数列中An与Sn的关系.docx

数列中An与Sn的关系an与Sn的关系 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考的的考查重点。在数列这部分的内容中，一定要处理好数列an的通项an与前n项和Sn的关系，即 an=í面通过几例，与同行共同探讨。 一已知Sn求an 例1 已知数列an的前n项和为Sn，且olg2n=1，ìS1。下îSn-Sn-1,n³2求数列an的通项公式。 (Sn+1)=n+1，解：由log2(Sn+1)=n+1得，Sn=2n+1-1，当n=1时，a1=S1=3； 当n³2时，an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n， n=1,ì3,a=综上所述，数列an的通项公式为nín 2,n³2î二已知an求Sn 例2 已知数列an，an=n*(nÎN)，求an的前n项和Sn。 n2解：Sn=a1+a2+a3+L+an 1234n-1n+2+3+4+L+n-1+n- 2222221在两边同乘以得 21123n-1nSn=2+3+4+L+n+n+1- 222222Sn=(1)-(2)得 111111nn+2Sn=+(2+3+4+L+n)-n+1=1-n+1 22222222n+2Sn=2-。 2n三已知an与Sn的关系，求an或Sn 例3 设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求an的通项公式。 (an-1+2)2(an+2)2an+2=2Sn，Sn=解：由题意知 ，又Sn-1= 288 an=Sn-Sn-122(an+2)2(an-1+2)2an-an-1+4an-4an-1=-= 88822an-an-1-4(an+an-1)=0Þ(an+an-1)(an-an-1-4)=0， an是正数组成的数列，an+an-1¹0，an-an-1-4=0 即 an-an-1=4，故an是等差数列，且首项a1=2，公差d=4， an=a1+(n-1)d=4n-2，数列an的通项公式为an=4n-2。 22Sn例3 在数列an中，a1=1，它的前n项和为Sn，且an=(n³2)，求an的 2Sn-1通项公式。 222Sn2Sn解：当n³2时，由an=及an=Sn-Sn-1，得 Sn-Sn-1=， 2Sn-12Sn-1Sn-1-Sn=2SnSn-1，两边同除以SnSn-1，得 ì1ü11-=2，所以íý是以1为首项，SnSn-1îSnþ2为公差的等差数列，所以11， =1+(n-1)´2，Sn=2n-1Snan=Sn-Sn-1=112-=-； 2n-12n-3(2n-1)(2n-3)(n=1)，ì1,ï故数列an的通项公式为an=í 2-,(n³2)ï(2n-1)(2n-3)î注：利用an与Sn的关系：an=í使问题得到解决。 练习： 1在数列an中，它的前n项和为Sn，且Sn=n2-n+1，求数列an的通项公式。 2在数列an中，an=2+n，求数列an的前n项和Sn。 nn=1，ìS1，可实现an与Sn之间的转化，从而S-S,n³2n-1în3在数列an中，a1=1，它的前项和为Sn，且an=2Sn-1(nÎN,n³2)，求数列an*的通项公式。 参考答案：1an=íì1,(n=1),n-2î2´3,(n³2).；Sn=2n+1+n(n+1)-2； 2an=í ì1î2n-2(n=1), (n³2).