数列求和的常用方法.docx
数列求和的常用方法专题2：数列求和的常用方法 数列求和问题，一般从观察数列通项公式出发，根据通项的特征选择合适的方法。 一、公式法 练习1. 已知数列an,bn满足a1=b1=1，a2=-b2，an+2+an=2an+1，bn+1=2bn. 求数列an，bn的前n项和. 二、分组求和法 求1+11+111+L+11112L31之和. n个1解：由于 111L11231=k1-1) ， k个19´99942L439=1k个19(10 1+11+111+L+111112L31(101-1)+1(102-1)+131nn个1999(10-1)+L+9(10-1) n1(101+102+L+10n)-1(1+1+L+1)1×10(10-1)-n1n+19914243(10-10-9n) n个1910-1981练习2.求数列2141，614，816，L，2n+12n+1，L的前n项和Sn 小结：在数列求和时，要认真观察通项公式是否能拆分成等差数列或等比数列之和。 三、错位相减法 形如anbn的数列求和问题，可用此法. 求数列2462n2,2,3,L,n,L前n项的和. 222解：设Sn=22+46+2n22+23+L2n 124622S=nn22+23+24+L+2n+1 1 得(1-12)S222222n12nn=2+22+23+24+×××+2n-2n+1=2-2n-1-2n+1 Sn+2n=4-2n-1练习3.已知a1n=n×22n-，求数列an的前n项和. 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列bn的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和公式求和. 四、裂项相消法 裂项法的实质是将数列中的通项写成两项之差，求和能消去一些项。 通项分解如：12n(n+k)=1k(1n-1n+k) (2n)(2n-1)(2n+1)=1+12(12n-1-12n+1) (3)k1n+1)-nn+k+n=n+k-n (4) n+2n(n+1)×2n=2(n(n+1)×12n=1n×2n-1-1(n+1)2n. 在数列a1n中，an=n+1+2n+1+L+nn+1，b2n=a，求数列bn的前n项和. n×an+1解: a1n=n+1+2n+1+L+nn+1=n2， bn=211nn+1=8(n-n+1) 2×2 S1n=8(1-2)+(12-13)+(13-14)+L+(1n-1n+1)8(1-18nn+1)n+1 练习4：等差数列a1n满足：a3=7，a5+a7=26，bn=a2bn的前n项和n-1，求数列 2 求数列1,1,L,1,L的前n项和. 1+22+3n+n+1解: 设 a1n=n+1-n, n+n+1则 Sn=1+1+L+1 1+22+3n+n+1 (2-1)+(3-2)+L+(n+1-n)n+1-1 五、倒序相加法 222求12212+102+22+92+332+82+L+10102+12的和 分析：由于数列的第k项与倒数第k项的和为常数1，故采用倒序相加法求和 2解：设S=1232212+102+222+92+32+82+L+10102+12102928212则S=102+12+22+92+32+82+L+102+12 两式相加，得 2S=1+1+L+1=10，S=5 练习5：求cos1°cos2°cos3°cos178°cos179°的值. 小结：对某些具有对称性的数列，可用此法. 六、并项求和法 已知ann=(-1)×n2，求数列an的前n项和. 解：当n为偶数时， S222222n(n+1)n=(2-1)+(4-3)+(6-5)+L+n2-(n-1)2=1+2+3+4+L+n=2 当n为奇数时， S=(22-12)+(42-32)+(62-52)+L+(n-1)2-(n-2)2-n2n-1)2n=n(2-n=-n(n+1)2练习6. 求Sn=-1+3-5+7-L+(-1)n(2n-1)的值(-1)n×n 练习： 3 1.已知数列a-1，则a2222n的前项和Sn=2n1+a2+a3+L+an_. 2. 数列1,(1+2),(1+2+22),L,(1+2+22+L+2n-1),L的前n项和Sn= 3.12,322,523,L,2n-12n,L;的前n项和为_. 4.11´4+1L+14´7+(3n-2)´(3n+1)= . 5.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，数列bn中，b1=1，点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。 求数列an和bn的通项公式； 记Tn=a1b1+a2b2+.+anbn，求满足Tn<167的最大正整数n. 4 专题2：数列求和的常用方法 数列求和问题，一般从观察数列通项公式出发，根据通项的特征选择合适的方法。 一、公式法 练习1. 已知数列an,bn满足a1=b1=1，a2=-b2，an+2+an=2an+1，bn+1=2bn. 求数列an，bn的前n项和. 二、分组求和法 求1+11+111+L+11112L31之和. n个1解：由于 11112L31=19´999142L439=1(10k-1) ， k个1k个19 1+11+111+L+111L12n12319(101-1)+1n个19(10-1)+19(103-1)+L+19(10-1) n1(1012+L+10n)-1(1+1+L1×10(10-1)-n1n+19+10914243+1)(10-10-9n) n个1910-1981练习2.求数列2141，614，816，L，2n+12n+1，L的前n项和Sn 解：S(2+4+6+L+2n)+æ1111ö11n=çè22+23+24+L+2n+1÷=n(n+1)+-ø22n+1 小结：在数列求和时，要认真观察通项公式是否能拆分成等差数列或等比数列之和。 三、错位相减法 形如anbn的数列求和问题，可用此法. 求数列22,462n2,3,L,n,L前n项的和. 222解：设S2n=2+462n22+23+L+2n 12462S=22+2nn2+324+L+2n+1 得(1-11n+22)S2222+2222n2nn=+223+24+×××+2n-2n+1=2-2n-1-2n+1, Sn=4-2n-1. 5 练习3.已知a2n-1n=n×2，求数列an的前n项和. 解: sn=1·2+2·23+3·25+L+n·22n-1 从而 22sn=1·23+2·25+3·27+L+n·22n+1 -得 (1-22)s35n=2+2+2+L+22n-1-n·22n+1即 Sn+1n=19éë(3n-1)22+2ùû 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列bn的公比；将两个等式相减； 利用等比数列的前n项和公式求和. 四、裂项相消法 裂项法的实质是将数列中的通项写成两项之差，求和能消去一些项。 通项分解如： 12n(n+k)=1k(1n-1n+k) (2n)111(2n-1)(2n+1)=1+2(2n-1-2n+1) (3)k (4) n+2n11. n+k+n=n+k-nn(n+1)×12(n+1)-2n=n(n+1)×12n=n×2n-1-(n+1)2n在数列a1n中，an=n+1+2n+1+L+nn+1，b2n=a×a，求数列bn的前n项和. nn+1解: a1n=n+1+2n+1+L+nn+1=n2， bn=211nn+1=8(n-n+1) 2×2 S111111118n=8(1-2)+(2-3)+(3-4)+L+(n-n+1)8(1-nn+1)n+1 练习4：等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，b1n=2an-1，求数列bn的前n项和 解：设等差数列an的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有 ìa1+2d=7í10d=26，解得a1=3,d=2，所以an=3+2求数列an和bn的通项公式； 记Sn=a1b1+a2b2+L+anbn，求满足Sn<167的最大正整数n. 解： Sn=2an-2, 当n³2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2) 即an=2an-2an-1 ， an¹0 , ana=2(n³2,nÎN*)即数列an是等比数列. n-1 aan1=S1 , 1=2a1-2, 即a1=2. an=2. 点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上, bn-bn+1+2=0, bn+1-bn=2. 即数列bn是等差数列，又b1=1, bn=2n-1 . S1´2+3´22+5´23+L+(2n-1)×2nn=a1b1+a2b2+L+anbn= 2S223+L+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1n=1´2+3´ 得-S22´23+L+2´2n)-(2n-1)×2n+1n=1´2+(2´2+ 即-S=1´2+(23+24+L+2n+1)-(2n-1)×2n+1n S×2n+1n=(2n-3)+6, Sn-3)×2n+1n<167 即(2+6<167 于是(2n-3)×2n+1<161,又由于当n=4时，(2n-3)×2n+1=160 当n=5时，(2n-3)×2n+1=448故满足条件Sn<167最大的正整数n为4. 8
