数值分析6微分方程数值解习题课.docx
数值分析6微分方程数值解习题课微分方程 初值问题数值解 习题课 一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分 y=òedt 0所确定的函数y在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。 解：该积分问题等价于常微分方程初值问题 x-t2ìïy'=eí y(0)=0ïî其中h=0.5。其向前欧拉格式为 -x2ìïyi+1=yi+heíy0=0ïî改进欧拉格式为 -(ih)2h-(ih)2-(i+1)2h2ì+e)ïyi+1=yi+(e2íïîy0=0将两种计算格式所得结果列于下表 i 0 1 2 3 xi 0 0.5 1.0 1.5 向前欧拉法yi 0 0.5 0.88940 1.07334 改进欧拉法yi 0 0.44470 0.73137 0.84969 二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题 ìy'=x-y+1í0£x£0.6 y(0)=1î取步长h=0.1. 解：4步显式法必须有4个起步值，y0已知，其他3个y1,y2,y3用4阶龙格库塔方法求出。 本题的信息有： 步长h=0.1；结点xi=ih=0.1i(i=0,1,L,6)； f(x,y)=x-y+1,y0=y(0)=1 经典的4阶龙格库塔公式为 hyi+1=yi+(k1+2k2+2k3+k4) 6k1=f(xi,yi)=xi-yi+1 hk1hk2=f(xi+,yi+)=xi-yi-0.05k1+1.05 22hkhk3=f(xi+,yi+2)=xi-yi-0.05k2+1.05 22k4=f(xi+h,yi+hk3)=xi-yi-0.1k3+1.1 算得y1=1.0048375,y2=1.0187309,y3=1.0408184 4阶4步阿达姆斯显格式 hyi+1=yi+(55fi-59fi-1+37fi-2-9fi-3)24 1yi=(18.5yi+5.9yi-1-3.7yi-2+0.9yi-3+0.24i+3.24) 24由此算出 y4=1.0703231,y5=1.1065356,y6=1.1488186 三、用Euler方法求 y'=-exy+x+1,0£x£1y(0)=1xfx,y=-ey+x+1 ()解：本题问步长h应该如何选取，才能保证算法的稳定性？ l=fy¢(x,y)=-ex<0,0£x£1 本题的绝对稳定域为 1+lh=1-hex<1 得0<hex<2，故步长应满足 0<he<2,0<h<0.736 四、 求梯形方法 hyk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1) 2的绝对稳定域。 证明：将Euler公式用于试验方程y'=ly，得到 hyk+1=yk+lyk+lyk+1 2整理 lhælhöç1-÷yk+1=(1+)yk 2ø2è设计算yk时有舍入误差ek,k=0,1,2,L，则有 lhælhöç1-÷ek+1=(1+)ek 2ø2è据稳定性定义，要想ek+1£ek，只须 1+l2h£1-l2h因此方法绝对稳定域为复平面lh的整个左半平面，是A-稳定的。 五、对初值问题 ìy'=-yí 0£x£1 y(0)=1î证明：用梯形公式 hyn+1=yn+f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1) 2求得的数值解为 æ2-höyn=ç÷ 2+hèøn并证明当步长h®0时，yn收敛于该初值问题的精确-xy=e解n 证明：由梯形公式，有 hhyn+1=yn+f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1)=yn+-yn-yn+1 22整理，得 æ2-höyn+1=ç÷yn è2+hø由此递推公式和初值条件，有 æ2-höæ2-höyn=çy=÷0ç÷ 2+h2+hèøèønn"xÎ0,1，则有在区间0,xÍ0,1上有 xx=xn=nh，步长h=，由前面结果有 n2höæ2-höælimyn=limç=limç1-÷÷n®¥n®¥2+hh®02+hèøèø2+h-éù2h2höæú=limêç1-÷h®0êúè2+høëû-2x2+hnxh=e-x由x的任意性，得所证。 ìy¢=f(x,y)六。 常微分方程初值问题íy(x)=y的单步法为 00îhyn+1=yn+f(xn,yn)+2f(xn+1,yn+1),h=xk+1-xk 3试求其局部截断误差主项并回答它是几阶精度的？ 解 该单步公式的局部截断误差是 hTn+1=y(xn+1)-y(xn)-f(xn,y(xn)+2f(xn+1,y(xn+1)3 h=y(xn+1)-y(xn)-(y¢(xn)+2y¢(xn+1) 3h2h3h4(4)=y(xn)+hy¢(xn)+y¢¢(xn)+y¢¢¢(xn)+y(xn)+L 2!3!4!öh2æh2-y(xn)-y¢(xn)-hçy¢(xn)+hy¢¢(xn)+y¢¢¢(xn)+L÷ 33è2!ø1212=(1-)hy¢(xn)+(-)h2y¢¢(xn)+O(h3) 332312故局部截断误差主项是-6hy¢¢(xn)，方法是一阶的。 12=-hy¢¢(xn)+O(h3)=O(h2)6 七、对于微分方程y'=f(x,y)，已知在等距结点x0,x1,x2,x3处的y的值为y0,y1,y2,y3，h为步长。试建立求y4的线性多步显格式与与隐格式。 解：取积分区间x2,x4，对y'=f(x,y)两端积分： y(x4)-y(x2)=òdy=òf(x,y)dx x2x2x4x4对右端f(x,y)作x1,x2,x3的二次插值并积分 òx4x2f(x,y)dxx4»òl02(x)f(x1,y1)+l12(x)f(x2,y2)+l22(x)f(x3,y3)dxx2123=h(f(x1,y1)-f(x2,y2)+f(x3,y3) 337得到线性4x4123步显格式y4=y2+h(3f1-3f1+7f3) 若对右端在x3,x4两点上作线性插值并积分，有 òx2f(x,y)dxx4»òl01(x)f(x3,y3)+l11(x)f(x4,y4)dxx2=2hf(x4,y4) 由此产生隐格式 y4=y2+2hf(x4,y4) 八、证明线性多步法 yn+1+a-yn-21=(3+a)h(fn+fn-1) 2存在a的一个值，使方法是4阶的。 解： 由本题的公式，有 1yn+1=-a+yn-2+(3+a)h(fn+fn-1) 2Tn+1=y(xn+h)-yn+1 h2h3h4(4)=y(xn)+hy'(xn)+y''(xn)+y'''(xn)+y(xn)+O(h5) 2!3!4!1-a(y(xn)-y(xn-h)+y(xn-2h)+(3+a)h(y'n+y'(xn-h) 2h2h3h4(4)=y(xn)+hy'(xn)+y''(xn)+y'''(xn)+y(xn)+O(h5) 2!3!4!h2h3h4(4)+ay(xn)-a(y(xn)-hy'(xn)+y''(xn)-y'''(xn)+y(xn)+O(h5) 2!3!4!(2h)2(2h)3(2h)4(4)-(y(xn)-2hy'(xn)+y''(xn)-y'''(xn)+y(xn)+O(h5)2!3!4!1h2h3(4)-h(3+a)(y'(xn)+y'(xn)-hy''(xn)+y'''(xn)+y(xn)+O(h5) 22!3!111=1+a+2-(3+a)hy'(xn)+-a-2+(3+a)h2y''(xn) 2221141+a+-(3+a)h3y'''(xn) 6634+1121-a-+(3+a)h2y(4)(xn)+O(h5) 2424312311=(-a)h3y'''(xn)+(-9+a)h4y(4)(xn)+O(h5) 41224当a=9时，Tn+1=O(h5)，局部截断误差是5阶的，故该多步法是4阶方法。
