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数值分析课程第五课后习题答案 第一章 绪论 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： *=385.6，x4=7´1.0。 x1=1.1021，x2=0.031，x3=56.430，x5*=385.6有4=1.1021有5位有效数字；x2=0.0031有2位有效数字；x3解x1*=7´1.0有2位有效数字。 =56.430有5位有效数字；x5位有效数字；x4*,x2,x3,x44、利用公式求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给的数。 *+x2+x4x1； æ¶fö*÷e*(x1+x2+x4)=åçe(x)=e(x)+e(x)+e(x)k124ç¶x÷k=1èkø解； 111=´10-4+´10-3+´10-3=1.05´10-3222n*x3； x1*x2*æ¶f*e*(x1x2x3)=åççk=1è¶xknö*÷e(x)=(xx)e(x)+(xx)e(x)+(xx)e(x)k231132123÷ø*解=(0.031´385.6)1´10-4+(1.1021´385.6)1´10-3+(1.1021´0.031)1´10-3； 222=0.59768´10-3+212.48488´10-3+0.01708255´10-3=213.09964255´10-3=0.21309964255*/x4x2。 æ¶f*e*(x2/x4)=åççk=1è¶xkn*öx21*÷e(x)=e(x)+e(x)k24*2÷x4(x4)ø*解=110.031156.4611-3-3。 ´´10-3+´´10=´´102256.430222(56.430)(56.430)56.4611-3-5=´´10»0.88654´10(56.430)221783(n=1,2,L)计算到Y100，若取1006、设Y0=28，按递推公式Yn=Yn-1-783»27.982试问计算Y100将有多大误差？ 解令Yn表示Yn的近似值，e*(Yn)=Yn-Yn，则e*(Y0)=0，并且由 11´783可知， ´27.982，Yn=Yn-1-1001001Yn-Yn=Yn-1-Yn-1-´(27.982-783)，即 10012从e*(Yn)=e*(Yn-1)-´(27.982-783)=e*(Yn-2)-´(27.982-783)=L，100100Yn=Yn-1-而e*(Y100)=e*(Y0)-(27.982-783)=783-27.982， 而783-27.982£1 18、当N充分大时，怎样求ò解因为òN+1NN+1N11´10-3，所以e*(Y100)=´10-3。 221dx？ 1+x21dx=arctan(N+1)-arctanN，当N充分大时为两个相近数相21+x减，设a=arctan(N+1)，b=arctanN，则N+1=tana，N=tanb，从而 tan(a-b)=tana-tanb(N+1)-N1=2， 1+tanatanb1+N(N+1)N+N+1因此òN+1N11。 dx=a-b=arctan221+xN+N+111、序列yn满足递推关系yn=10yn-1-1(n=1,2,L)，若y0=2»1.41，计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ ìïy=2解设yn为yn的近似值，e*(yn)=yn-yn，则由í0与 ïîyn=10yn-1-1ìy0=1.411*可知，e(y)=´10-2，yn-yn=10(yn-1-yn-1)，即 í02îyn=10yn-1-1e*(yn)=10e*(yn-1)=10ne*(y0)， 11从而e*(y10)=1010e*(y0)=1010´´10-2=´108，因此计算过程不稳定。 2212、计算f=(2-1)6，取2»1.4，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？1(2+1)6，(3-22)3，1(3+22)3，99-702。 解因为e*(f)=11， ´10-1，所以对于f1=62(2+1)611-1-4´´10=6.54´10<´10-2，有一位有效数字； 722(1.4+1)¢e*(f1)=f1e*(1.4)=对于f2=(3-22)3， 11¢e*(f2)=f2e*(1.4)=6(3-2´1.4)2´´10-1=0.12´10-1<´10-1，没有有效数22字； 对于f3=1(3+22)3， 611-1-3´´10=2.65´10<´10-2，有一位有效数422(3+2´1.4)¢e*(f3)=f3e*(1.4)=字； 11¢对于f4=99-702，e*(f4)=f4e*(1.4)=70´´10-1=35´10-1<´101，没有22有效数字。 第二章 插值法 4、设xjn(j=0,1,L,n)为互异节点，求证： kl(x)ºx1）åxkjjj=0n(k=0,1,L,n)； 2）å(xj-x)klj(x)ºxkj=0(k=1,2,L,n)； 解1）因为左侧是xk的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。 2）设f(y)=(y-x)k，则左侧是f(y)=(y-x)k的n阶拉格朗日多项式，令y=x，即得求证。 15、设f(x)ÎC2a,b且f(a)=f(b)=0，求证maxf(x)£(b-a)2maxf¢¢(x)。 a£x£ba£x£b8解见补充题3，其中取f(a)=f(b)=0即得。 6、在-4£x£4上给出f(x)=ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解由题意可知，设x使用节点x0=x1-h，x1，x2=x1+h进行二次插值，则R2(x)=f¢¢¢(x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)3!插值余项为=ex-(x1-h)(x-x1)x-(x1+h),xÎ(x0,x2)6x， 令f(x)=x-(x1-h)(x-x1)x-(x1+h)=x3-3x1x2+(3x12-h2)x+x1(x12-h2)，则f¢(x)=3x2-6x1x+(3x12-h2)，从而f(x)的极值点为x=x1±333233h×(1+)h×(1-)h=h，而 33393h，故3x0£x£x2maxf(x)=exe42333e43R2(x)£maxf(x)£h=h，要使其不超过10-6，则有 6x0£x£x269273e43h£10-6，即h£27746243e23.4863-2´10»´10-2=0.472´10-2。 27.389e017f(8)(x)0=0。8、f(x)=x+x+3x+1，求f2,2,L,2，f2,2,L,2= 8!8!018f(7)(x)7!=1，f20,21,L,28。 解f2,2,L,2=7!7!01712、若f(x)=a0+a1x+L+an-1xn-1+anxn有n个不同实根x1,x2,L,xn，证明 åj=1n0£k£n-2ì0,=í-1。 ¢f(xj)îan,k=n-1nxkj证明由题意可设f(x)=an(x-x1)(x-x2)L(x-xn)=anÕ(x-xi)，故 i=1f¢(xj)=anÕ(xj-xi)，再由差商的性质1和3可知： i=1i¹jnåf¢(xj=1nxkjj)=åj=1nxkjanÕ(xj-xi)i=1i¹jn1k1(xk)(n-1)=xx1,L,xn=，从而得证。 anan(n-1)!15证明两点三次埃尔米特插值余项是 ( R3(x)=f4)x(-xkx2)-(xk+1x2)x/Î4!,kx+( ,k1x)解： 若xÎxk,xk+1，且插值多项式满足条件 ¢(xk)=f¢(xk) H3(xk)=f(xk),H3¢(xk+1)=f¢(xk+1) H3(xk+1)=f(xk+1),H3插值余项为R(x)=f(x)-H3(x) 由插值条件可知R(xk)=R(xk+1)=0 且R¢(xk)=R¢(xk+1)=0 R(x)可写成R(x)=g(x)(x-xk)2(x-xk+1)2 其中g(x)是关于x的待定函数， 现把x看成xk,xk+1上的一个固定点，作函数 j(t)=f(t)-H3(t)-g(x)(t-xk)2(t-xk+1)2 根据余项性质，有 j(xk)=0,j(xk+1)=0 j(x)=f(x)-H3(x)-g(x)(x-xk)2(x-xk+1)2=f(x)-H3(x)-R(x)=0¢(t)-g(x)2(t-xk)(t-xk+1)2+2(t-xk+1)(t-xk)2 j¢(t)=f¢(t)-H3j¢(xk)=0 j¢(xk+1)=0 由罗尔定理可知，存在xÎ(xk,x)和xÎ(x,xk+1)，使 j¢(x1)=0,j¢(x2)=0 即j¢(x)在xk,xk+1上有四个互异零点。 根据罗尔定理，j¢¢(t)在j¢(t)的两个零点间至少有一个零点， 故j¢¢(t)在(xk,xk+1)内至少有三个互异零点， 依此类推，j(4)(t)在(xk,xk+1)内至少有一个零点。 记为xÎ(xk,xk+1)使 j(4)(x)=f(4)(x)-H3(4)(x)-4!g(x)=0 又H3(4)(t)=0 f(4)(x)g(x)=,xÎ(xk,xk+1) 4!其中x依赖于x f(4)(x)R(x)=(x-xk)2(x-xk+1)2 4!分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k=0,1,n)，设步长为h，即 xk=x0+kh,k=0,1,n在小区间xk,xk+1上 f(4)(x)R(x)=(x-xk)2(x-xk+1)24! 1(4)R(x)=f(x)(x-xk)2(x-xk+1)24!1(x-xk)2(xk+1-x)2maxf(4)(x)a£x£b4!1x-xk+xk+1-x22£maxf(4)(x)a£x£b4!2114=´4hmaxf(4)(x)a£x£b4!2h4=maxf(4)(x)384a£x£b£x)1(=/17设f()x+2，在-5£x£5上取n=10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。 解： 若x0=-5,x10=5 则步长h=1, xi=x0+ih,i=0,1,10 f(x)=1 21+x在小区间xi,xi+1上，分段线性插值函数为 Ih(x)=x-xi+1x-xif(xi)+f(xi+1) xi-xi+1xi+1-xi11+(x-x) i1+xi21+xi+12 =(xi+1-x)各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为 当x=±4.5时，f(x)=0.0471,Ih(x)=0.0486 当x=±3.5时，f(x)=0.0755,Ih(x)=0.0794 当x=±2.5时，f(x)=0.1379,Ih(x)=0.1500 当x=±1.5时，f(x)=0.3077,Ih(x)=0.3500 当x=±0.5时，f(x)=0.8000,Ih(x)=0.7500 误差 h2maxf(x)-Ih(x)£maxf¢¢(x) xi£x£xi+18-5£x£51 21+x-2xf¢(x)=,(1+x2)2又f(x)=6x2-2f¢¢(x)=(1+x2)324x-24x3f¢¢¢(x)=(1+x2)4令f¢¢¢(x)=0 得f¢¢(x)的驻点为x1,2=±1和x3=0 1f¢¢(x1,2)=,f¢¢(x3)=-22 1maxf(x)-Ih(x)£-5£x£5418、求f(x)=x2在a,b上的分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。 解设将a,b划分为长度为h的小区间a=x0£x1£L£xn=b，则当xÎxk,xk+1，k=0,1,2,L,n-1时， Ih(x)=fklk+fk+1lk+1=x(x2k+12k22x-xk+1x-xkxk2+1(x-xk)-xk(x-xk+1)=x+xk+1=xk-xk+1xk+1-xkxk+1-xk2k2k+1k-x)+xx-xxk+1-xk2k+1kx=x(xk+1+xk)-xk+1xk从而误差为R2(x)=f¢¢(x)(x-xk)(x-xk+1)=(x-xk)(x-xk+1)， 2!h2故R2(x)=(x-xk)(x-xk+1)£。 419、求f(x)=x4在a,b上的分段埃尔米特插值，并估计误差。 解设将a,b划分为长度为h的小区间a=x0£x1£L£xn=b，则当xÎxk,xk+1，k=0,1,2,L,n-1时， Ih(x)=fkak+fk+1ak+1+fk¢bk+fk¢+1bk+1(x)4æx-xk+1öç=xkçx-x÷÷k+1øèk22æx-xkç1+2çxk+1-xkèö4æx-xk÷+x÷k+1ççx-xkøèk+12ö÷÷ø2æx-xk+1öç÷， 1+2ç÷xk-xk+1øè3æx-xk+1ö3æx-xkç÷ç4xk(x-x)+4xkk+1ççx-x÷k+1øèkèxk+1-xkö÷÷(x-xk+1)øf(4)(x)(x-xk)2(x-xk+1)2=(x-xk)2(x-xk+1)2， 从而误差为R2(x)=4!h4故R2(x)=(x-xk)(x-xk+1)£。 162220、给定数据表如下： xj 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 yj 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条函数S(x)，并满足条件： 1）S¢(0.25)=1.0000,S¢(0.53)=0.6868； 2）S¢¢(0.25)=S¢¢(0.53)=0。 解由h0=0.30-0.25=0.05，h1=0.39-0.30=0.09，h2=0.45-0.39=0.06，h3=0.53-0.45=0.08，及式lj=hjhj-1+hj,mj=hj-1hj-1+hj,(j=1,L,n-1)可知，l1=h1h20.0990.062=， ，l2=h0+h10.05+0.0914h1+h20.09+0.065l3=h30.084=， h2+h30.06+0.087h0h10.0550.093=， ，m2=h0+h10.05+0.0914h1+h20.09+0.065h20.063=， h2+h30.06+0.087m1=m3=由式gj=3(ljfxj-1,xj+mjfxj,xj+1)(j=1,Ln-1)可知， 9f(x1)-f(x0)5f(x2)-f(x1)g1=3(l1fx0,x1+m1fx1,x2)=3+14x1-x014x2-x190.5477-0.500050.6245-0.5477=3´(´+´)140.30-0.25140.39-0.309477576819279=3´(´+´)=2.754114500149007000g2=3(l2fx1,x2+m2fx2,x3)=32f(x2)-f(x1)3f(x3)-f(x2)+5x2-x15x3-x2。 。 20.6245-0.547730.6708-0.6245=3´(´+´)50.39-0.3050.45-0.39276834634´256+3´463=3´(´+´)=2.413590056001000g3=3(l3fx2,x3+m3fx3,x4)=34f(x3)-f(x2)3f(x4)-f(x3)+7x3-x27x4-x3。从而 40.6708-0.624530.7280-0.6708=3´(´+´)70.45-0.3970.53-0.45446334724´463+9´1181457=3´(´+´)=2.08147600780014007005éù209éùê14ú2.7541-´1.0000úé2.1112ùêúém1ùê14úê23úêúêú，解得 1）矩阵形式为：ê2m=2.413=2.4132êúêúê55úêúêú1.7871úêúêëûëm3úûê2.0814-3´0.6868úê4ê0ú27ëûêú7ëûém1ùé0.9078ùnêmú=ê0.8278ú，从而S(x)=ya(x)+mb(x)。 åjjjjê2úêúj=0êë0.6570úûëm3úûê2）此为自然边界条件，故 g0=3fx0,x1=3´f(x1)-f(x0)0.5477-0.5000477=3´=3´=2.862； x1-x00.30-0.25500f(xn)-f(xn-1)0.7280-0.6708572=3´=3´=2.145， xn-xn-10.53-0.45800gn=3fxn-1,xn=3´éê2êê9ê14ê矩阵形式为：ê0êêê0êêê0ën005201423255402740071ù0úú0úém0ùé2.862ùúêmúêú2.75411úêúêú0úêm2ú=ê2.413ú，可以解得úêúêú2.0814mú3úê3úêúêmúêú7úë4ûë2.145ûú2úûém0ùêmúê1úêm2ú，从而êúêm3úêmúë4ûS(x)=åyjaj(x)+mjbj(x)。 j=0补充题： 1、令x0=0，x1=1，写出y(x)=e-x的一次插值多项式L1(x)，并估计插值余项。 解由y0=y(x0)=e-0=1，y1=y(x1)=e-1可知， L1(x)=y0x-x0x-x1x-1-1x-0+y1=1´+e´x0-x1x1-x00-11-0， =-(x-1)+e-1x=1+(e-1-1)xf¢¢(x)e-x(x-x0)(x-x1)=x(x-1),xÎ(0,1)， 余项为R1(x)=2!2故R1(x)£1111´maxe-x´maxx(x-1)=´1´=。 0£x£120£x£12482、设f(x)=x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。 解由插值余项定理，有 R3(x)=f(4)(x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)4!4!(x+1)x(x-1)(x-2)=(x2-2x)(x2-1)=x4-2x3-x2+2x4!， 从而L3(x)=f(x)-R3(x)=x4-(x4-2x3-x2+2x)=2x3+x2-2x。 3、设f(x)在a,b内有二阶连续导数，求证： maxf(x)-f(a)+a£x£bf(b)-f(a)1(x-a)£(b-a)2maxf¢¢(x)。 a£x£bb-a8f(b)-f(a)(x-a)是以a，b为插值节点的f(x)的线性插值多项b-a式，利用插值多项式的余项定理，得到： f(b)-f(a)1f(x)-f(a)+(x-a)=f¢¢(x)(x-a)(x-b)，从而 b-a2证因为f(a)+f(b)-f(a)1(x-a)£maxf¢¢(x)×max(x-a)(x-b)a£x£ba£x£bb-a2a£x£b。 111=maxf¢¢(x)×(b-a)2=(b-a)2maxf¢¢(x)a£x£b2a£x£b48maxf(x)-f(a)+4、设f(x)=x7+5x3+1，求差商f20,21，f20,21,22，f20,21,L,27和f20,21,L,28。 解因为f(20)=f(1)=7，f(21)=f(2)=27+5´23+1=169， f(22)=f(4)=47+5´43+1=16705，所以f20,21=f(2)-f(1)=169-7=162，2-1f21,22=012f(4)-f(2)16705-169=8268， 4-22f21,22-f20,218268-162f2,2,2=2702， 2032-2f(7)(x)7!f(8)(x)0018f2,2,L,2=1，f2,2,L,2=0。 7!7!8!8!0175、给定数据表：i=1,2,3,4,5， xi 1 2 4 6 7 f(xi) 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 解 xif(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 5 4 0 61 6 1 41- 7 1 0 6由差商表可得4次牛顿插值多项式为： 1 2 4 1 -3 1- 21 2-7 601- 121 18057N4(x)=4-3(x-1)+(x-1)(x-2)-(x-1)(x-2)(x-4)6601+(x-1)(x-2)(x-4)(x-6)180，插值余项为 57=4-3(x-1)+(x-1)(x-2)-(x-1)(x-2)(x-4)6601+(x-1)(x-2)(x-4)(x-6)180f(5)(x)R4(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x-6)(x-7),xÎ(1,7)。 5!6、如下表给定函数：i=0,1,2,3,4， xi 0 1 2 3 4 f(xi) 3 6 11 18 27 试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。 解构造差分表： xifiDfi D2fi D3fi D4fi 0 1 2 3 4 3 6 11 18 27 3 5 7 9 2 2 2 0 0 0 t(t-1)2Df0+L2N4(x0+th)=f0+tDf0+由差分表可得插值多项式为：t(t-1)=3+3t+´2=3+3t+t(t-1)=t2+2t+32。第三章 函数逼近与计算 2.当f(x)=x时，求证Bn(f,x)=x 证明： 若f(x)=x，则 kBn(f,x)=åfPk(x) nk=0nkænö=åç÷xk(1-x)n-kk=0nèkønkn(n-1)(n-k+1)k=åx(1-x)n-kk!k=0nn=ån(n-1)(n-1)-(k-1)+1kx(1-x)n-k(k-1)!k=1n =æn-1ökn-kåç÷x(1-x)k=1èk-1ønæn-1ök-1(n-1)-(k-1)=xåç÷x(1-x)k=1èk-1ø=xx+(1-x)n-1=x4。计算下列函数f(x)关于C0,1的f¥,f1与f2： (1)f(x)=(x-1)3,xÎ0,11(2)f(x)=x-,2(3)f(x)=xm(1-x)n,m与n为正整数， (4)f(x)=(x+1)10e-x 解： (1)若f(x)=(x-1)3,xÎ0,1，则 f¢(x)=3(x-1)2³0 f(x)=(x-1)3在(0,1)内单调递增 f¥=maxf(x)0£x£1=maxf(0),f(1) =max0,1=1f¥=maxf(x)0£x£1=maxf(0),f(1) =max0,1=1f2=(ò(1-x)dx)0161211712=(1-x)07=771,xÎ0,1，则 2(2)若f(x)=x-ff¥=maxf(x)=0£x£11121=òf(x)dx011=2ò1(x-)dx221=4f21=(òf(x)dx)01212121=ò(x-)dx2023=6(3)若f(x)=xm(1-x)n,m与n为正整数 当xÎ0,1时,f(x)³0 f¢(x)=mxm-1(1-x)n+xmn(1-x)n-1(-1) n+mm-1n-1=x(1-x)m(1-x)mm)时,f¢(x)>0 n+mmf(x)在(0,)内单调递减 n+mm当xÎ(,1)时,f¢(x)<0 n+mmf(x)在(,1)内单调递减。 n+m当xÎ(0,xÎ(m,1)f¢(x)<0n+mf¥=maxf(x)=0£x£1ìmü =maxíf(0),fýn+mîþmmnn=(m+n)m+nf11=òf(x)dx01=òxm(1-x)ndx0p=ò2(sin2t)m(1-sin2t)ndsin2t 0p=ò2sin2mtcos2ntcost2sintdt0=n!m!(n+m+1)!f2=òx(1-x)dx04m4n212m2n1212p=ò2sin0tcostd(sint)12p=ò22sin4m+1tcos4n+1tdt0=(2n)!(2m)!2(n+m)+1!(4)若f(x)=(x+1)10e-x 当xÎ0,1时，f(x)>0 f¢(x)=10(x+1)9e-x+(x+1)10(-e-x)=(x+1)9e-x(9-x)>0f(x)在0,1内单调递减。 f¥=maxf(x)=0£x£1=maxf(0),f(1)210=ef=òf(x)dx10101=ò(x+1)10e-xdx=-(x+1)10e-x=5-f10e120-2x010+ò10(x+1)9e-xdx012=ò(x+1)edx1234=7(-2)4e6.对f(x),g(x)ÎCa,b，定义 1(1)(f,g)=òf¢(x)g¢(x)dxab(2)(f,g)=òf¢(x)g¢(x)dx+f(a)g(a)ab问它们是否构成内积。 解： (1)令f(x)ºC 则f¢(x)=0 而(f,f)=òbaf¢(x)f¢(x)dx 这与当且仅当fº0时，(f,f)=0矛盾 不能构成C1a,b上的内积。 (2)若(f,g)=òf¢(x)g¢(x)dx+f(a)g(a)，则 ab(g,f)=òg¢(x)f¢(x)dx+g(a)f(a)=(f,g),"aÎKab(af,g)=òaf(x)¢g¢(x)dx+af(a)g(a)ab=aòf¢(x)g¢(x)dx+f(a)g(a)ab=a(f,g)"hÎC1a,b,则 (f+g,h)=òf(x)+g(x)¢h¢(x)dx+f(a)g(a)h(a)ab=òf¢(x)h¢(x)dx+f(a)h(a)+òf¢(x)h¢(x)dx+g(a)h(a) aabb=(f,h)+(h,g)(f,f)=òf¢(x)2dx+f2(a)³0 ab若(f,f)=0，则 òbaf¢(x)2dx=0,且f2(a)=0 f¢(x)º0,f(a)=0 f(x)º0 即当且仅当f=0时，(f,f)=0. 故可以构成Ca,b上的内积。 8。对权函数r(x)=1-x，区间-1,1，试求首项系数为1的正交多项式jn(x),n=0,1,2,3. 解： 若r(x)=1-x，则区间-1,1上内积为 221(f,g)=òf(x)g(x)r(x)dx -11定义j0(x)=1，则 jn+1(x)=(x-an)jn(x)-bnjn-1(x) 其中 an=(xjn(x),jn(x)/(jn(x),jn(x)bn=(jn(x),jn(x)/(jn-1(x),jn-1(x)a0=(x,1)/(1,1)=òò1-11x(1+x2)dx(1+x2)dx-1=0j1(x)=xa1=(x2,x)/(x,x)=òò1-11x3(1+x2)dxx2(1+x2)dx-1=0b1=(x,x)/(1,1)ò=1-11x2(1+x2)dx(1+x2)dxò-1162=15=853j2(x)=x2-25a2=(x3-x,x2-)/(x2-,x2-)222555122322(x-x)(x-)(1+x)dxò-155=12222(x-)(x-)(1+x2)dxò-155=022b2=(x2-,x2-)/(x,x)55122222(x-)(x-)(1+x)dxò-155=122x(1+x)dxò-12513617=525=1670152179j3(x)=x3-x2-x=x3-x57014x14。求f(x)=e0,1在0,1上的最佳一次逼近多项式。 解： f(x)=ex,xÎ0,1f¢(x)=ex,f¢¢(x)=ex>0f(b)-f(a)=e-1b-aex2=e-1x2=ln(e-1)a1=f(x2)=ex2=e-1f(a)+f(x2)f(b)-f(a)a+x2-2b-a21+(e-1)ln(e-1)=-(e-1)221=ln(e-1)2a0=于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为 e1+(e-1)x-ln(e-1)221=(e-1)x+e-(e-1)ln(e-1)2P1(x)=15。求f(x)=x+3x-1在区间0,1上的三次最佳一致逼近多项式。 解： 43f(x)=x4+3x3-1,xÎ0,1 1211且x=t+ 22令t=2(x-)，则tÎ-1,1 1111f(t)=(t+)4+3(t+)3-1222214=(t+10t3+24t222t-9)16令g(t)=16f(t)，则g(t)=t+10t+24t+22t-9 *若g(t)为区间-1,1上的最佳三次逼近多项式P3(t)应满足 432maxg(t)-P3*(t)=min -1£t£1当g(t)-P3(t)=*114T(t)=(8t-8t2+1) 3428*时，多项式g(t)-P3(t)与零偏差最小，故 *3(t)=g(t)-1T4(t)2373=10t3+25t2+22t-8进而，f(x)的三次最佳一致逼近多项式为为 1*P3(t)，则f(x)的三次最佳一致逼近多项式1617310(2x-1)3+25(2x-1)2+22(2x-1)-16851129=5x3-x2+x-44128P3*(t)=15。f(x)=sin解： p2x，在-1,1上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。 f(x)=sinp2x,xÎ-1,1 按勒让德多项式P0(x),P1(x),P2(x),P3(x)展开 -1(f(x),P0(x)=òsinxdx=cosx=0-12p211p2p(f(x),P1(x)=òxsin-11p2xdx=8131(f(x),P2(x)=ò(x2-)sinxdx=0-1222153p48(p2-10)3(f(x),P3(x)=ò(x-x)sinxdx=-1222p4p2p则 *a0=(f(x),P0(x)/2=0*a1=3(f(x),P1(x)/2=12p2168(p2-10)*a2=5(f(x),P2(x)/2=0a=7(f(x),P3(x)/2=*3p4从而f(x)的三次最佳平方逼近多项式为 *S3(x)=a0P0(x)+a1P1(x)+a2P2(x)+a3P3(x)168(p2-10)533=2x+(x-x)pp422420(p2-10)3120(21-2p2)=x+4412pp»1.5531913x-0.5622285x318。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 时间t 浓度0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64 y(´10-4) 用最小二乘法求y=f(t)。 解： 观察所给数据的特点，采用方程 y=ae,(a,b>0) 两边同时取对数，则 -btblny=lna- t取F=spaní1,-ý,S=lny,x=- 则S=a+bx *ìî1ütþ1tj02=11,j12=0.062321,(j0,j1)=-0.603975,(j0,f)=-87.674095,(j1,f)=5.032489,则法方程组为 2211-0.603975öæa*öæ-87.674095öæç÷ççb*÷÷=ç5.032489÷ -0.6039750.062321èøèøèø从而解得 ìa*=-7.5587812ï í*ïîb=7.4961692