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数学强化班高数第三章 一元函数积分学第三章 一元函数积分学 第一节 不定积分 1两个概念: 1）原函数： F¢(x)=f(x) 2）不定积分：òf(x)dx=F(x)+C 2基本积分公式： 1) 3) òdxxdx22 2)ò=arcsin+C.=ln|x+x±a|+C 2222aa-xx±adx1xdx1a+x=arctan+C.=ln| 4) òa2+x2aòa2-x22aa-x|+C. a5) òsecxdx=ln|secx+tanx|+C. 6) òcscxdx=-ln|cscx+cotx|+C. 3三种主要积分法 1）第一类换元法 若òf(u)du=F(u)+C,则òf(j(x)j¢(x)dx=F(j(x)+C 2）第二类换元法： òf(x)dxx=j(t)òf(j(t)j¢(t)dt=F(t)+C=F(ji)-1(x)+C a2-x2,x=asint(acost)ii)a2+x2,x=atantiii)x2-a2,x=asect 3）分部积分法 òudv=uv-òvdu“适用两类不同函数相乘” axp(x)edx,nòxòpn(x)sinaxdx,naxp(x)cosax,enòòsinbxdx， nnòeacosbxdx,òp(x)lnxdx,òp(x)arctanxdx,òp(x)arcsinxdx 4三类常见可积函数积分 1）有理函数积分 òR(x)dx 部分分式法； 简单方法； 2) 三角有理式积分 òR(sinx,cosx)dx 万能代换 令tan=t x2 64 简单方法 3) 简单无理函数积分 R(x,nòax+b)dxcx+d 令 nax+b=t cx+d例一 基本题 例3.1 I=òòdxx(4-x)dx4x-x2=òdx4-(x-2)2=arcsinx-2+c 2解法1 I=解法2 I=2d(x)x=2arcsin+c ò4-x2dxòcosxsinx. 例3.2 I=解 I=dxcosxdxdsinxdsinx=2òcosxsinxòcos2xsinxò(1-sin2x)sinxò1-sin2x dtdt11=2=(+)dt 42222òò1-t(1-t)(1+t)1-t1+tdx 令sinx=t 2ò例3.3 I=òx51+x2解法1 令x=tant ，则 dx=sec2tdt tan5t×sec2tdtI=ò=òtan4t×(tant×sect)dt=òtan4td(sect) sect =(sect-1)d(sect)=(u-1)du (u=sect) ò22ò2212531 =(8-4x2+3x4)1+x2+c 15 =u5-u2+u+c 1x4dx2解法2 I=ò=òx4d(1+x2) 21+x265 =x41+x2-4x31+x2dx =x41+x2-2(x2+1)-11+x2d(1+x2) =x41+x2-(1+x2)例3.4 I=òò455234+(1+x2)2+c 3òdx e-1xxex解 I=2òxdex-1=2xex-1-2òex-1dx ò2t2xe-1dx=òdt 21+tx =2t-2arctant+C 则 I=2xex-1-4ex-1+4arctanex-1+c 例3.5 òlnxdx 1+x解法1 原式=2òlnxd1+x =21+xlnx-2ò1+xdx xò1+xt2dx1+x=t2ò2dt xt-1 =2dt+2 =2t+lnòdtòt2-1 t-1+C t+11+x-1+C 1+x+1原式=21+xlnx-41+x-2ln解法2 令1+x=t，则 ln(t2-1)2tdt=2òln(t2-1)dt 原式=òt2t2 =2tln(t-1)-2ò2dt t-12 66 =21+xlnx-41+x-2ln1+x-1+C 1+x+1arctanexdx 例3.6 ò2xe解法1 原式=-1arctanexde-2x ò21-2x1e-xxdx =-earctane+ò221+e2x1-2x1dexx =-earctane+ò2x 22e(1+e2x) =-e-2xarctanex+e-x+arctanex+C 解法2 令ex=t，则 原式=12arctant11dt=-arctantd òt32òt2 =- =-arctant11+dt 222ò2t(1+t)2tarctant11-arctant+c 22t22t1 =-e-2xarctanex+e-x+arctanex+C 21dx 例3.7 I=òx+x9dxx7dx1du8解法1 I=ò = 888òòx(1+x)x(1+x)8u(1+u)(1+x8)x8dxæ1x7ö÷dx =òç-解法2 I=ò88÷çx(1+x)èx1+xø1dx-81解法3 I=ò=-ò=-ln|1+x-8|+c -8181+x8x9(1+8)xdx1+x41+x4-x2+x2dx1dx3dx=òdx=ò+ò例3.8 I=ò 66261+x1+x1+x31+x例3.9 I=òdx1+sinx67 解法1I=ò解法2I=1-sinx1dcosxdx=dx+òcos2xòcos2x cos2xdxdxæxpö=tanç-÷+C òòppxæöæöè24ø1+cosç-x÷2cos2ç-÷è2øè42øx2dt2t=t dx= sinx= 21+t21+t22dt1dt-2-2I=ò×=2=+C=+C ò(1+t)21+tx1+t21+2t1+tan21+t2dx例3.10 ò 1+sinx+cosxx解 令tan=t，则 2解法3令tan2dt21+t原式=ò 2t1-t21+21+t2+t2dtò1+t=ln(1+t)+C x =ln(1+tan)+C 2dx例3.11 I=ò 4sinx×cosx =解法1I=sinxdxdcosxdu=-òsin2x×cos4xò(1-cos2x)cos4xò(1-u2)u4 (1-u4)+u4 =-ò 24(1-u)u解法2 sin2x+cos2xsinxdx1sin2x+cos2xI=ò=dx+ò =+ dx sinx×cos4xòcos4xsinxcos2x3cos3xòsinx×cos2x1sinxdxdx+ 32òò3cosxcosxsinx1dx 例3.12 I=ò2asin2x+b2cos2xdx1=-ctgx+c 解 1）若a¹0, b=0 I=ò2asin2xa211dx=tgx+c 2) 若a=0, b¹0 I=ò222bcosxb =68 3）若a¹0, b¹0 I=dxdu=òcos2x(b2+a2tg2x)òb2+a2u2 例3.13 1x+1òxx-1dx。 x+1=t, x-1解法1令t2 原式=-4ò2dt 2(t+1)(t-1)(t2+1)+(t2-1)=-2ò2dt (t+1)(t2-1) =ln1+t-2arctant+c 1-t1x+1òxx2-1dx 解法2 原式= =òdxx-12+òdx1x21-2x1x =lnx+x2-1-arcsin+c 例二 变花样 例3.14 若òxf(x)dx=arcsinx+c 求I=解 由òxf(x)dx=arcsinx+c知 ò1dx f(x)+icn)¢= xf(x)=(arcs11-x2则 I=ò311222dx=òx1-xdx=-(1-x)+c f(x)3(+1+x2)为f(x)的一个原函数， 求I=òxf¢(x)dx. 例3.15 若lnx解 I=òxf¢(x)dx=xf(x)-òf(x)dx 69 ¢=xln(x+1+x2-ln(x+1+x2)+C=()x2-ln(x+1+x)+C 21+xxex例3.16 设F(x)为f(x)的原函数，且当x³0时，F(x)f(x)= ，已知22(1+x)F(0)=1,F(x)>0.求f(x). 12xex解法1由 F(x)f(x)=(F(x)¢= 222(1+x)xex(x+1)-1xexex F(x)=òdx= òedx=òdx-òdx (1+x)2(1+x)21+x(1+x)22æexöexexexdx-ç-+òdx÷=+c =òç÷1+xè1+x1+xø1+x由F(0)=1 c=0 ¢xöæeee÷ F2(x)= F(x)= f(x)=F¢(x)=ç ç÷1+x1+xè1+xøxxxex1x解法2 F(x)=ò dx=-(xe)d2ò1+x(1+x)2xexex(1+x)+dx =-(1+x)ò1+xxex+ex+c =-(1+x)ex+c =1+xex1xex F(x)=，f(x)=. 1+xF(x)2(1+x)2例3.17 设f¢(ex)=sinx,求f(x)。 解法1 令ex=t，则f¢(t)=sinlnt f(t)=òsinlntdt 70 =tsinlnt-tcoslnt×dt =tsinlnt-tcoslnt-tsinlnt×dt 则f(t)=sinlnt-coslnt+c 解法2 由f¢(ex)=sinx知 ò1tò1tt2f(ex)=òsinxdex =exsinx-òexcosxdx =exsinx-excosx-òsinxdex ex则f(e)=sinx-cosx+c 2xxf(x)=sinlnx-coslnx+c 2例3.18 求不定积分 òe-|x|dx ì-e-x+c1,x³0,解 òedx=íx îe+c2,x<0.-|x|e-|x|连续,原函数F(x)必连续, F(x)在x=0连续. x®0-xlimF(x)=lim(-e+c1)=-1+c1 +x®0x®0xlimF(x)=lim(e+c2)=1+c2 -x®0 -1+c1=1+c2 令 c1=c, 则c2=-2+c. ì-e-x+c,x³0,故 òedx=íx e-2+c,x<0.î-|x|第二节 定 积 分 1。定义：òbaf(x)dx=limåf(xk)Dxk l®0k=1n2。可积性： 1）必要条件：f(x)有界； 71 2）充分条件:f(x)连续或仅有有限个第一类间断点；3。计算： 1）òbaf(x)dx=F(b)-F(a) 2）换元法 3）分部积分法 4）利用奇偶性，周期性 5）利用公式 ìn-1n-31p×××,n偶ï(1)ò2sinnxdx=ò2cosnxdx=ínn-22200ïn-1n-3×××2,n奇 înn-23pp(2) òxf(sinx)dx=0p2ò0pf(sinx)dx4变上限积分：òxaf(t)dt 1) 连续性：设f(x)在a,b上可积，则2）可导性：设f(x)在a,b上连续，则òòxaxaf(t)dt在a,b上连续。 f(t)dt在a,b上可导且 (òf(t)dt)¢=f(x). ax变上限求导的三个类型： ¢y(x)æö(1)çòf(t)dt÷=f(y(x)y¢(x)-f(j(x)j¢(x)j(x)èø¢y(x)xæö(2)çòf(x,t)dt÷例1:F(x)=ò(t-x)f(t)dx 0èj(x)ø¢bdx2æö(3)çòf(x,t)dt÷例2:sin(x-t)dtòa0èødx3）奇偶性：i）若f(x)为奇函数，则òx0f(t)dt为偶函数。 x0 ii）若f(x)为偶函数，则òf(t)dt为奇函数。 例1：设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是第一类间断点，则òx0f(t)dt是： . (A)连续的奇函数; (B)在x=0间断的奇函数; 72 (C)连续的偶函数; (D)在x=0间断的偶函数. ì12(x+1),若0£x<1,ïxï2例2(XX年,数3，4)设g(x)=òf(u)du,其中f(x)=í则01ï(x-1),若1£x£2,ïî3g(x)在区间内 无界 递减 不连续 连续 例3 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则 f(x)是奇函数 Þ F(x)必是偶函数； f(x)是偶函数 Þ F(x)必是奇函数； f(x)是周期函数 Þ F(x)必是周期函数； f(x)是单调增函数 Þ F(x)必是单调增函数. 5。性质： 1)不等式：i) 若f(x)£g(x), 则òbaf(x)dx£òg(x)dx. ab ii) 若f(x)在a,b上连续，则m(b-a)£ iii) òbaf(x)dx£M(b-a). òbaf(x)dx£ò|f(x)|dx. ab2)中值定理： i） 若f(x)在a,b上连续，则òbaf(x)dx=f(c)(b-a),a<c<b ii） 若f(x),g(x)在a,b上连续，g(x不变号，则 òbaf(x)g(x)dx=f(c)òg(x)dx,a£c£b ab例设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且1bf(x)dx=f(b)。求证：在(a,b)内至少存在一点x，使f¢(x)=0. b-aòa例 题 例一 基本题 73 2x2+sinx例3.19 I=òdx; 2-11+1-x1x2解 I=4òdx 201+1-x1 =41-1-x2dx 0ò1 =4-4ò101-x2dx =4-p ònp01-sin2x dx; 解法1 原式=n =n =nòp01-sin2xdx (cosx-sinx)2dx cosx-sinxdx òp0òp0 =nòp40(cosx-sinx)dx+òp(sinx-cosx)=22n. 45p4p解法2 原式=nòp1-sin2xdx (cosx-sinx)2dx 45p4 =nòp45p4 =n例3.21 I=解 I= =òp(sinx-cosx)dx=22n. 4òpp0xsinnxdx . òp0xsinnxdx sinnxdx p2ò0 =pòp20sinnxdx 74 ìn-1n-31p×L××p,ïïnn-222 =íïn-1×n-3L2×p,ïînn-23例3.22 I=1n为偶数n为奇数xdxò0(2-x2)1-x2; 解 令x=sint，则 I=ò20psintcostdt 2(2-sint)costp-dcostp2=-arctancost 2041+cost3 =òp20例3.23 I=ò0arcsinxdx; 1+x解 令arcsinpx2=t，则x=tant， 1+xI=ò3tdtan2t 0 =ttant2p30-ò3tan2tdt=0xp4p-3. 3psintdt，计算òf(x)dx。 例3.24 设f(x)=ò0p-t0pxsinxppdx 解法1 òf(x)dx=xf(x)0-ò0p-x0psintpxsinxdt-òdx =pò0p-t0p-x =解法2 òp0p0sinxdx= òp0f(x)dx=òf(x)d(x-p) =(x-p)f(x)0-òpp0(x-p)sinxdx p-x =解法3 òp0sinxdx=2 p0òp0f(x)dx=òdxòsintdt 0p-tx 75 psint=òdtòdx=òsinxdx=2. 0tp-t0ì12ï f(x)=í1+x例3.25 I=òf(x-1)dx 其中0ï1xî1+eppx³0 x<0解 令x-1=t，则 1dtdtI=òf(t)dt=ò+ò -1-11+et01+t10e-t1dt+ln(1+t) =ò 0-11+e-t0 =-ln(1+e-t)例3.26 I=解法1，令则í0-1+ln2=ln(1+e). òp20sinxdx ； sinx+cosxsinxA(cosx-sinx)+B(sinx+cosx)dx=dx òsinx+cosxòsinx+cosxì1=-A+B11，解得A=-,B= 22î0=A+B1p(sinx-cosx)+(sinx+cosx)I=ò2dx 20sinx+cosxp1p2= =(-ln(sinx+cosx)+x)0 24解法2 令x=pp2-t，则 psinxcostI=ò2dx=ò2dt 0sinx+cosx0sint+costpù1épsinxcosxdx+ò2dxú =êò20sinx+cosx2ë0sinx+cosxû1pp =ò2dx= 204xe4例3.27 I=ò2psinxdx ; -1+ex2p 76 pxee-t4422解 I=òpsinxdx=sintdtpò-1+ex-1+e-t22p(x=-t) =òp2p-214sintdt t1+epxù1épe1442sinxdx+sinxdx =êò2pú pxxò-2ë21+e21+eû1p =ò2psin4xdx 2-2 =òp2031p3psin4xdx=××= 42216例3.28 已知f(x)连续，解 令x-t=u得 òx0tf(x-t)dt=1-cosx,求ò2f(x)dx的值. 0pòx0tf(x-t)dt=ò(x-u)f(u)du 0x =xòx0f(u)du-òuf(u)du 0xxxdxtf(x-t)dt=f(u)du+xf(x)-xf(x)=f(u)du òòò000dx从而有令x=òx0f(u)du=sinx p2得： òp20f(u)du=sin2p2=1 例3.29 设f¢(x)=arcsin(x-1),f(0)=0,求解法1 ò10f(x)dx. ò10f(x)dx=xf(x)0-òxarcsixn-12dx 011 =f(1)- = =ò10xarcsin(x-1)2dx 10ò101f¢(x)dx-òxarcsin(x-1)2dx 2ò(1-x)arcsin(x-1)dx 011 =òarcsinudu 20 77 =uarcsinu0-解法2 12111up1du=-. ò202421-uò10f(x)dx=òf(x)d(x-1) 011 =(x-1)f(x)0- =以下同解法1 例二 综合题 例3.30 求 limêçç1+n®¥ò(x-1)arcsin(x-1)dx 201ò10(1-x)arcsin(x-1)2dx éæëè1öæ2öænöù÷×ç1+2÷Lç1+2÷ú 2÷ç÷ç÷nøènøènøû2222221n1n解 令 yn=ê(1+éë12nù)(1+)L(1+) 222únnnû1é1222n2ù(+2)+ln1(+2)+L+ln1(+2)ú 则 lnyn=êln1nënnnûn®¥limlnyn=òln(1+x2)dx 012x2pdx=ln2-2(1-) =xln(1+x)-ò001+x24211原式=eln2-2(1-)4pp=2e2-2x+2x®+¥x例3.31设f(x)连续,且limf(x)=1,则limòx®+¥3tsinf(t)dt= . t解 lim3tsinf(t)dt x®+¥òxt3(x<c<x+2) =lim2csinf(c)x®+¥cx+2 =6 例3.32 求极限 limxn1+x2dx. n®¥0ò1解法1 由于 0£òxn1+x2dx<2òxndx=00112 n+1 78 lim2=0 n®¥n+1n®¥0则 limxn1+x2dx=0 解法2 由积分中值定理得 ò1ò1n02x1+x2dx=1+cnò1n0xdx ò10xndx=1®0 为无穷小量. n+11+(cn)2介于1与2之间为有界量，则 n®¥0limòx1+x2dx=0 x01n(x-t)f(t)dtò例3.33 设函数f(x)连续，且f(0)¹0，求极限lim。 xòf(x-t)dtx®0x0解 òx0f(x-t)dt=òf(u)du 0x原式=limx®0xòf(t)dt-òtf(t)dt00xxxòf(t)dt0x0xò =limx®0f(t)dt+xf(x)-xf(x)òxx0xf(t)dt+xf(x)f(t)dt =limx®0òò00f(t)dt+xf(x) =limxf(c)x®0xf(c)+xf(x)f(0)1= f(0)+f(0)2 =例3.34 设F(x)=òx+2pxesint×sintdt, 则F(x)_ A) 为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数 解：由于F¢(x)=esin(x+2p)sin(x+2p)-exsinx=0 79 知F(x)ºc， 也可由esintsint以2p为周期得 F(x)=òx+2pxesintsintdt=òesintsintdt=c 02p则F(x)为常数. 又F(0)=ò2p0esintsintdt esintdcost cost0+òesintcos2tdt 02p2p =-ò2p0 =-e =sintò2p0esintcos2tdt>0 注：说明积分ò2p0esintsintdt>0最简单的方法是几何的方法. 例3.35 试证:F(x)=ò(t-t)sin20x2ntdt在x³0上最大值不超过1. (2n+2)×(2n+3)2n证 令F¢(x)=(x-x2)sinx=0 得 x=1，x=kp 由于在x=kp邻近两侧F¢(x)不变号，则x=kp不是F(x)的极值点，而 当0<x<1时，F¢(x)>0，当x>1时，F¢(x)<0，则F(x)在x=1取极大值，又因为x=1为F(x)在1,+¥)上唯一的极值点，则该极大值为最大值. F(1)=ò(t-t2)sin2ntdt 01 £ò10(t-t2)t2ndt=1(2n+2)(2n+3)原题得证 例3.36 设f(x)是区间ê0,ú上的单调、可导函数，且满足 ë4ûépùf(x)ò0f-1(t)dt=òt0xcost-sintdt. sint+cost80 其中f-1是f的反函数，求f(x). 解 等式cost-sintdt两端对x求导得 ò00sint+costcoxs-sinxf-1f(x)f¢(x)=x sinx+coxscoxs-sinx即 xf¢(x)=x sinx+coxscoxs-sinxf¢(x)= sinx+coxsf(x)f-1(t)dt=òtxf(x)=ln(sxi+ncoxs)+c 而f(0)=0,则c=0 f(x)=ln(sxi+ncoxs) 例3.37 设函数f(x)在(0,+¥)内连续，f(1)=件5，且对所有x,tÎ(0,+¥)满足条2òxt1f(u)du=tòf(u)du+xòf(u)du，求f(x). 11xt 解 等式 x1òxt1f(u)du=tòf(u)du+xòf(u)du两端对t求导得 11xtxf(xt)=òf(u)du+xf(t) 令t=1得，xf(x)=òx15f(u)du+x 25 2上式两端对x导得，f(x)+xf¢(x)=f(x)+51 2x5f(x)=lnx+c 255又f(1)=，则c= 225f(x)=(lnx+1) 2px-f(x)sinxdx,求f(x). 例3.38 若f(x)=2ò-p1+cosxpx-f(x)sinxdx两端同乘sinx并从-p到p积分得 解 等式f(x)=1+cos2xò-pppxsinxf(x)sinxdx=ò-pò-p1+cos2xdx pxsinxdx =2ò01+cos2xf¢(x)=81 =pòp0sinxp2pdx=-parctancosx0 = 21+cos2xxp2- 则f(x)=21+cosx2例3.39 设f(t)连续,f(t)>0,f(-t)=f(t). 令F(x)=òa-a|x-t|f(t)dt.-a£x£a 1) 试证曲线y=F(x)在-a,a上是凹的. 2) 当x为何值时,F(x)取得最小值. 3) 若F(x)的最小值可表示为f(a)-a2-1,试求f(t). 解1) 证：由于 F(x)=òx-tf(t)dt -aa =òx-a(x-t)f(t)dt+ò(t-x)f(t)dt xa =xòx-axf(t)dt-òtf(t)dt+òtf(t)dt-xòf(t)dt -axxaxxaaF¢(x)=òf(t)dt+xf(x)-xf(x)-xf(x)+xf(x)-òf(t)dt -a =òx-af(t)dt-òf(t)dt xaF¢¢(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0 则曲线y=F(x)在-a,a上是凹的 2) 令F¢(x)=òx-af(t)dt-òf(t)dt=0 xa得 F¢(0)=0 又F¢¢(x)>0，则F¢(x)单调增，从而x=0为F(x)在-a,a上唯一的驻点，又F¢¢(0)>0，则F(x)在x=0取极小值，由唯一性知，F(x)在x=0取最小值. 3) F(x)在-a,a上最小值为 F(0)=òtf(t)dt=2òtf(t)dt -a0aa从而有 82 2òtf(t)dt=f(a)-a2-1 0a上式两端对a求导得，2af(a)=f¢(a)-2a 解此一阶线性微分方程得f(a)=ce-1 又f(0)=1，则c=2，从而 a2f(t)=2et-1 例三 积分不等式 证明积分不等式常用的方法： 1）变量代换； 2）积分中值定理 ； 3）变上限积分； 4）柯希积分不等式； (例3.40 求证:证：2òbaf(x)g(x)dx)2£òf2(x)dxòg2(x)dx； aabbò2p0sinx2dx>0. ò2p0sinxdx =2ò2p0sintdt 2t =2pòp02psintsintdt+òdt p2t2t而 òpp-sinusintdt=òdu 02tp+u则ò2p0sinx2dx=òp0sinté11ù-dt>0 êú2ëtp+tû例3.41 设f(x)在 0, 1上连续,非负，单调减。 求证:òa0f(x)dx³aòf(x)dx (0<a<1) 01证法1 只要证即 (1-a)òa0f(x)dx³aòf(x)dx+aòf(x)dx 0a1aa1òa0f(x)dx³aòf(x)dx 由积分中值定理知 (1-a)òf(x)dx=a(1-a)f(c1) 0<c1<a 0aaòf(x)dx=a(1-a)f(c2) a<c2<1 a1 83 由于f(x)单调减，则f(c1)>f(c2) 则(1-a)òa0f(x)dx³aòf(x)dx a11原题得证 证法2 òa0f(x)dx=aòf(at)dt 0 =aò10f(ax)dx 由于f(x)单调减，ax<x，则f(ax)>f(x) 从而有 a即 ò10f(ax)dx>aòf(x)dx 0101òa0f(x)dx>aòf(x)dx ba例3.42 设f(x)在a,b上连续，单调增。求证:òxf(x)dx³证法1，令F(x)=b+abf(x)dx òa2òxatf(t)-x+axf(t)dt 2òa只要证明F(b)³0，显然F(a)=0 2+a1xf(x)-òf(t)dt 22ax1 =é(x-a)f(x)-òf(t)dtù úaëû2ê1(a<c<x) =(x-a)f(x)-(x-a)f(c)2 ³0 而F¢(x)=xf(x)-则F(b)³F(a)=0 原式得证. 证法2 由于f(x)在a,b上单调增，