数学物理方程与特殊函数试.docx

数学物理方程与特殊函数试数学物理方程与特殊函数试卷 学院 专业班级 姓名 学号 一 填空 1对于一般的二阶线性偏微分方程¶2u¶2u¶2u¶u¶uA2+2B+C2+D+E+Fu=0 它的特征方程为 ¶x¶y¶x¶y¶x¶y A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0 ，若在域内B2-AC<0,则此域内称 椭圆型 ;若在域内B2-AC=0,则此域内称为 抛物型 若在域内 B2-AC>0 , 则此域内称为双曲型。 2 第一类格林公式òòò(uÑ2v)dv= òòuWG¶vdS-òòòÑu·ÑvdV ¶nW¶uöæ¶v 第二类格林公式 òòò(uÑ2v-vÑ2u)dv=òòçu-v÷dS ¶n¶nøGèW3 已知P0(x)=1,P则 P2(x)=1(x)=x，1(3x2-1) ；而函数f(x)=3x2+5x-12按P1(x)的展开式为 f(x)=2p2(x)-5p1(x) 2¶u2¶u=a4一维热传导方程 可用差分方程¶t¶x2u(x,t+Dt)-u(x,t)u(x+Dx,t)-2u(x,t)+u(x-Dx,t) =a2Dt(Dx)2¶2u¶2u+=0可用差分方近似代替。二维拉普拉斯方程22¶x¶yu(x+Dx,y)-2u(x,y)+u(x-Dx,y)u(x,y+Dy)-2u(x,y)+u(x,y-Dy)+=0 (Dx)2(Dy)2 近似代替。 ì0,m¹n;ï5 勒让德多项式的正交性òPm(x)Pn(x)dx= í2 ，-1,m¹n.ïî2n+11当kpn,kÎN 时，òxkPn(x)dx=0 。 -12¶u2¶uì¶t=a¶x2,0<x<l,t>0,KK(1);ïu(0,t)=u(l,t)=0,KK(2); 二用分离变量法求í的解。 ïu(x,0)=x(l-x),KK(3)î1解：用分离变量法求解，先设满足边界条件且是变量被分离形式的特解为u(x,t)=X(x)T(t)代入方程得T¢(t)X¢¢(x)上式左端不含有x，右端不含=a2T(t)X(x)有t，所以T¢(t)X¢¢(x)2KKK(4) =-b2X(x)aT(t)从而得到两个线性常微分方程 T¢+a2b2T=0KK(5) X¢¢+b2X=0KKK(6) 解得 X(x)=Acosbx+Bsinbx，由得，A=0,Bsinbl=0，bn=相应的固有函数为Xn(x)=Bnsinnp，及lnpx KK(7) ，再由得，lTn(t)=Ane-bn2a2tKK(8) -bn2a2t由，得un(x,t)=Xn(x)Tn(t)=Cnne¥¥sinbnxK(n=1,2,L)其中Cn=AnBn 2t由，得 u(x,t)=åun(x,t)=åCne-bn=1n=12nasinbnxLL(9)又由u(x,0)=låcn=1¥nsinbnx=x(l-x) 24l2得 cn=òx(l-x)sinbnxdx=331-(-1)nLL(10) l0np所以，原定解问题的解为u(x,t)=4l2p3ån=1¥1-(-1)en-b2na2tn3sinbnx ì¶2u=x2y;ï¶x¶yïï三求方程íu(x,0)=x2; 的解。 ïu(1,y)=cosyïïîx3y2+j1(y)+j2(x)LL(4)其中解：对两端积分的通解u(x,t)=6，得 j1(y),j2(x)为任意二阶可导函数，令满足ìu(x,0)=j1(0)+j2(x)=x2;ï 解之得íy2+j1(y)+j2(1)=cosyïu(1,y)=6îy2j1(y)=cosy-1+j1(0)LL(5) 6j2(x)=x2-j1(0)LL(6)x3y2y2-+x2+cosy-1 将，代入得u(x,t)=66ì¶2u¶2u¶2u+2-32=0KKK(1);ïï¶x2¶x¶y¶y四求柯西问题í 的解。 ¶u(x,0)ïu(x,0)=3x2,=0KKK(2)ï¶yî解；先确定所给方程的特征线。为此，写出它的特征方程 (dy)2-2dxdy-3(dx)2=0 它的两族积分曲线为3x-y=C1x+y=C2ìx=3x-y,¶2u作特征变换í=0 LL(4)经过变换原方程化成h=x+y,¶x¶hî它的通解为u=f1(x)+f2(h),其中f1,f2 是两个任意二次连续可微的函数。方程的通解为u(x,y)=f1(3x-y)+f2(x+y),LL(5) 2ìf(3x)+f(x)=3xLL(6)2ï1由得í¢ ¢ïî-f1(3x)+f2(x)=0LL(7)1由得-f1(3x)+f2(x)=C,LL(8) 3