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数学建模作业1科学技术学院 上 机 报 告 课程名称 数学建模 上机项目 长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗？ 专业班级） 姓 学 号 一、问题提出 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。 二、问题分析 该模型看似与数学与数学无关，但我们可以用数学语言给予表述，并用数学工具来证实，经过分析，我们可以用一元变量q表示椅子的位置，用q的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。 三、模型假设 为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的 符号说明 四、模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度这一变量就表示了椅子的位置为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题 如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角表示出椅子绕点O旋转后的位置 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来 我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地由于椅子在不同的位置是的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是的函数 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是的函数而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的，其函数值至少有三个同时为0因此，只需引入两个距离函数即可考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了因此，记 A、B两脚与地面竖直距离之和为f，C、D两脚与地面竖直距离之和为g，其中0，从而将原问题数学化。 数学模型：已知f和g是的非负连续函数，对任意，fg()0，证明：存在00，使得fg0成立。 五、模型求解 如果fg0，那么结论成立。 如果f与g不同时为零，不妨设f0，g0。这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，fg，gf.而由f0，g0，得g0， f0。 令hf()g，由f()和g()的连续性知h()也是连续函数。 又hf(0)g0，hf()g0，,根据连续函数介值定理，必存在0使得h0，即fg ； 又因为fg0，所以fg0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。