(x)为 f(x)=limfn(x). n®+¥这样，若fn本身在Ca,b中为收敛于f0的基本列，则取f=f0.若，则Ca,b中两个基本列fn与gn满足fn-gn®0- 3 - 规定limfn=limgn. n®+¥n®+¥2.1.1.2L2a,b空间 由此可见，函数空间L2a,b中所有函数f(x)都可以表示为连续函数序列fn的极限.于是，可以这样来引入L2a,b中的线性运算与内积运算. 定义4.设fn，gn是Ca,b中的两个基本列，记limfn=f，n®+¥n®+¥limgn=g，则定义 af+bg=lim(afn+bgn)，这里a,b为复数， n®+¥(f,g)=nlim(fn,gn) ®+¥ 由于afn+bgn仍是Ca,b中的基本列，(fn,gn)是复数域中的基本列，因此上面的定义是合理的. 由此，L2a,b空间中函数f的范数定义为 f=(f,f). 显然，成立定理1. bìüï1ï定理1.设fn是Ca,b空间中的基本列，则数列íòfn(x)dxý是复平ïïîa1þ面上的基本列，这里区间a1,b1是区间a,b的任意一个子区间. bìüï1ï这样，数列íòfn(x)dxý是复平面上的基本列，并且有复数A为ïïîa1þ- 4 - b1A=limn®+¥a1òfn(x)dx. 于是我们定义 定义5.设fn是Ca,b空间中的基本列，a1,b1Ìa,b，记f(x)=limfn(n®+¥bìüï1ïx那么我们称数列íòfn(x)dxý的极限A为函数f(x)，ïïîa1þbìüï1ï在a1,b1上的勒贝格(Lebesgue)积分，记为íòf(x)dxý，并说f(x)在ïïîa1þa1,b1上勒贝格可积. 显然，若f(x)在a,b上黎曼可积则它的黎曼积分与它的勒贝格积分相等.今后如不特别声明，本书中的积分均指勒贝格积分. 注意到Ca,b中基本列的有界性，因此数列fn样L2a,b中函数f的范数也可用积分表示： æöæö22ç÷çf=çlimòfndx÷=çòfdx÷÷<+¥. n®+¥aèøèaøb12b12也是基本列，这2同样，L2a,b中的内积用勒贝格积分表示为 b(f,g)=òf(x)g(x)dx, a其中f(x),g(x)ÎL2a,b. 若函数f(x)的模数f(x)在a,b上勒贝格可积，则称函数- 5 - 2f(x)是平方可积的.由此可见，L2a,b中的每一个函数都是平方可积函数.凡是平方可积的函数也必都属于L2a,b，因此也可以把它作为空间L2a,b的定义. 如果两个函数f,gÎL2a,b，在a,b的任一子区间a1,b1上有 b1b1a1òf(x)dx=òg(x)dx, a1则说两个函数f,g是在a,b上几乎处处相等的，仍记为f=g.于是，在此意义下，在L2a,b空间中(f,f)=0的必要且充分的条件是f=0. 显然，L2a,b是内积空间，满足内积的三条性质与范数的三条性质，同样，保持哥西不等式及内积连续性等性质，是完备的内积空间，因此L2a,b空间是希尔伯特空间. 2.1.1.3L2a,b空间的傅里叶级数 有人曾经指出，希尔伯特空间L2a,b是无穷维的欧氏空间.这反映了L2a,b具有许多类似于欧氏空间的性质：一个n维欧氏空间Rn中存在标准正交基，对于Rn中的任一向量均可由这组标准正交基线性表示，对于L2a,b空间也有这方面的类似性质. 定义6.设f1,f2ÎL2a,b，如果(f1,f2)=0则称函数f1,f2是正交- 6 - 的. 定义7.若L2a,b中一个可列无穷的函数列jn满足 ji,jj=dij=íì0 i¹j (i,j=1,2,3,×××××) î1 i=j则称函数列jn为L2a,b中的标准正交系. 例1：在复的L2-p,+p空间里，函数系 ì1inxüeý (n=0,±1,±2,××××)是L2-p,+p中的一个标íî2pþ准正交系. 例2：在L2a,b空间里,这里a,b是实数,函数系 2np(x-a)2np(x-a)122, cos, sin, n=1,2,××××b-ab-ab-ab-ab-a是L2a,b的一个标准正交系. 对于欧氏空间Rn的任一向量均可由它的标准正交基线性表出,也就是说,欧氏空间的标准正交基是完全的.对于L2a,b空间，也可以讨论其标准正交系是否完全的问题以及L2a,b空间中的任一函数由标准正交系线性表示问题. 定义8.设jn是L2a,b空间的一个标准正交系，如果存在一个非零函数fÎL2a,b，使f与jn中的每一个函数都正交，则称jn是不完全的，否则称jn是完全的. - 7 - ì2np(x-a)üï2ïsin例3：函数系íý (n=1,2,3,×××)是L2a,b上b-ab-aïïîþ一个不完全的标准正交函数系. ì2ü2np(x-a)ïïsin事实上，函数系íý (n=1,2,3,×××)是L2a,bb-ab-aïïîþ上的一个标准正交系是显然的.因此只要证明它不是完全的.取f(x)=1ÎL2a,b，且 bò1×a2np(x-a)2np(x-a)22b-asindx=-cosb-ab-ab-a2npb-aba=0 ì2np(x-a)üï2ï(n=1,2,3,××××)，所以函数系íb-asinb-aý是L2a,b上一个ïïîþ不完全的标准正交系. ì2ünp(x-a)ïïsin 例4：函数系íý (n=1,2,3,×××)是L2a,b上b-aïïîb-aþ一个完全的标准正交系. 应当指出，标准正交系jn中任意有限个函数jn1,jn2,××××,jnm是线性无关的. 定义9.设jn (n=1,2,×××)是L2a,b中的一个标准正交系，则把数列(f,jn) (n=1,2,×××)叫做函数f关于标准正交系jn的傅里叶系数，这里fÎL2a,b. 我们不加证明给出傅里叶级数的收敛定理. 定理：如果jn是L2a,b空间中一个完全标准正交系，则- 8 - f(x)ÎL2a,b的傅里叶级数å(f,jn)jn(x)收敛于f(x)，即 n=1+¥f(x)=å(f,jn)jn(x), n=1+¥并且成立巴塞伐尔(Parseval)等式 f2=å(f,jn), n=1+¥2即L2a,b空间中的勾股定理. 类似地，推广到二维上去. 设函数系jn(x) (n=1,2,×××)是L2a,b中的一个标准正交的完全系.那么函数系jm(x)jn(y)是L2a,b´a,b上的一个标准正交的完全系，这里m,n=1,2,××××.于是对于在a,b´a,b上平方可积的函数f(x,y)有二维傅里叶级数的收敛定理 f(x,y)=并且成立 m,n=1åa2+¥mnjm(x)jn(y) f(x,y)=m,n=1å+¥amn, 2这里amn=(f(x,y),jm(x)jn(y)是二维的傅里叶系数. 2.1.1.4 施斗姆(Sturm)-刘维尔(Liouville)算子 通常称算子 - 9 - Lyºù1édædyö-p(x)+q(x)y(x)ç÷ú r(x)êdxdxèøëû为施斗姆-刘维尔算子.这里系数p(x),q(x)在a,b上定义，并且p(x)p0=const>0,q(x)0，r(x)r0=const>0. 我们考虑空间L2(a,b,r(x)，其内积为带权因子r(x)的积分定义，b记为 (f,g)r=òr(x)f(x)g(x)dx, a从而其范数为 fæö2ç=çòr(x)f(x)dx÷÷. èaøb12r若(f,g)r=0则记f,g带权因子r正交，r=1就是通常意义下的正交. 2.1.1.5施斗姆-刘维尔本征值问题 称方程 Ly=ly 即 dædyöçp(x)÷-q(x)y(x)+lr(x)y(x)=0 dxèdxø为施斗姆-刘维尔方程,是数学物理问题中常见的一种微分方程，这里l是参数. - 10 - 施斗姆-刘维尔方程Ly=ly在不同情况下应与如下几种边界条件构成本征值问题： 若在端点x=a有p(a)¹0，则在x=a点要附加三类齐次边界条件ay¢(a)+by(a)=0，这里a2+b2¹0，若a=0,b¹0为第一类边界条件；若a¹0,b=0为第二类边界条件. 若p(a)=0,而p¢(a)¹0,则在x=a有y(a)为有限的条件称之为自然边界条件. 若在端点x=a，x=b有p(a)=p(b)，则在x=a，x=b有称之为周期性的边界条件y(a)=y(b)，y(a)=y¢(b). 在上述三类条件之一下，求使得方程Ly=ly有非零解y(x)的值l的问题称之为本征值问题. 对于此，在空间L2(a,b,r)内有 有可列无穷多个非负的本征值 0l1l2LlnL 和相应的本征函数 j1(x),j2(x),×××,jn(x),××× 满足Ljn=lnjn. 这些本征函数j1(x),j2(x),×××,jn(x),×××构成L2(a,b,r)空间内的标准正交完全系，且有 - 11 - bòr(x)jan(x)jm(x)dx=0,(n¹m,n,m=1,2,3,.) 若f(x)ÎL2(a,b,r)，则有傅里叶级数 f(x)=åCnjn(x)， n=1+¥其中 Cn=1b2jnraòr(x)f(x)jn(x)dx. 例5: 证明施斗姆-刘维尔本征值问题 ìLy=ly这里p(a)¹0,p(b)¹0í2222¢¢ay(a)+by(a)=0ay(b)+by(b)=0,a+b¹0,a+b1221122¹0î1的本征函数系jn (n=1,2,×××)在区间a,b上是带权因子r(x)正交的. 证：设ln,lm(n¹m)为两个不相等的本征值，jn(x),jm(x)分别是它们的对应的本征函数，即Ljn=lnjn，Ljm=lmjm，并且满足 ¢(a)+b1jn(a)=0,a2jn¢(b)+b2jn(b)=0,a1jn¢(a)+b1jm(a)=0,a2jm¢(b)+b2jm(b)=0. a1jm注意到p(x),q(x),r(x)都是实值函数，所以有 rLjn=lnrjn, rLjm=lmrjm 用jm乘以第一式，jn乘以第二式，相减，并在a,b上积分，注意到算子L的特点得： - 12 - (ln-lm)òr(x)jn(x)jm(x)dxabédjmödjnöùdædæ÷-jm(x)çp(x)=òêjn(x)çp(x)÷údx ç÷dxèdxødxèdxøûêúaëbéùæ¢(x)ö=êp(x)çjn(x)jm(x)-jm(x)jn÷úèøûaë ¢¢ææö¢(b)ö¢=p(b)çjn(b)jm(b)-jm(b)jn-p(a)j(a)j(a)-j(a)j(a)÷çn÷mmnèøèø¢b注意到边界条件中a1,b1不同时为零，a2,b2不同时为零，所以系数行¢(b)jn(b)¢(a)jn(a)jnjn=0， =0 列式 ¢(b)jm(b)¢(a)jm(a)jmjm因此，得： (ln-lm)òr(x)jn(x)jm(x)dx=0， ab而ln¹lm，故得本征函数系jn(x)带权因子r(x)正交，即 bòr(x)jan(x)jm(x)dx=0. §2.1.2线性常微分方程的级数解法 二阶线性齐次常微分方程的一般形式是 w¢¢(z)+p(z)w¢(z)+q(z)w(z)=0, 其中自变量z是复数. - 13 - 如果函数p(z),q(z)在z=z0点解析，则称此点z0为方程的常点.如果z0是p(z)的至多一阶极点，是q(z)的至多二阶极点，即 p(z)=j(z)z-z0, q(z)=y(z)(z-z0)2其中j(z),y(z)在z0点解析，那么点z0称为方程的正则点. 我们仅讨论方程在常点邻域、正则点邻域内的级数解，给出幂级数的解法. 2.1.2.1常点邻域内幂级数解法 不失一般性，只讨论x=0点为常点的幂级数解法，如果x0¹0， 就令t=x-x0，化为在原点内讨论了. 例6：在x=0点的邻域内求解艾里方程y¢¢(x)-xy(x)=0的幂级数解. 解：设y(x)=åcnxn, cn是待定的常数. n=0+¥ y¢(x)=åncnxn=0+¥n-1=åncnxn-1 , n=1+¥+¥y¢¢(x)=ån(n-1)cnxn=1+¥n-2=ån(n-1)cnxn-2 n=2+¥代入方程，有 ån(n-1)cnxn=2+¥n-2-åcnxn+1=0 n=0- 14 - 合并同类项，得 2×1c2+å(n+2)(n+1)cn+2-cn-1)xn=0 n=1+¥比较两边同次幂项的系数得： x0: 2c2=0x: (n+2)(n+1)cn+2-cn-1=0, n=1,2,3,×××n由此得 c2=0，还有递推关系式 cn+2=当n=1时 c3=cn-1, n=1,2,3,××× (n+2)(n+1)c01=c0 3×23!c2当n=2时 c4=1=c1 4×34!c当n=3时 c5=2=0 5×4c1×4c0 当n=4时 c6=3=6×56!c2×5c1 当n=5时 c7=4=7×67!c当n=6时 c8=5=0 8×7于是，易得 c3m=1×4×××(3m-2)2×5×××(3m-1)c0, c3m+1=c1 (3m)!(3m+1)!故得艾里方程的通解： +¥+¥ææ1×4×7×××(3m-2)3mö2×5×8×××(3m-1)3m+1öy(x)=c0çx÷+c1çx+åx÷ç1+å÷ç÷3m!3m+1!()()m=1èm=1øèø其中c0,c1为任意实常数.艾里方程的两个线性无关解为： - 15 - y1(x)=1+å1×4×7×××(3n-2)3nx, x<+¥(3n)!n=1+¥y2(x)=x+å2×5×8×××(3n-1)3n+1x, x<+¥(3n+1)!n=1+¥例7：在x=0点的邻域内，求解方程 (1-x)y¢¢(x)+xy¢(x)-y(x)=0 2解：x=0点是此方程的常点，设y(x)=åcnxn n=0+¥ y¢(x)=åncnxn=1+¥n-1 , y¢¢(x)=ån(n-1)cnxn-2 n=2+¥代入方程，有 +¥+¥+¥+¥ån(n-1)cxnn=2n-2-ån(n-1)cnx+åncnx-åcnxn=0 nnn=2n=1n=0合并同类项，得 n+2)(n+1)cn+2-(n-1)(2c2-c0)+3×2c3x+åéë(n=2+¥2cnùxn=0 û比较两边对应次幂的系数，得 x0: 2c2-c0=0, x1: 6c3=0x: (n+2)(n+1)cn+2-(n-1)cn=0, n=2,3,4×××n21由此有 c2=c0, c3=0 2n-1)(c递推公式 cn+2=(n=2,3,4,×××) (n+2)(n+1)n, 2- 16 - 当n=2时 c4=c21=c0 4×34!22c3=0 当n=3时 c5=5×43212×32c4=c0 当n=4时 c6=6×56!42c5=0 当n=5时 c7=7×65212×32×52c6=c0 当n=6时 c8=8×78!é(2n-3)!ùûc, n=2,3,4,××× 所以一般地有 c2n+1=0, c2n=ë()0(2n)!2æx2+¥é(2n-3)!ù2öëû2n得解为 y(x)=c1x+c0ç1+åx÷, c0,c1为任意常数,ç2!n=2÷(2n)!èø此方程的两个线性无关的解是 é(2n-3)!ùxëûx2n. y1(x)=x, y2(x)=1+å2!n=2(2n)!2+¥22.1.2.2正则点邻域内的幂级数解法 不失一般性，只讨论x=0点为方程正则点的方程的幂级数解法. 例8:在x=0点的邻域内求方程 4xy¢¢(x)+2(1-x)y¢(x)-y(x)=0 - 17 - 的幂级数解. 解：显然x=0是方程的正则点.为此设方程的解为 y(x)=åcnxn+r, 不妨设c0¹0 n=0+¥求导有 y¢(x)=åcn(n+r)xn=0+¥n+r-1 , y¢¢(x)=åcn(n+r)(n+r-1)xn+r-2, n=0+¥代入方程得 å4c(n+r)(n+r-1)xnn=0+¥+¥n=0n=0+¥n+r-1+å2cn(n+r)xn+r-1n=0+¥-å2cn(n+r)xn+r-åcnxn+r=0消去xr，合并同类项，得 n2(2r-1)rc0+åéë2(n+r)(2n+2r-1)cn-(2n+2r-1)cn-1ùûx=0 n=1+¥比较同次幂的系数，得 2(2r-1)rc0=02(n+r)(2n+2r-1)cn-(2n+2r-1)cn-1=0, (n=1,2,3,×××)由于c0¹0，得到关于r的一元二次方程r(2r-1)=0，这个方程称之为指标方程，通常取实部较大的那个根为r1，较小的那个根为r2，1这里有r1=, r2=0 2c1将r1=代入第二式得递推关系式：cn=n-1, n=1,2,3,××× 22n+1- 18 - cc11当n=1时，有c1=c0,当n=2时有c2=c1=0=0,×××，一般地有 355×35!cn=c02n+1!()从而得 y1(x)=c0由于r1-r2=xn. xå2n+1!)n=0(+¥11-0=不为整数，因此找方程的与y1(x)线性无22+¥n+r2关的解可设为 y2(x)=ådnxn=0=ådnxn. n=0+¥¢(x)=åndnx这样 y2n=1+¥n-1¢¢(x)=ån(n-1)dnxn-2, , y2n=1+¥代入方程，得 å4n(n-1)dxnn=2+¥n=1+¥n-1+å2ndnxn=1+¥n-1-å2ndnx-ådnxn=0nn=1n=0+¥+¥n(2d1-d0)+åéë(2n+2)(2n+1)dn+1-(2n+1)dnùûx=0比较同次幂的系数得 2d1-d0=0, (2n+2)(2n+1)dn+1-(2n+1)dn=0, (n=1,2,3,×××) 由此得到系数的递推关系式： d1=d0,2dndn+1=, (n=1,2,3,×××)2(n+1)当n=1时，有 d2=d1d0= 44!- 19 - 当n=2时，有 d3=一般地， 有 dn=d2d0= 66!d0, (n=1,2,3,×××) 2n!()这样得 y2(x)=å故得方程通解 d0nx, 2n!()n=012+¥+¥xxn, y(x)=y1(x)+y2(x)=c0å+d0å2n+1!2n!)n=0(n=0(+¥n+这里c0,d0为任意常数. 例9:在x=0点邻域内求方程 xy¢¢(x)-xy¢(x)+y(x)=0 的幂级数解. 解：显然x=0是方程的正则点，设方程的解为 y(x)=åcnxn+r, n=0+¥这里r,cn都是待定的常数，不失一般性，总假定c0¹0，否则把不为零的那项的x的幂指数并入r内. y¢(x)=åcn(n+r)xn=0+¥n+r-1 , y¢¢(x)=åcn(n+r)(n+r-1)xn+r-2, n=0+¥为方便起见，方程两边乘以x，得 x2y¢¢(x)-x2y¢(x)+xy(x)=0, 代入上式得 - 20 - åc(n+r)(n+r-1)xnn=0+¥n+r-åcn(n+r)xn=0+¥n+r-1+åcnxn+r+1=0 n=0+¥消去xr，合并同类项，化简得 nc0r(r-1)+åéëcn(n+r)(n+r-1)-(n+r-2)cn-1ùûx=0 n=1+¥注意到c0¹0，得指标方程r(r-1)=0，与递推关系式 cn=n+r-2c, n=1,2,3,×××× (n+r)(n+r-1)n-1指标方程有两个根r1=1, r2=0, 将r1=1代入递推关系式得 cn=n-1cn-1, n=1,2,3,×××× n(n+1)当n=1时，得c1=0，于是得cn=0, n=1,2,3,××× 因此得 y1(x)=c0x. 由于这里r1-r2=1为整数，为了求得与y1(x)线性无关的第二个解，这时设 +¥y2(x)=gy1(x)lnx+ådnxn+r2n=0+¥ =gy1(x)lnx+ådnxnn=0由于y1(x)=c0x,为简单起见，记A=gc0，于是有 - 21 - y2(x)=Axlnx+ådnxn， A,dn为待定常数， n=0+¥¢(x)=Alnx+A+åndnx于是y2n=1+¥n-1A+¥¢¢(x)=+ån(n-1)dnxn-2, ,y2xn=2代入变形后的方程中，得 Ax+ån(n-1)dnx-Ax-Axlnx-åndnxn22n=2n=1+¥+¥n+1+Axlnx+ådnxn+1=02n=0+¥合并同类项，化简有 (A+d0)x-(A-2d2)x比较同次幂系数得 2n+åénn-1d-n-2dxù()()nn-1ëû=0 n=3+¥A+d0=0, A-2d2=0dn= n-2dn-1, n=3,4,5,×××n(n-1)这里A¹0，取A=1,得 d0=-1, d2=1 211d2= 3×22×3!21d3=当n=4时 d4= 4×33×4!当n=3时， d3=依次类推得，一般式 dn=1, n=2,3,4,××× (n-1)×n!+¥xn于是得 y2(x)=xlnx-1+å. n=2(n-1)×n!- 22 - +¥æöxn故方程的通解为 y(x)=c0x+Aç, ÷çxlnx-1+å÷n-1×n!()n=2èø这里c0,A为任意常数. 例10: 在x=0点邻域内求方程 x21+x2y¢¢(x)-2y(x)=0 的幂级数解. 解：显然x=0是方程的正则点，设方程的解为 y(x)=åcnxn+r, 不妨设c0¹0. n=0+¥()y¢(x)=åcn(n+r)xn=0+¥n+r-1 , y¢¢(x)=åcn(n+r)(n+r-1)xn+r-2, n=0+¥因满足方程，代入得 å(n+r)(n+r-1)cxnn=0+¥n+r+å(n+r)(n+r-1)cnxn=0+¥n+r+2-å2cnxn+r=0n=0+¥消去因子xr，合并同类项得 (r+¥2-r-2)c0+(r2+r-2)c1x+é(n+r)2-(n+r)-2c+(n+r-2)(n+r-3)cùxn=0ånn-2ëûn=2()由于c0¹0，得指标方程 r2-r-2=0, 与系数的递推关系式： (r2+r-2)c1=0, cn=(n+r-2)(n+r-3)c, n=2,3,4,××× (n+r-2)(n+r+1)n-2- 23 - 解指标方程得两个根：r1=2, r2=-1. 将r1=2代入系数的递推关系式中，有 n-1cn-2, n=2,3,4,××× n+313c0 当n=2时，有 c2=-c0=-55×32当n=3时，有 c3=-c1=0 6323c0 当n=4时，有 c4=-c2=(-1)77×5 c1=0, cn=-当n=5时，有 c5=0 依次类推得 c2m=-由此得 2m-13mc2m-2=(-1)c0; c2m+1=0 2m+32m+32m+1()()y1(x)=åc2nxn=0+¥2n+2æ2+¥ö3n2n+2=c0çx. (-1)÷çx+å÷2n+32n+1()()n=1èø由于r1-r2=3整数，为求一个与y1(x)线性无关的第二个解， 设 y2(x)=gy1(x)lnx+ådnxn=0+¥n+r2=gy1(x)lnx+ådnxn-1, n=0+¥+¥g¢(x)=gy1¢(x)lnx+y1(x)+å(n-1)dnxn-2, y2xn=0y1(x)+¥2g¢¢(x)=gy1¢¢(x)lnx+¢(x)-g2+å(n-1)(n-2)dnxn-3, y2y1xxn=0- 24 - 代入方程有 x(1+x)gy¢¢(x)-2gy(x)lnx+g(2x+2x)y¢(x)-g(1+x)y(x) 22321111+å(n-1)(n-2)dnxn=0+¥n-1+å(n-1)(n-2)dnxn=0+¥n+1-å2dnxn-1=0, n=0+¥注意到y1(x)是方程的解，故上式中含有lnx的那一项为零， 又 y1(x)=åc2nxn=0+¥2n+2¢(x)=å(2n+2)c2nx2n+1 , , y1n=0+¥于是得到 +¥+¥é+¥2n+22n+4ùgêå(4n+3)c2nx+å(4n+3)c2nxú+ån(n-3)dnxn-1n=0ën=0ûn=0+å(n-1)(n-2)dnxn+1=0n=0+¥合并同类项，有 +¥éù2gê3c0x+å(4n+3)c2n+(4n-1)c2n-2)x2n+2ú-2d1n=1ëû +ån(n-3)dnxn=2+¥n-1+å(n-1)(n-2)dnxn+1=0n=0+¥于是 +¥éù2gê3c0x+å(4n+3)c2n+(4n-1)c2n-2)x2n+2ú+(-2d1)n=1ëû+(-2d2+2d0)x+0×x2+å(n(n-3)dn+(n-3)(n-4)dn-2)xn-1=0n=4+¥上式中关于x2项的系数有3gc0=0,而c0¹0,得g=0,从而有 - 25 - x0: -2d1=0, d1=0x: 2(d0-d2)=0, d2=d0xn-1: dn=-当n=4时， d4=0, 1-3d3 当n=5时， d5=-d3=55×3n-4dn-2, n=4,5,6,7,×××n依次类推d2m=0; d2m+1=(-1)由此得解 m+13(2m+1)(2m-1)d3, (m=2,3,4,×××) 343638æ1öæöy2(x)=d0ç+x÷+d3çx2-x+x-x+×××÷, 5×37×59×7èxøèø最后得方程的通解为： æ2+¥ö3næ1ö2n+2y(x)=c0çx+-1x+d+x()÷å0ç÷, ç÷(2n+3)(2n+1)èxøn=1èø这里c0,d0为任意常数. 例11：在x=0点的邻域求方程 x(x-1)y¢¢(x)+(2x-1)y¢(x)+1y(x)=0 4的幂级数解. 解：x=0点是方程的正则点.设方程的解为 y(x)=åcnxn+r n=0+¥这里r,cn都是待定的常数，不失一般性设c0¹0 - 26 - y¢(x)=åcn(n+r)xn=0+¥n+r-1 ,y¢¢(x)=åcn(n+r)(n+r-1)xn+r-2 n=0+¥代入方程，有 å(n+r)(n+r-1)cxnn=0+¥n+r-å(n+r)(n+r-1)cnxn=0+¥n+r-1+å2(n+r)cnxn+rn=0+¥-å(n+r)cnxn=0+¥n+r-11+åcnxn+r=0n=04+¥消去因子xr，得 1ùn+¥22én-1n+r+n+r+cx-n+rcx=0 ()()()åånnêú4ûn=0ën=0+¥上式两边乘以x，有 2éæù1ö2-rc0+åêçn+r-÷cn-1-(n+r)cnúxn=0 2øn=1êúëèû2+¥由于c0¹0，得到指标方程 r2=0, 与系数的递推关系式 1öæn+r-2ç÷2n+2r-1()2øc=cn=ècn-1, n=1,2,3,××× n-122(n+r)éë2(n+r)ùû2由此得指标方程的两个根：r1=r2=0，将r1=0代入上式有 2n-1)(cn=2(2n)2cn-1, n=1,2,3××× 从而得到， æ(2n-1)!öcn=çç(2n)!÷÷c0, n=1,2,3××× èø- 27 - 2于是有 æ+¥é(2n-1)!ù2öny1(x)=c0ç1+åêúx÷, çn=1ë(2n)!û÷èø这里由于r1=r2=