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数值分析课后习题与解答课后习题解答 第一章 绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为，求f(x)=ln x的误差限。 解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有 已知x*的相对误差，故 即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？ ，相对误差限满足，而解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算四个选项：取，利用 ： 式计算误差最小。 第二、三章 插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故 2. 在-4x4上给出的等距节点函数表，若用二次，函数表的步长h，因插值法求的近似值，要使误差不超过应取多少? 解：用误差估计式，令因得3. 若 ，求和. 解：由均差与导数关系于是4. 若的值，这里pn+1. 解：可知当而当Pn1时 于是得 有互异，求，由均差对称性5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于7. 给定f(x)=cosx的函数表 用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差 解：先构造差分表 计算公式 ，用n=4得Newton前插误差估计由公式得 其中计算时用Newton 后插公式得 这里仍为0.565 8 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足 解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足 ，显然p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由p(2)=1求出A ，于是 9. 令求的表达式，并证明多项式序列。 解：因称为第二类Chebyshev多项式，试是-1,1上带权的正交，再令 10. 用最小二乘法求一个形如下列数据，并计算均方误差. 的经验公式，使它拟合解：本题给出拟合曲线程系数 ，即，故法方法方程为 解得最小二乘拟合曲线为均方程为 11. 填空题 (1) 满足条件p(x)=( ). (2) =( ). (3) 设数，则 (4) 设是区间0,1上权函数为(x)=x的，则为互异节点，为对应的四次插值基函( )，( ). ,则f1,2,3,4=( )，f1,2,3,4,5的插值多项式最高项系数为1的正交多项式序列，其中( )，答： ( ) 第4章 数 值 积 分与数值微分 习题4 1. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分. 解 本题只要根据复合梯形公式及复合Simpson公式直接计算即可。 对，取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。，按式求得 ，并估计误差 ，按式求出积分2. 用Simpson公式求积分解：直接用Simpson公式得 由式估计误差，因3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1) (2) (3) ，故 解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。 令代入公式两端并使其相等，得 解此方程组得再令，得 ，于是有 故求积公式具有3次代数精确度。 令代入公式两端使其相等，得 解出而对令不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。 代入公式精确成立，得 得 解得，得求积公式 对故求积公式具有2次代数精确度。 4. 计算积分超过，问区间，若用复合Simpson公式要使误差不要分为多少等分?若改用复合梯形公应分为多少等分? 得 式达到同样精确度，区间解：由Simpson公式余项及即超过，由余项公式得 即取n=255才更使复合梯形公式误差不超过5. 用Romberg求积算法求积分，取，取n=6，即区间分为12等分可使误差不对梯形公式同样解：本题只要对积分使用Romberg算法，计算到K3，结果如下表所示。 于是积分，积分准确值为0.713272 6 用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分. 解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。 由于区间为，所以先做变换于是 本题精确值7 用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分 解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算 即于是，因n=2,即为三点公式，于是 ，即故 8. 试确定常数A，B，C，及，使求积公式 有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式? 解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令对公式精确成立，得到 由得A=C，这两个方程不独立。故可令由解得则有求积公式 ，代入得，得 令公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。 第五章 解线性方程组的直接法 习题五 1. 用Gauss消去法求解下列方程组. 解 本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。 故 2. 用列主元消去法求解方程组系数矩阵A的行列式detA的值 解：先选列主元，2行与1行交换得 并求出消元 3行与2行交换回代得解 行列式得 消元 3. 用Doolittle分解法求解. 解：由矩阵乘法得 的再由由求得 解得 4. 下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一? 解：A中 ，若A能分解，一步分解后，相互矛盾，故A不能分解，但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU ，但它仍可分解为 对B，显然分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。 5. 用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中 解：用解对三角方程组的追赶法公式和计算得 6. 用平方根法解方程组解：用分解直接算得 由及求得 7. 设解：即，另一方面 ，证明 故8 设范数 解：计算A的行范数，列范数及F-范数和2故 是非奇异的，定义9 设为 上任一种范数，证明证明：根据矩阵算子定义和定义，得 令，因P非奇异，故x与y为一对一，于是 10. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计 解：记 则的解，而的解，即，即. 故而 由的误差估计得 表明估计略大，是符合实际的。 11.是非题：题目中若A对称正定,范数 定义定义只要是一种范数矩阵 是一种范数矩阵 ，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下,则是上的一种向量三角阵，U为非奇上三角阵 只要解 若A对称正定,则A可分解为素为正的下三角阵 ，其中L为对角元，则总可用列主元消去法求得方程组的对任何都有 若A为正交矩阵，则答案： 第六章 解线性方程组的迭代法 习题六 1. 证明对于任意的矩阵A，序列零矩阵 解：由于故2. 方程组 而收敛于 (1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性. (2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止 解：因为 具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。 J法得迭代公式是 取，迭代到18次有 GS迭代法计算公式为 取3. 设方程组 证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散 解：Jacobi迭代为其迭代矩阵 ，谱半径为迭代法为 ，而Gauss-Seide其迭代矩阵 ，其谱半径为由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。 4. 下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛? 解：Jacobi法的迭代矩阵是 即，故，J法收敛、 GS法的迭代矩阵为 故，解此方程组的GS法不收敛。 5. 设，detA0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件. 解 J法迭代矩阵为 ，故J法收敛的充要条件是代矩阵为 。GS法迭由得GS法收敛得充要条件是6. 用SOR方法解方程组(分别取=1.03,=1,=1.1) 精确解，要求当时迭代终止，并对每一个值确定迭代次数 解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为 取若取，当，迭代6次得 7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使时，迭代5次达到要求那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次? 解：J法的迭代矩阵为 ，故最优松弛因子 ，因A为对称正定三对角阵，J法收敛速度 由于，故 若要求对于J法对于GS法对于SOR法8. 填空题 ，取K15 ，取K8 ，取K5 ，于是迭代次数 (1)要使应满足. ，则解此方程组的 (2) 已知方程组Jacobi迭代法是否收敛.它的渐近收敛速度R(B)=. (3) 设方程组Ax=b,其中阵是.GS法的迭代矩阵是. (4) 用GS法解方程组方法收敛的充要条件是a满足. (5) 给定方程组,a为实数.当a满足，其中a为实数，其J法的迭代矩，且02时SOR迭代法收敛. 答: (1)(2)J法是收敛的，(3)J法迭代矩阵是(4)满足(5)满足，GS法迭代矩阵 第七章 非线性方程求根 习题七 1. 用二分法求方程的正根，使误差小于0.05 。本题解 使用二分法先要确定有根区间f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算各次迭代值如表。 其误差2. 求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式. (1) (2) (3)，迭代公式,迭代公式，迭代公式. . . 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根 解：取区间在且，在中且，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。 ，在迭代法发散。 ，在中有中，且，故迭代收敛。 ，在附近，故在迭代及中，因为的迭代因子L较小，故它比收敛快。用迭代，取，则 3. 设方程 (1) 证明对的迭代法 ,均有,其中为方程的根. , (2) 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过并列出各次迭代值. (3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论 解：迭代函数，取，对有，则有各次迭代值 取，其误差不超过 故此迭代为线性收敛 4. 给定函数证明对方程解：由于，设对一切x,存在，而且.均收敛于的任意常数,迭代法的根 ，为单调增函数，故方程的根，由递是唯一的。迭代函数。令推有 ，即，则5. 用Steffensen方法计算第2题中(2)、(3)的近似根，精确到,令 令,得 ,与第2题中(2)的结果一致,可取满足精度要求. 对(3)有,原迭代不收敛.现令 ,则,则有 解:在(2)中令 6. 用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字. (1) (2)解：Newton迭代法 取，则 ，取 在=2附近的根. 在=1附近的根 令，则 7. 应用Newton法于方程式，并讨论其收敛性. 解：方程的根为，取,求立方根的迭代公，用Newton迭代法 此公式迭代函数，则，故迭代法2阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设一般的，当时有 这是因为从而，即，表明序列当时成立。，对单调递减。故对迭代序列收敛于