数列极限的描述性定义 对于数列.docx

数列极限的描述性定义 对于数列数列极限的描述性定义对于数列𝑥𝑛，如果当n无限增大时，𝑥𝑛无限接近于某一常数a，那么就称数列𝑥𝑛收敛于a,或称常数a为数列𝑥𝑛的极限，记作 𝑛lim+𝑥𝑛=𝑎或𝑥𝑛𝑎(𝑛+) 数列极限的分析定义对于数列𝑥𝑛，如果存在常数a，对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式 𝑥𝑛𝑎 <𝜀都成立，那么就称数列 𝑥𝑛 收敛于a，或称常数a为数列 𝑥𝑛 的极限，记作 𝑛lim+𝑥𝑛=𝑎或𝑥𝑛𝑎(𝑛+) 注：从几何意义上看，“当n>N时，有 𝑥𝑛𝑎 <𝜀”表示：所有下标大于N的项𝑥𝑛都落在邻域U之外，至多只含有数列 𝑥𝑛 的有限项。 在数列极限的定义中，若满足条件的常数a确实不存在，则称数列 𝑥𝑛 不收敛，或称数列 𝑥𝑛 为发散数列，也称数列极限lim𝑛+𝑥𝑛不存在。 数列极限的唯一性若数列 𝑥𝑛 收敛，则其极限是唯一的。 收敛数列的有界性若数列 𝑥𝑛 收敛，则数列 𝑥𝑛 是有界的。 数列的有界性仅仅是数列收敛的必要条件，而非充分条件。 收敛数列的保号性设lim𝑛+𝑥𝑛=𝑎，若a>0(或a<0),则存在正整数N，当n>N时，都有𝑥𝑛>0(或𝑥𝑛<0). 推论1 若lim𝑛+𝑥𝑛=𝑎，且数列 𝑥𝑛 从某一项起有𝑥𝑛0，则a0. 收敛数列与其子数列的关系数列 𝑥𝑛 收敛于a的充分条件是其任一子数列也收敛于a。 数列极限的四则运算法则对于数列 𝑥𝑛 和 𝑦𝑛 ，若lim𝑛+𝑥𝑛=𝑎，lim𝑛+𝑦𝑛=𝑏，,则数列𝑥𝑛±𝑦𝑛，𝑥𝑛𝑦𝑛和𝑥𝑛𝑦𝑛都收敛，且有 特殊地，对于常数k，有 设函数𝑓 𝑥 在a,+）上有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数𝜀(无论多么小)，总存在正实数M，使得当x>M时，有 𝑓 𝑥 𝐴 <𝜀成立，则称常数A为函数𝑓 𝑥 当x趋于+时的极限，记作lim𝑛+𝑓 𝑥 =𝐴或𝑓 𝑥 𝐴(𝑥+) 即lim𝑛+𝑓 𝑥 =𝐴>0,𝑀>0,使得当x>𝑀时，有 𝑓 𝑥 𝐴 <𝜀 设函数𝑓 𝑥 在点𝑥0的某个去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数𝜀(无论多么小)，总存在正数，使得当0< 𝑥𝑥0 <𝛿时，有 𝑓 𝑥 𝐴 <𝜀成立，则称常数A为函数 𝑓 𝑥 当即lim𝑛+𝑓 𝑥 =𝐴>0,𝑀>0,使得当x>𝑀时，有 𝑓 𝑥 𝐴 <𝜀x趋于𝑥0时的极限，记作 𝑛𝑥0lim𝑓 𝑥 =𝐴或𝑓 𝑥 𝐴(𝑥𝑥0) 即lim𝑛𝑥0𝑓 𝑥 =𝐴>0,𝛿>0,使得当0< 𝑥𝑥0 <𝛿时，有 𝑓 𝑥 𝐴 <𝜀 如果当x从左侧趋于𝑥0时，函数𝑓 𝑥 无限趋近于常数A，则称常数A为函数𝑓 𝑥 在x𝑥0时的左极限，记为+𝑓(𝑥)=𝐴(lim+𝑓(𝑥)=𝐴或f(𝑥0)=A). lim𝑥𝑥0𝑥𝑥0即 左极限和右极限统称为单侧极限。函数𝑓 𝑥 在x𝑥0时的极限存在的充要条件是其左右极限都存在而且相等，即 函数极限的唯一性若极限lim𝑥𝑥0𝑓 𝑥 存在，则该极限是唯一的。 函数极限的局部有界性若lim𝑥𝑥0𝑓 𝑥 存在，那么函数𝑓 𝑥 在局部范围内就是有界的，即存在常数M和>0，使得当0< 𝑥𝑥0 <𝛿时，有 𝑓 𝑀 函数极限的局部保号性若lim𝑥𝑥0𝑓 𝑥 =A，且A>0,那么就存在常数>0，使得当0< 𝑥𝑥0 <𝛿时，有f(x)>0(或者f(x)<0). 推论如果𝑥0的某一去心邻域内有f x 0 或f x 0 ,且lim𝑥𝑥0𝑓 𝑥 =A,那么A0(或A0)。 海涅定理设函数𝑓 𝑥 在点𝑥0的某个去心邻域内有定义，则lim𝑥𝑥0𝑓 𝑥 存在的充要条件是对任何含于上述𝑥0的去心邻域内，且以𝑥0为极限的数列𝑥𝑛,极限lim𝑛+𝑓 𝑥 都存在且相等。 函数极限的四则运算法则 𝑛𝑥0x趋于𝑥0时的极限，记作 lim𝑓 𝑥 =𝐴或𝑓 𝑥 𝐴(𝑥𝑥0) 即lim𝑛𝑥0𝑓 𝑥 =𝐴>0,𝛿>0,使得当0< 𝑥𝑥0 <𝛿时，有 𝑓 𝑥 𝐴 <𝜀 如果当x从左侧趋于𝑥0时，函数𝑓 𝑥 无限趋近于常数A，则称常数A为函数𝑓 𝑥 在x𝑥0时的左𝑓(𝑥)=极限，记为lim𝑥𝑥0+𝑓(𝑥)=𝐴或f(𝑥0)=A). 𝐴(lim𝑥𝑥0即 左极限和右极限统称为单侧极限。函数𝑓 𝑥 在x𝑥0时的极限存在的充要条件是其左右极限都存在而且相等，即 函数极限的唯一性若极限lim𝑛𝑥0𝑓 𝑥 存在，则该极限是唯一的。 函数极限的局部有界性若lim𝑛𝑥0𝑓 𝑥 存在，那么函数𝑓 𝑥 在局部范围内就是有界的，即存在常数M和>0，使得当0< 𝑥𝑥0 <𝛿时，有 𝑓 𝑀 函数极限的局部保号性若lim𝑛𝑥0𝑓 𝑥 =A，且A>0，那么就存在常数>0，使得当0< 𝑥𝑥0 <𝛿时，有f(x)>0(或f(x)<0) 推论