数学推导公式.docx
数学推导公式和差化积公式推导 首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 三倍角公式推导过程 tan3=sin3/cos3 =(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin) =(2sincos2()+cos2()sin-sin3()/(cos3()-cossin2()-2sin2()cos) 上下同除以cos3()，得： tan3=(3tan-tan3()/(1-3tan2() sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin =2sincos2()+(1-2sin2()sin =2sin-2sin3()+sin-2sin3() =3sin-4sin3() cos3=cos(2+)=cos2cos-sin2sin =(2cos2()-1)cos-2cossin2() =2cos3()-cos+(2cos-2cos3() =4cos3()-3cos 即 sin3=3sin-4sin3() cos3=4cos3()-3cos 万能公式推导过程 sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*， (因为cos2()+sin2()=1) 再把*分式上下同除cos2()，可得sin2=2tan/(1+tan2() 然后用/2代替即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 一次函数常用公式 1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2) 2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 (注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和) 一次函数的表达式的确定方法 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一次函数的图像及性质 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。 二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到. 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2 +k的图象; 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便. 2.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4a). 3.抛物线y=ax2+bx+c(a0)，若a>0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小;当x -b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x -b/2a时，y随x的增大而增大;当x -b/2a时，y随x的增大而减小. 4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c); (2)当=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x| 当=0.图象与x轴只有一个交点; 当<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0. 5.抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a. 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c(a0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0). (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a0). 二次函数抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0，c) 6.抛物线与x轴交点个数 = b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±b2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 二次函数的表达式 一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0) 顶点式：y=a(x-h)2+k 抛物线的顶点P(h，k) 交点式：y=a(x-x)(x-x ) 仅限于与x轴有交点A(x ，0)和 B(x，0)的抛物线 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x,x=(-b±b2-4ac)/2a 函数 变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 一次函数：若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B(B为常数，K不等于0)的形式，则称Y是X的一次函数。当B=0时，称Y是X的正比例函数。 一次函数的图象：把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。在一次函数中，当K0，BO，则经234象限；当K0，B0时，则经124象限；当K0，B0时，则经134象限；当K0，B0时，则经123象限。当K0时，Y的值随X值的增大而增大，当X0时，Y的值随X值的增大而减少。 锐角三角函数 二次函数 反比例函数 一次函数 函数的基础知识 函数的基础知识 函数的基础知识 函数的基础知识 函数的基础知识 反比例函数解析式的特征 等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。 比例系数 自变量的取值为一切非零实数。 函数的取值是一切非零实数 反比例函数图像画法 X的取值范围 反比例函数的形式 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 其中，x是自变量，y是函数。由于x在分母上，故取x0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k0，且x0，所以函数值y也不可能为0。 补充说明：1.反比例函数的解析式又可以写成：数，k0). (k是常2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可. 二次函数基本形式 1. 二次函数基本形式： 二次函数的性质 二次函数的最值 一次函数图像的平移 一次函数及性质 一次函数的定义 一次函数的定义与定义式 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx (k为任意不为零实数) 或y=kx+b (k为任意不为零实数，b为任意实数) 则此时称y是x的一次函数。 特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。正比例是Y=kx+b。 即：y=kx (k为任意不为零实数) 定义域： 自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义;要与实际相符合 一次函数的性质 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k0) (k为任意不为零的实数 b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角) 形。取。象。交。减 4.正比例函数也是一次函数. 5.当k相同，图像平行;当k不同，图像相交 一次函数的图像及性质 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表一般取两个点,根据两点确定一条直线; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质： (1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b(k0)。 (2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像都是过原点。 3.函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 4.k，b与函数图像所在象限： y=kx时(即b等于0，y与x成正比) 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 y=kx+b时： 当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。 4、特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1) 确定一次函数的表达式 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 三角函数的图像和性质 三角函数图像的平移和伸缩 三角函数图像和性质知识讲解及例题分析 三角函数知识点总结 初中三角函数知识点汇总 二次函数公式：顶点式、交点式、两根式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： (1)一般式：yax2+bx+c (a,b,c为常数，a0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a) (2)顶点式：ya(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k(a,h,k为常数，a0). (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (4)两根式：ya(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c0的两个根，a0. 说明： (1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式ya(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h0时，抛物线yax2+k的顶点在y轴上；当k0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h0且k0时，抛物线yax2的顶点在原点. (2)当抛物线yax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2),二次函数yax2+bx+c可转化为两根式ya(x-x1)(x-x2). 同角、互余角的三角函数间的关系 同角三角函数间的关系： 平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() ·积的关系： sin=tan·cos cos=cot·sin tan=sin·sec cot=cos·csc sec=tan·csc csc=sec·cot ·倒数关系： tan·cot=1 sin·csc=1 cos·sec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 互余角的三角函数间的关系： sin(90°-)=cos, cos(90°-)=sin, tan(90°-)=cot, cot(90°-)=tan. 基本概念：锐角三角函数的定义 锐角角A的正弦,余弦和正切,余切以及正割，都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 它有六种基本函数(初等基本表示)： 函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为有 正弦函数 sin=y/r 余弦函数 cos=x/r 正切函数 tan=y/x 余切函数 cot=x/y 正割函数 sec=r/x 余割函数 csc=r/y 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数 versin =1-cos 余矢函数 covers =1-sin 二次函数的应用：三大实际问题 用二次函数解决最值问题 例1 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 二次函数对称轴及解法 设二次函数的解析式是y=ax2+bx+c 对称轴为：直线x=-b/2a, 顶点横坐标为：-b/2a 顶点纵坐标为：(4ac-b2)/4a 求解方法： 1如果题目只给个二次函数的解析式的话，那就只有配方法了吧，y=ax2+bx+c=ax+(b/2a)2+(4ac-b2)/4a，则对称轴为x=-b/2a 2.如果题目有f(a-x)=f(b+x)的已知条件，那对称轴是x=(a+b)/2 3.如果题目给出了2个零点(a,0)、(b,0)，则对称轴是x=(a+b)/2 4.如果题目给出了定义在R上的抛物线最大值或最小值(a,b),则对称轴为x=a 二次函数与一元二次方程的联系 特别地，二次函数y=ax2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程， 即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1二次函数y=ax2;，y=a(x-h)2;，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax2; y=ax2+K y=a(x-h)2; y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 (0，0) (0，K) (h，0) (h，k) (-b/2a，4ac-b2/4a) 对 称 轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)2;的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2-k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)²+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。 因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便 2抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2;/4a) 3抛物线y=ax2+bx+c(a0)，若a>0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小；当x -b/2a时，y随x的增大而增大若a<0，当x -b/2a时，y随x的增大而增大；当x -b/2a时，y随x的增大而减小 4抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×A | 当=0图象与x轴只有一个交点； 当<0图象与x轴没有交点当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0 5抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c(a0) (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0) (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现 二次函数抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时，对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 当a与b异号时，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右。 事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于 6.抛物线与x轴交点个数 = b2;-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _ = b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数 当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在x|x<-b/2a上是减函数，在x|x>-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y4ac-b2/4a相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a0) 7.特殊值的形式 当x=时 y=a+b+c 当x=-1时 y=a-b+c 当x=2时 y=4a+2b+c 当x=-2时 y=4a-2b+c 8.定义域：R 值域：(4ac-b2)/4a，正无穷）；t，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： y=ax2+bx+c一般式 a0 a0，则抛物线开口朝上；a0，则抛物线开口朝下； 极值点：； =b2-4ac, 0，图象与x轴交于两点： 和； 0，图象与x轴交于一点： ； 0，图象与x轴无交点； y=a(x-h)2+k顶点式 此时，对应极值点为，其中h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a； y=a(x-x1)(x-x2)交点式 对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X/2时Y随X的增大而减小 此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式。 二次函数的图像及画法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 二次函数yax2的图像的画法 用描点法画二次函数yax2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。 用描点法画出二次函数yx2的图像，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线yx2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线yx2的顶点是图象的最低点.因为抛物线yx2有最低点.所以函数yx2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。 基本图像 当a>0时，yax2的图像 当a<0时，yax2的图像 二次函数y=ax2;，y=a(x-h)2;，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax2; y=ax2+K y=a(x-h)2; y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 (0，0) (0，K) (h，0) (h，k) (-b/2a，4ac-b2/4a) 对称轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)2;的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2-k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)²+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。 因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便 二次函数y=ax2的基本性质 二次函数yax2的性质 函数图像： 当a>0时，yax2的图像 当a<0时，yax2的图像 开口方向：a0向上，a0向下 顶点坐标：(0,0) 对称轴：Y轴 函数变化： 当a0 x0时，y随x增大而增大； x0时，y随x增大而减小. 当a0 x0时，y随x增大而减小； x0时，y随x增大而增大. 最大(小)值： 当a0，当x0时，y最小0. 当a0，当x0时，y最大0. 关于二次函数的概念：定义与定义表达式 二次函数概述 二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式：y=ax2;+bx+c(a0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a) 顶点式：y=a(x-h）2+k或y=a(x+m)2+k (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子) 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念： 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=-b±根号下(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式 求根的方法还有十字相乘法和配方法 反比例函数 解读确定二次函数的解析式 确定二次函数的解析式，是初中数学学习的一个重要的内容。因此，同学们要认真把这部分的内容学好，掌握起来。要想学好这部分内容，同学们要解决如下四个问题； 一、熟记常见的二次函数关系式 常见的二次函数的关系式有如下六种表达形式，具体为： 二、理解确定二次函数关系式的基本内涵 所谓确定二次函数的关系式，具体来说就是： 这是最基本的理解，同学们要体会准确。 三、掌握确定二次函数关系式的基本条件 确定二次函数的关系式，要具备的基本条件是： 2对于表达式是y=ax的,要确定出待定字母a的值的基本条件是： 知道图像上一个点的坐标。 2对于表达式是y=ax+bx的, 要确定出待定字母a、b的值的基本条件是： 知道图像上两个点的坐标。 2对于表达式是y=ax+c的, 要确定出待定字母a、c的值的基本条件是： 知道图像上两个点的坐标。 2对于表达式是y=a(x-h)的, 要确定出待定字母a、h的值的基本条件是： 知道图像上两个点的坐标。 2对于表达式是y=a(x-h)+k(a0）的, 要确定出待定字母a、h、k的值的基本条件是： 知道图像上三个点的坐标。 特殊条件：知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标 2对于表达式是y=ax+bx+c中, 要确定出待定字母a、b、c的值的基本条件是： 知道图像上三个点的坐标。 这是最基本的理解。 四、确定二次函数关系式的基本题型 4.1二次函数关系式设为：y=ax 例1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图1所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。 解：根据图象，知道抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为原点， 2所以，不妨设二次函数的解析式：y=ax， 因为，AB=20，所以，FA=FB=10， 因为，CD=10，所以，EC=ED=5 所以，点A的坐标为，点C的坐标为， 所以， 2y2= a×2=25a， y1= a×2=100a， 因为，EF=3，所以，y2-y1=3， 所以，25a -100a=3， 解得：a=-112，所以，所求函数的解析式：y=- x。 2525小结： 当知道抛物线的顶点坐标为原点，且对称轴是y轴时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下： 设二次函数的解析式为：y=ax 把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程； 解方程，求得a值； 把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。 4.2二次函数关系式设为：y=ax+bx 例2、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物22线y=-128x+x，其中y是球的飞行高度，x是球飞出的水平距离，结果球55离球洞的水平距离还有2m，如图2所示。 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴 请求出球飞行的最大水平距离 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式 解： y=-128x+x 551
