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数学实验特征值与特征向量数学实验报告 学 院： 班 级： 学 号： 姓 名： 完成日期： 实验六矩阵的特征值与特征向量 问题一 一实验目的 1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论； 2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法； 3.理解由差分方程xk+1 = Axk所描述的动力系统的长期行为或演化； 4.提高对离散动力系统的理解与分析能力. 二问题描述 当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化。猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面有轻微变动，系统会如何变化？ 三问题分析 将线性变换xAxk的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。 根据已知信息，找到系统对应的差分方程xk+1 = Axk，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。 四实验过程 问题对应的差分方程为xk+1 = Axk，其中A= 0.5 0.4 -0.125 1.1 ，演化过程求解如下： 第一步：求A的特征值和对应的特征向量。利用如下的代码即可获得： A=0.5 0.4;-0.125 1.1; pc,lambda=eig(A); Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend'); temp=diag(lambda); lambda=temp(I) pc=pc(:,I) 运行程序可得A的特征值为lambda = 1.0000 0.6000 A 的特征向量pc = -0.6247 -0.9701 -0.7809 -0.2425 显然，这两个特征向量是线性无关的，它们构成R2的一组基，为消除小数，选取 V1=4 V2= 4 P= 4 4 P1AP= 1.00 0 5 1 5 1 0 0.60 第二步：V1用和V2表示x0和xK,k=1,2.因为 V1，V2是R2的一组基，所以存在系数c1和c2,使得 x0= c1 V1+ c2 V2. 因为V1，V2为矩阵A对应于=1.0，u=0.6的特征向量，所以AV1=V1，A V2=V2，于是 X1=Ax0=A(c1 V1+ c2 V2)= c1V1+ c2uV2. X2=Ax1=A(c1V1+ c2V2)= c12V1+ c2u2V2. 一般地， Xk= c1kV1+ c2ukV2. = c1(1.0)k 4 +c2(0.6)k 4 k=0,1,2,3. 5 1 当k趋近于无穷大时，0.6k 趋近于0，假定c1>0,则对于所有足够大的k，xk近似地等于c1(1.0)k V1，写为 Xkc1(1.0)k 4 5 K越大，近似程度越高，所以对于足够大的k， Xk+1c1(1.0)k+1 4 5 =Xk 可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当,而且Xk约为4 5 的倍数，所以每4只猫头鹰对应着5000只老鼠。 第三步：解的图像表示，见图8-1，其中绿色圆圈代表初始点x0，红色圆点代表迭代序列，箭头代表迭代方向，蓝色直线代表特征向量V1，V2所在的直线。在图8-1中，圆点为鞍点，排斥最快的方向为过圆点和特征向量V1的直线方向。其中V1对应的特征值得绝对值为1.如果x0在这条直线上，则表示c2等于0，且Xk始终在原点。吸引最快的方向由特征向量V2决定，其对应的特征值的绝对值大于1. 相应的代码如下： % P8_1.m % 捕食者-被捕食者解的图像表示 clear,clc a=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1; n=100; xlabel('|lambda|=1,|u|<1') axis(a b c d),grid on,hold on x=linspace(a,b,30); A=0.5 0.4;-0.125 1.1; pc,lambda=eig(A); Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend'); temp=diag(lambda); lambda=temp(I) pc=pc(:,I) pc=-pc; z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x; z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x; h=plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(7)-100,'v1') h=plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2') button=1; while button=1 xi,yi,button=ginput(1); plot(xi,yi,'go'),hold on X0=xi;yi; X=X0; for i=1:n X=A*X,X0; h=plot(X(1,1),X(2,1),'R',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold on text(X0(1,1),X0(2,1),'X0') quiver(X(1,2),1',X(2,2),1',X(1,1)-X(1,2),0', X(2,1)-X(2,2),0',p) set(h,'MarkerSize',6),grid, end end 五结论与分析 因为当k趋近于无穷大时，0.6k 趋近于0，所以取1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。当出生率下降或者捕食率增大，或者相反的情况，该平衡状态就会被打破。直到重新平衡或者系统完全崩溃。 问题二 一实验目的 1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论； 2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法； 3.理解由差分方程xk+1 = Axk所描述的动力系统的长期行为或演化； 4.提高对离散动力系统的理解与分析能力. 二问题描述 在美国的黄杉森林中，班头猫头鹰主要以鼹鼠为食。假设这两个种群的捕食率-被捕食率矩阵为A=0.4 0.3;-p 1.2 证明：如果捕食参数p=0.325，则两个种群都会增长。估计长期的增长率及猫头鹰与鼹鼠的最终比值。 证明：如果捕食率p=0.5，则猫头鹰和鼹鼠都将灭绝。 试求一个P值，使得猫头鹰和鼹鼠的数量趋于稳定。此时，对应的种群数量是多少？ 三问题分析 将线性变换x Axk的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。 根据已知信息，找到系统对应的差分方程xk+1 = Axk，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。 四实验过程 问题对应的差分方程为xk+1 = Axk，其中A= 0.4 0.3 -P 1.2，演化过程求解如下： (1)当P=0.325时，类似问题一的结决方案，可求出A 的特征向量与特征值，代码如下： A = 0.4 0.3;-0.325 1.2; pc,lambda = eig(A); Y,I = sort(diag(abs(lambda),'descend'); temp = diag(lambda); lambda = temp(I) pc = pc(:,I) 运行程序可得A的特征值为 lambda = 1.0500 0.5500 A 的特征向量pc = -0.4191 -0.8944 -0.9080 -0.4472 将小数乘以相应倍数变成整数 V1= 5 V2= 2 P= 5 2P1AP=1.05 0 1111110 0.55 由此可知，当k趋近于无穷大时，0.55k 趋近于0.所以A的特征值取1.05.即猫头鹰和老鼠的数量几乎每个月都近似增加到原来的1.05 倍，即有5%的增长率.所以Xk约为，即每5只猫头鹰对应着6500只老鼠。最终比值为1300. 当P=0.5时，类似问题一的解决方案，可求出A 的特征向量与特征值，代码如下： A = 0.4 0.3;-0.5 1.2; pc,lambda = eig(A); Y,I = sort(diag(abs(lambda),'descend'); temp = diag(lambda); lambda = temp(I)pc = pc(:,I) 运行程序可得A的特征值为 lambda = 0.9000 0.7000 A 的特征向量 pc = -0.5145 -0.7071 -0.8575 -0.7071 将小数乘以相应倍数变成整数 V1= 5 V2= 1 P= 5 3P1AP=0.9 0 3 11 10 0.7 因为所有的特征值得绝对值都小于1，所以当k趋近于无穷大时，xk趋近于零。所以这个模型预示着斑点猫头鹰最终将会灭绝。 采用试值法取p=0.4. 可求出A 的特征向量与特征值如下： A = 0.4 0.3;-0.4 1.2; pc,lambda = eig(A); Y,I = sort(diag(abs(lambda),'descend'); temp = diag(lambda); lambda = temp(I) pc = pc(:,I) 运行程序可得A的特征值为 lambda = 1.0000 0.6000 A 的特征向量pc = -0.4472 -0.8321 -0.8944 -0.5547 因为当k趋近于无穷大时，0.6k 趋近于0.所以取1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。 五实验结论 捕食者-被捕食者问题说明了动态系统Xk+1=AXk的几个基本事实: 1.若它的特征值|1，|j|1,对于j=1,2,3,并且vi为i的特征向量。如果初始向量x0=c1v1+c2v2+cnvn,其中c10，则对于充分大的k，有 Xk+11Xk 且 Xk+1c1k1v1 2.若它的特征值|i|1,对于i=1,2,3,并且vi为i的特征向量。如果初始向量x0=c1v1+c2v2+cnvn,则对于充分大的k，有 Xk+10 3.用Matlab软件可以方便的计算出矩阵的特征值和其对应的特征向量，从而能更好地帮助我们去分析动态系统Xk+1=AXk的演化过程。
