数值分析5非线性方程求根习题课.docx

数值分析5非线性方程求根习题课非线性方程求根 é1ùxÎ,1ú，由不动一、证明：对任意初始值0êë3û点迭代xk+1=2-xk，k=0,1,2,产生的序ëûé1ù-xx列k都收敛于方程x=2在ê3,1ú的唯一根p。 若要求p的近似值的误差不超过102，试估计迭代次数。 -xk-xx=jx=2jx=2()()解：由k+1知迭代函数 k-4对xÎ1/3,1，有 j(x)Îéëj(1),j(1/3)ùû=0.5,0.7937Ì1/3,1 另外有 j¢(x)=-2-xln2£2-1/3ln2=0.5501<1 由定理得本题证明部分。 -4x为使解p的近似值k的误差不超过10，根据误差估计式： Lkxk-p£x1-x0, 1-LLk-4x-x<10令 1-L10，得k应取为 x1-x0-4ln10-ln1-L»11.22k> lnL取k=12可使近似解的误差不超过10 二、证明： 设j(x)在a,b上连续可微，且0<j¢(x)<1，*x¹xxÎa,bx=j(x)在a,b上有根x，0，但0，*-4则由 xk+1=j(xk),k=0,1,2. *产生的迭代序列xk单调收敛于x。 *x=jxx=jxa,b()x()，证明：因为在上有根，故有*x设<x0£b，则由 *x1-x*=j(x0)-j(x*)=j¢(x0)x0-x ()及0<j¢(x)<1知 0<x1-x<x0-x 于是 *x*<x1<x0 ¥x同理可得x<x2<x1,L,x<xk+1<xk，因而kk=0 *xk存在，记为x。 单调下降并以x*为下界，所以limk®¥由0<j¢(x)<1知方程在a,b内的根是唯一的，显然有xk=x* x=x*。所以 limk®¥'f(x)0<m£f(x)£M，x任意，三、设函数的导数满足且f(x)=0的根存在，证明： 任取lÎ(0,2)，迭代格式xk+1M=xk-lf(xk) *x对任意初值0均收敛于f(x)=0的根x。 证明：由题意可取定义域为R。 由于f'(x)>0，f(x)为单调函数，又f(x)=0的*f(x)=0根存在，所以方程的根x是唯一的。 由迭代格式xk+1=xk-lf(xk)可以得到迭代函数 j(x)=x-lf(x)和|j'(x)|=|1-lf'(x)|。 2又0<m£f(x)£M及0<l<M得 '0<lm£lf'(x)£lM<2 所以有 -1<1-lM£1-lf'(x)£1-lm<1 故 |j'(x)|£L=max|1-lm|,|1-lM|<1 此外，显然有"xÎRÞj(x)ÎR 由定理知迭代 xk=xk-1-lf(xk-1)=j(xk-1) 对任意初值x0均收敛于f(x)=0的根x*。