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数学分析习题第十五章 多元函数的极限与连续性 §1 平面点集 limPn=P0的充1设Pn=(xn,yn)是平面点列，P0=(x0,y0)是平面上的点. 证明n®¥要条件是limxn=x0，且limyn=y0. n®¥n®¥2 设平面点列Pn收敛，证明Pn有界. 3 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)E= (2)E= (3)E= (4)E= (5)E=(x,y)|y<x； 2(x,y)|x2+y2¹1； (x,y)|xy¹0； (x,y)|xy=0； (x,y)|0£y£2,2y£x£2y+2； ìî1ü,x>0ý； xþ (6)E=í(x,y)|y=sin (7)E=(x,y)|x2+y2=1或y=0,0£x£1； E的聚点的充要条件是E中存在点列P6设E是平面点集. 证明P0是n，满足 P,2,L)且limPn=P0. n¹P0(n=1n®¥9设E是平面点集，如果集合E的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E是紧集. 证明紧集是有界闭集. 10设E是平面上的有界闭集，d(E)是E的直径，即 d(E)=supr(P',P''). P',P''ÎE求证：存在 P1,P2ÎE，使得r(P1,P2)=d(E). §2 多元函数的极限与连续性 1叙述下列定义： (1) limf(x,y)=¥； x®x0y®y0 (2) limf(x,y)=A； x®+¥y®-¥ (3) limf(x,y)=A； x®ay®+¥ (4) limf(x,y)=¥. x®ay®+¥ 2求下列极限： x2+y2 (1) lim； x®0x+yy®0 (2) limx®0y®0sin(x3+y3)x+y22； (3) limx®0y®0x2+y21+x+y-122； (4) lim(x+y)sinx®0y®01； 22x+y2(5) limxylnx+yx®0y®022(2)； ex+ey(6) lim； x®0cosx-sinyy®0(7) limx®0y®0xy； x4+y2232(8) limsin(xy)； x®0xy®2(9) limx®1y®0ln(x+ey)x+y22； (10) lim1； x®12x-yy®2(11) limxy+1； x®0x4+y4y®01+x2+y2(12) lim； 22x®0x+yy®0(13) limx+yx®+¥y®+¥(22)e(-x+y)； (14) limçx®+¥xyö. 22÷x+yøy®+¥èæx23讨论下列函数在(0,0)点的全面极限和两个累次极限： x2(1) f(x,y)=2； x+y2(2) f(x,y)=(x+y)sin11sin； xyex-ey(3) f(x,y)=； sin(xy)(4) f(x,y)=x2y2xy+(x-y)222； x3+y3(5) f(x,y)=2； x+yx2y2(6) f(x,y)=3； x+y3(7) f(x,y)=x4+3x2y2+2xy3(x(x22+y4322)； (8) f(x,y)=x4y4+y). 4叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 5叙述并证明limf(x,y)存在的柯西收敛准则. x®x0y®y06试作出函数f(x,y)，使当(x,y)®(x0,y0)时， (1) 全面极限和两个累次极限都不存在； (2) 全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等； (3) 全面极限和两个累次极限都存在. 7讨论下列函数的连续范围： (1) f(x,y)=1x+y22； (2) f(x,y)=1； sinxsiny(3) f(x,y)=x+y； (4) f(x,y)=x+y； x3+y3ìsin(xy), y¹0,ïfx,y=(5) ( )íyï0, y=0;îìsin(xy), x2+y2¹0,ï2(6) f(x,y)=íx+y2 ï220, x+y=0;î(7) f(x,y)=íì0, x为无理数； îy, x为有理数22222ìïyln(x+y), x+y¹0,(8) f(x,y)=í 22ïî0, x+y=0;xì22, x+y¹0,pï22(9) f(x,y)=í(x+y) (p>0). ï22î0, x+y=0,8若f(x,y)在某区域G内对变量x连续，对变量y满足利普希茨条件，即对任意 (x,y')ÎG和(x,y'')ÎG，有 f(x,y')-f(x,y'')£Ly'-y''， 其中L为常数，求证f(x,y)在G内连续. 9证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理. 10设二元函数f(x,y)在全平面上连续，2lim2 (1) f(x,y)在全平面有界； (2) f(x,y)在全平面一致连续. 11证明：若f(x,y)分别对每一变量x和y是连续的，并且对其中的一个是单调的，则f(x,y)是二元连续函数. 12证明：若E是有界闭域，f(x,y)是E上的连续函数，则f(E)是闭区间. x+y®¥f(x,y)=A，求证：
