数列知识点总结及题型归纳.docx

数列知识点总结及题型归纳数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an-an-1=d(n³2)或一、数列的概念 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项，在第二个位置的叫第2项，序号为n 的项叫第n项记作an； 数列的一般形式：a1，a2，a3，an，简记作 an。 例：判断下列各组元素能否构成数列 a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)XX年各省参加高考的考生人数。 通项公式的定义：如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ， an+1-an=d(n³1)。 例：等差数列an=2n-1，an-an-1= 题型二、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d； 说明：等差数列的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0 为递减数列。 例：1.已知等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12等于 A15 B30 C31 D64 2.an是首项a1=1，公差d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于 667 668 669 670 3.等差数列an=2n-1,bn=-2n+1，则an为 bn为 题型三、等差中项的概念： 定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A= a，A，b成等差数列ÛA=1111：1， 2345数列的通项公式是an= n， 数列的通项公式是an= 说明： an表示数列，an表示数列中的第n项，an= f(n)表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= (-1)=ína+b 21。 na+b 即：2an+1=an+an+2 2例：1设an是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13= A120 B105 C90 D75 ì-1,n=2k-1(kÎZ)； +1,n=2kî2.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质： 在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； 在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； 在等差数列an中，对任意m，nÎN+，an=am+(n-m)d，d= 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414， 数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N+的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值an-am(m¹n)； n-mf(1),f(2),f(3),，f(n)，通常用an来代替f(n)，其图象是一群孤立点。 例：画出数列an=2n+1的图像. 数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ 1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a, 在等差数列an中，若m，n，p，qÎN+且m+n=p+q，则am+an=ap+aq； 题型五、等差数列的前n和的求和公式：Sn=(Sn=An2+Bnn(a1+an)1dn(n-1)n。=na1+d=n2+2222(A,B为常数)Þan是等差数列 ) (a1+an)n(am+an-(m-1)n= 22递推公式：Sn=(n=1)ìS1数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an=í S-S(n2)înn-1例：已知数列an的前n项和sn=2n+3，求数列an的通项公式 2 例：1.如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+.+a7= 14 21 28 35 2.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于( ) A13 B35 C49 D 63 1 二、等差数列 3. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S9=72,则a2+a4+a9= 4.在等差数列an中，a1+a9=10，则a5的值为 5 6 8 10 5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 6.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S12=21，则a2+a5+a8+a11= 7.设等差数列an的前n项和为Sn，若a5=5a3则8已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100. 求数列bn的通项bn； 9.已知an数列是等差数列，a10=10，其前10项的和S10=70，则其公差d等于( ) 2.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 。 3已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设Sn为等差数列an的前n项和，S4=14，S10-S7=30，则S9= 5设Sn是等差数列an的前n项和，若S31S，则6 S63S12DA113 B C 38101 9S9= S5题型八判断或证明一个数列是等差数列的方法： 定义法： an+1-an=d(常数）Þan是等差数列 中项法： 2an+1=an+an+2通项公式法： 设等差数列 an的前n项和为sn,若a6=s3=12,则an= Sn的前nn前n项和公式法： Sn=An2+Bn(A,B为常数)Þan是等差数列 11设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列项和，求Tn。 12.等差数列an的前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50 求通项an；若Sn=242，求n 例：1.已知数列an满足an-an-1=2，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列an的通项为an=2n+5，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列an的前n项和sn=2n2+4，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 4.已知一个数列an的前n项和sn=2n2，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.已知一个数列an满足an+2-2an+1+an=0，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 6.数列an满足a1=8，a4=2，且an+2-2an+1+an=0 *13.在等差数列an中，已知S8=48,S12=168,求a1和d；已知a6=10,S5=5,求a8和S8；(3)已知a3+a15=40,求S17 题型六.对于一个等差数列： S奇a=n； S偶an+1Sn若项数为奇数，设共有2n-1项，则S奇-S偶=an=a中；奇=。 S偶n-1若项数为偶数，设共有2n项，则S偶-S奇=nd； 题型七.对与一个等差数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列。 例：1.等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 A.130 B.170 C.210 D.260 求数列an的通项公式； 27设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n，则an是 A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 题型九.数列最值 a1>0，d<0时，Sn有最大值；a1<0，d>0时，Sn有最小值； Sn最值的求法：若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Sn=an+bn的最值； 2 2可用二次函数最值的求法；或者求出an中的正、负分界项，即： 若已知an，则Sn最值时n的值可如下确定í4.已知数列an中，a1=3，前n和Sn=求证：数列an是等差数列 求数列an的通项公式 1(n+1)(an+1)-1 2ìan³0ìan£0或í。 îan+1£0îan+1³0 例：1等差数列an中，a1>0，S9=S12，则前 项的和最大。 2设等差数列an的前n项和为Sn，已知 a3=12，S12>0，S13<0 求出公差d的范围， 指出S1，S2，L，S12中哪一个值最大，并说明理由。 *3设an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是 A.d0 B.a70 C.S9S5 4已知数列an的通项 5.已知an是等差数列，其中a1=31，公差d=-8。 数列an从哪一项开始小于0？ 求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值 6.已知an是各项不为零的等差数列，其中a1>0，公差d<0，若S10=0,求数列an前n项和的最大值 7.在等差数列an中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值 题型十.利用an=í D.S6与*5.设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为 15 (B) 16 (C) 49 64 等比数列 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q¹0)，即：an+1：an=q(q¹0)。 一、递推关系与通项公式 S7均为Sn的最大值 递推关系：an+1=anq通项公式：an=a1×qn-1 推广：an=am×qn-m1 在等比数列an中,a1=4,q=2，则an= 2 在等比数列an中,a7=12,q=32,则a19=_. 3.在等比数列an中，a28，a164，则公比q为 2 3 4 8 4.在等比数列an中，a2=-2，a5=54，则a8= 5.在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5= A 33 B 72 C 84 D 189 n-98n-99，则数列an的前30项中最大项和最小项分别是 二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b=±ac，注：b=ac是成等比数列2(n=1)ìS1求通项 îSn-Sn-1(n³2)2的必要而不充分条件. 例：1.2+3和2-3的等比中项为( ) 1.数列an的前n项和Sn=n+1试写出数列的前5项；数列an是等差数列吗？你能写出数列an的通项公式吗？ 2已知数列an的前n项和Sn=n-4n+1则 ，2(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)2 2.设an是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn= 3.设数列an的前n项和为Sn=2n，求数列an的通项公式； 2n27nn25nn23n+ C+ A B443324三、等比数列的基本性质， 3 Dn+n 21.若m+n=p+q，则am×an=ap×aq(其中m,n,p,qÎN*) qn-m=ana，a2n=an-m×an+m(nÎN*) man为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. an既是等差数列又是等比数列Ûan是各项不为零的常数列. 例：1在等比数列a2n中,a1和a10是方程2x+5x+1=0的两个根,则a4×a7=( ) (A)-52 (B)22 (C)-12 (D)12 2. 在等比数列an，已知a1=5，a9a10=100，则a18= 3.在等比数列an中，a1+a6=33，a3a4=32，an>an+1 求an 若Tn=lga1+lga2+L+lgan,求Tn 4.等比数列an的各项为正数，且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10= A12 B10 C8 D2+log35 2n 5.已知等比数列an满足an>0,n=1,2,，且a5×a2n-5=2(n³3)，则当n³1时，log2a1+log2a3+log2a2n-1= A. n(2n-1) B. (n+1)2 C. n2 D. (n-1)2 n项和， ì(q=1)Sïna1nn=ía1(1-q)a1-(q¹1) ïî1-q=anq1-q例：1.已知等比数列an的首相a1=5，公比q=2，则其前n项和Sn= 2.已知等比数列a1n的首相a1=5，公比q=2，当项数n趋近与无穷大时，其前n项 和Sn= 3.设等比数列an的前n项和为Sn，已a2=6,6a1+a3=30，求an和Sn 4设f(n)=2+24+27+210+23n+10(nÎN)，则f(n)等于 A27(8n-1) B27(8n+1-1) C27(8n+3-1) D2n+47(8-1) 5设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q； 6设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q 的值为 . 五. 等比数列的前n项和的性质 若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kÎN*，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列. S6S9例：1.设等比数列 an的前n 项和为Sn，若 S3=3 ，则 S6 = 78A. 2 B. 3 C. 3 D.3 2.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 A83 B108 C75 D63 3.已知数列an是等比数列，且Sm=10，S2m=30，则S3m= 4.等比数列的判定法 定义法：an+1a=qÞan为等比数列； n中项法：a2n+1=an×an+2(an¹0)Þan为等比数列； 通项公式法：ann=k×q(k,q为常数）Þan为等比数列； 前n项和法：Snn=k(1-q)Þan为等比数列。 Snn=k-kqÞan为等比数列。 例：1.已知数列an的通项为an=2n，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列a2n满足an+1=an×an+2(an¹0)，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列an的前n项和s+1n=2-2n，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.利用aìS1(n=1)n=íS求通项 în-Sn-1(n³2)4 四、等比数列的前 例：1.数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=列an的通项公式 1Sn，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数3若an+1-an=f(n)(n³2)，则 a2-a1=f(1)a3-a2=f(2) an+1-an=f(n)*2.已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5，证明数列an+1(nÎN)n是等比数列 四、求数列通项公式方法 公式法根据等差数列、等比数列的定义求通项 例：1已知等差数列an满足：a3=7,a5+a7=26， 求an； 2.已知数列an满足a1=2,an-an-1=1(n³1)，求数列an的通项公式； 3.数列a*n满足a1=8，a4=2，且an+2-2an+1+an=0 ，求数列an的通项公式； 4. 等比数列a2n的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=9a2a6，求数列an的通项公式 5. 已知数列an满足a1=2,an=3an=1(n³1)，求数列an的通项公式； 6. 已知数列a2*n满足a1=2，a2=4且an+2×an=an+1 ，求数列an的通项公式； 7. 已知数列a满足a*n1=2，且an+1-5n+1=2(an-5n)，求数列an的通项公式； 8. 已知数列a=2，且an+1*n满足a1n+1+5´2+2=3(an+5´2n+2)，求数列an的通项公式； 12.数列已知数列a1n满足a1=2,an=4an-1+1(n>1).则数列an的通项公式= 累加法 1、累加法 适用于：an+1=an+f(n) 两边分别相加得 an+1-a1=åf(n) k=1例：1.已知数列a11n满足a1=2,an+1=an+4n2-1，求数列an的通项公式。 2. 已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。 3. 已知数列an满足an+1=an+2´3n+1，a1=3，求数列an的通项公式。 4. 设数列an满足a1=2，a2n-1n+1-an=3×2，求数列an的通项公式 累乘法 适用于： an+1=f(n)an 若an+1aa=f(n)，则a2=f(1)，3=f(2)，an+1na1a2a=f(n) n两边分别相乘得，ann+1a=a1×Õf(k) 1k=1例：1. 已知数列ann满足an+1=2(n+1)5´an，a1=3，求数列an的通项公式。 2.已知数列an满足a1=23，a=nn+1n+1an，求an。 3.已知a1=3，an+1=3n-13n+2an (n³1)，求an。 待定系数法 适用于an+1=qan+f(n) 解题基本步骤： 5 1、确定f(n) 2、设等比数列a n+l1f(n)，公比为 3、列出关系式an+1+l1f(n+1)=l2an+l2f(n) 4、比较系数求l1，l2 5、解得数列a五、数列求和 n+l1f(n)的通项公式 1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 6、解得数列an的通项公式 Sn(a+an-1)ìna1(q=1)1n)n(d Sïnn=2=na1+2n=ía1(1-q)ïî1-q(q¹1) 公比含字母时一定要讨论 例：1. 已知数列an中，a1=1,an=2an-1+1(n³2)，求数列an的通项公式。 2.在数列a(理)无穷递缩等比数列时，S=a1n中，若a1=1,an+1=2an+3(n³1)，则该数列的通项an=_ 1-q 3.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nÎN*).求数列an的通项公式； 例：1.已知等差数列an满足a1=1,a2=3，求前n项和Sn 2. 等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n= A9 B10 C11 D12 3.已知等比数列an满足a1=1,a2=3，求前n项和Sn 递推公式中既有S4.设f(n)=2+24+27+210+23n+10(nÎN)，则f(n)等于 n A.2(8n-1) B.2(8n+1-1) C.2(8n+3D.2n+4777-1) 7(8-1) 分析：把已知关系通过aìS1,n=1n=í转化为数列 îSn-San或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。n-1,n³2 1.数列a1 n的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=3Sn，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an 的通项公式 2错位相减法求和：如：an等差,bn等比,求a1b1+a2b2+L+anbn的和.2.已知数列a例：1求和Sn的首项an=1+2x+3x2+nxn-1 1=5,前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5(nÎN*)，证明数列an+1是等比数列 2.求和：S123n=4. 已知数列a1a+a+aL+n23+an n的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn=6(an+1)(an+2)，且a2,a4,9a成等比数列，求数列an的 通项公式。 3.设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 6 求an，bn的通项公式；求数列ìíanübý的前n项和Sn înþ3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：1n(n+1)=1n-1n+1 1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1) 11111111n(n+2)=2(n-n+2)+2)=2n(n+1)-(n+1)(n+2) n(n+1)(n n×n!=(n+1)!-n! n(n+1)!=1n!-1(n+1)!Ci-1iin-1=Cn-Cn-1数列aì1ün是等差数列，数列íý的前n项和 îanan+1þ例：1.数列a的前n项和为S1nn，若an=n(n+1)，则S5等于 A1 B56 C16 D130 2.已知数列a1n的通项公式为an=n(n+1)，求前n项的和； 4.已知数列an+11n的通项公式为an2，设T11n=a+1×a3a2×a+a，求Tn 4n×an+25求1+11+2+11+2+3+11+2+3+4+L+11+2+3+L+n,(nÎN*)。 6已知a>0,a¹1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=an×lgan(nÎN)，求数列bn的前n项和Sn。 3.已知等差数列an满足a2=0, a6+a8=-10. (1)求数列an的通项公式及Sn 求数列an2n-1的前n项和 5.设数列an满足a1=2，an-1n+1-an=3×22 求数列an的通项公式 令bn=nan，求数列bn的前n项和Sn 7.已知等差数列an满足：a3=7,a5+a7=26，an的前n项和Sn求an及Sn 令bn=1a2，求数列bn前n项和Tn n-18已知数列an中，a1=3，前n和S1n=2(n+1)(an+1)-1 求证：数列an是等差数列 求数列an的通项公式 7