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数值分析简明教程第二习题答案24页全解word数值分析简明教程第二版习题答案24页全解 0.1算法 1、用二分法求方程x3-x-1=0在1,2内的近似根，要求误差不超过10-3. 由二分法的误差估计式|x*-xk|£2k+1³1000.两端取自然对数得k³b-a1-3，得到=£e=10k+1k+1223ln10-1»8.96，因此取k=9，即至少需ln2二分9次.求解过程见下表。 k ak bk xk f(xk)符号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 1.5 + x2、证明方程f(x)=e+10x-2在区间0,1内有唯一个实根；使用1二分法求这一实根，要求误差不超过´10-2。 2 由于f(x)=ex+10x-2，则f(x)在区间0,1上连续，且f(0)=e0+10´0-2=-1<0，f(1)=e1+10´1-2=e+8>0，即f(0)×f(1)<0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间0,1上至少有一个零点. 又f'(x)=ex+10>0，即f(x)在区间0,1上是单调的，故f(x)在区间0,1内有唯一实根. b-a11由二分法的误差估计式|x*-xk|£k+1=k+1£e=´10-2，得到2k³100.2222ln10两端取自然对数得k³»2´3.3219=6.6438，因此取k=7，即至少需二分ln27次.求解过程见下表。 k ak bk xk f(xk)符号 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 0.5 0.2误差 1已知e=2.71828，试问其近似值x1=2.7，x2=2.71，x2=2.71，x3=2.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 有效数字： 1´10-1，所以x1=2.7有两位有效数字； 21因为|e-x2|=0.00828K<0.05=´10-1，所以x2=2.71亦有两位有效数字； 21因为|e-x3|=0.00028K<0.0005=´10-3，所以x3=2.718有四位有效数字； 2因为|e-x1|=0.01828K<0.05=er1=|e-x1|0.05<=1.85%； x12.7|e-x2|0.05<=1.85%； x22.71|e-x3|0.0005<=0.0184%。 x32.718er2=er3=评 经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； 近似数的所有数字并非都是有效数字. 2设x1=2.72，x2=2.71828，x3=0.0718均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。 e1=0.005，er1=e1x1<0.005»1.84´10-3； 2.72<0.000005»1.84´10-6； 2.71828e2=0.000005，er2=e2x2e3=0.00005，er3=e3x3<0.00005»6.96´10-4； 0.0718评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3已知x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184´10-4的绝对误差限均为0.5´10-2，问它们各有几位有效数字？ 由绝对误差限均为0.5´10-2知有效数字应从小数点后两位算起，故x1=1.42，有三位；x2=-0.0184有一位；而x3=184´10-4=0.0184，也是有一位。 1.1泰勒插值和拉格朗日插值 1、求作f(x)=sinx在节点x0=0的5次泰勒插值多项式p5(x)，并计算p5(0.3367)和估计插值误差，最后将p5(0.5)有效数值与精确解进行比较。 由f(x)=sinx，求得f(1)(x)=cosx；f(2)(x)=-sinx；f(3)(x)=-cosx；f(4)(x)=sinx；f(5)(x)=cosx；f(6)(x)=-sinx，所以 f(2)(x0)f(5)(x0)2p5(x) =f(x0)+f(x0)(x-x0)+(x-x0)+L+(x-x0)5 2!5!f(2)(0)2f(5)(0)5(1)=f(0)+f(0)x+x+L+x 2!5!11 =x-x3+x5 3!5!|f(6)(x)|sin(x)|1(x-x0)6=(x-x0)6£x6，若x=0.5，则 插值误差：R5(x)=6!6!6!0.336730.33675p5(0.3367)=0.3367-+»0.3303742887，而3!5!0.33676R5(0.3367)»»2.02´10-6<0.5´10-5，精度到小数点后5位， 6!故取p5(0.3367)=0.33037，与精确值f(0.3367)=sin(0.3367)=0.330374191L相比(1)较，在插值误差的精度内完全吻合！ 2、给定节点x0=-1,x1=1,x2=3,x3=4，试分别对下列函数导出拉格朗日余项： f(x)=4x-3x+2； f(x)=x-2x 433f(4)(x)3依题意，n=3，拉格朗日余项公式为 R3(x)=Õ(x-xi) 4!i=0f(4)(x)=0R3(x)=0； (4)因为f(x)=4!，所以 f(4)(x)R3(x)=(x+1)(x-1)(x-3)(x-4)=(x+1)(x-1)(x-3)(x-4) 4!3、依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367)的近似值并估计误差。 i 0 0.32 0.314567 1 0.34 0.333487 2 0.36 0.352274 xi sin(xi) f(4)(x)3(x-xi) 依题意，n=3，拉格朗日余项公式为 R3(x)=Õ4!i=0 线性插值 因为x=0.3367在节点x0和x1之间，先估计误差 R1(x)=max(x-x0)(x1-x)f''(x)sin(x)(x-x0)(x-x1)=(x-x0)(x1-x)£ 2!220.0121£=´104；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。 22y(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)0P1(x) =x0x1xx-x0x-x11(x-x0)sin(x1)+(x1-x)sin(x0) sin(x0)+sin(x1)=x0-x1x1-x0x1-x0P1(x) =1(0.3367-0.32)sin(0.34)+(0.34-0.3367)sin(0.32) 0.0210.0167´sin(0.34)+0.0033´sin(0.32) =0.02»0.3304 抛物线插值 插值误差： R2(x) =f'''(x)-cos(x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)=(x-x0)(x1-x)(x-x2) 3!6max(x-x0)(x1-x)(x2-x)3´0.0131£»=´10-6 662yy=(x-x0)(x-x1)(x-x2)Max=3(x1-x0)3/80抛物线插值公式为： x0x1x2xP2(x) =(x-x0)(x-x2)(x-x1)(x-x0)(x-x1)(x-x2)sin(x0)+sin(x1)+sin(x2) (x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x1)(x2-x0)(x1-x)(x-x0)1é(x1-x)(x2-x)ùsin(x)+(x-x)(x-x)sin(x)-sin(x)00212ú220.022êëû=P2(0.3367) 10-53.8445´sin(0.32)+38.911´sin(0.34)-2.7555´sin(0.36) =0.02210-53.8445´sin(0.32)+38.911´sin(0.34)-2.7555´sin(0.36)=0.33037439L =20.02经四舍五入后得：P2(0.3367)=0.330374，与sin(0.3367)=0.330374191L精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！ 1.3分段插值与样条函数 ìx3+x21、设分段多项式 S(x)=í32î2x+bx+cx-1是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值. 依题意，要求S(x)在x=1节点 函数值连续： 0£x£11£x£2S-(1)=13+12=2´13+b´12+c´1-1=S+(1)， (1) 即：b+c=1'22'一阶导数连续： S-(1)=3´1+2´1=6´1+2´b´1+c=S+(1)， (2) 解方程组和，得b=-2,即：2b+c=-1c=3，即 导数亦连续。 ìx3+x20£x£1S(x)=í3 21£x£2î2x-2x+3x-1''''由于S-(1)=3´2´1+2=6´2´1-2´2=S+(1)，所以S(x)在x=1节点的二阶2、已知函数y=1的一组数据，x0=0,x1=1,x2=2和y0=1,y1=0.5,y2=0.2，1+x2求其分段线性插值函数； 计算f(1.5)的近似值，并根据余项表达式估计误差。 依题意，将x分为0,1和1,2两段，对应的插值函数为S1(x)和S2(x)，利用拉格朗日线性插值公式，求得 S1(x)=x-x0x-x1x-1x-0y0+y1=´1+´0.5=-0.5x+1； x0-x1x1-x00-11-0x-x2x-x1x-2x-1y1+y2=´0.5+´0.2=-0.3x+0.8 x1-x2x2-x11-22-11S2(1.5)=-0.3´1.5+0.8=0.35，»0.30769230769L，而 1+1.52S2(x)=f(1.5)=实际误差为：|f(1.5)-S2(1.5)|=0.0423L£0.05。 由f(1)-2x(x)=,(1+x2)2f(2)-2(1-3x2)(x)=,(1+x2)3f(3)24x(1-x2)(x)=,可(1+x2)4知M2=f(2)(1)=0.5，则余项表达式 M|f(2)(x)|R(x)=|(x-1)(x-2)|£2´0.52=0.54=0.0625£0.5 2!2!1.4 曲线拟合 1、用最小二乘法解下列超定方程组： ì2x+4y=11ï3x-5y=3ï íx+2y=6ïïî2x+y=7 Q(x,y)=(2x+4y-11)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(2x+y-7)2， 构造残差平方和函数如下： 分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零： ¶Q(x,y)=0： 6x-y=17¶x¶Q(x,y)=0： -3x+46y=48¶y解方程组和，得 (1)， (2)， 6´48+3´17»1.24176 2732x=46´17+48»3.04029,273y=2、用最小二乘法求形如y=a+bx的多项式，使之与下列数据相拟合。 令X=x2，则y=a+bX为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得 555ì25a+båXi=5a+båxi=åyi(1)ïïi=1i=1i=1í555555224ïaåXi+båXi=aåxi+båxi=åXiyi=åxi2yiïi=1i=1i=1i=1i=1îi=1 ； (2) 依据上式中的求和项，列出下表 xi 19 25 31 38 44 yi 19 32.3 49 73.3 97.8 Xi(=xi2) 361 625 961 1444 1936 Xi2(=xi4) 130321 390625 923521 2085136 3748096 Xiyi(=xi2yi) 6859 20187.5 47089 105845.2 189340.8 157 271.4 (1)5327 7277699 369321.5 将所求得的系数代入方程组和，得 5a0+5327b=271.4ìíî5327a0+7277699b=369321.5a=(2)271.4´7277699-369321.5´53277791878.1=»0.97258； 5´7277699-5327´53278011566b=5´369321.5-5327´271.4400859.7=0.05004； 5´7277699-5327´532780115662即：y=0.97258+0.05004x。 2.1 机械求积和插值求积 1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度： (1)òf(x)dx»A0f(-h)+A1f(0)+A2f(h)； -hh1113(2)òf(x)dx»A0f+A1f+A2f； 042411 (3)òf(x)dx»f(0)+A0f(x0)。 042 令f(x)=1,x,x时等式精确成立，可列出如下方程组： ì(1)ïA0+A1+A2=2hï(2) í-A0+A2=0ï2A+A=h(3)2ï03îhh4h 解得：A0=A2=,A1=h，即：òf(x)dx»f(-h)+4f(0)+f(h)，可以-h33334验证，对f(x)=x公式亦成立，而对f(x)=x不成立，故公式具有3次代数精度。 令f(x)=1,x,x时等式精确成立，可列出如下方程组： 2ìA0+A1+A2=1ïíA0+2A1+3A2=2ï3A+12A+27A=1612î0(1)(2) (3)1211113解得：A0=A2=,A1=-，即：òf(x)dx»2f-f+2f，可以033342434验证，对f(x)=x公式亦成立，而对f(x)=x不成立，故公式具有3次代数精度。 3ìA=ï04令f(x)=1,x时等式精确成立，可解得：í 2ïx0=3î11322即：òf(x)dx»f(0)+f，可以验证，对f(x)=x公式亦成立，而对0443f(x)=x3不成立，故公式具有2次代数精度。 1132、给定求积节点x0=,x1=,试构造计算积分I=òf(x)dx的插值型044求积公式，并指明该求积公式的代数精度。 依题意，先求插值求积系数： 311x-x113214×dx=-2´(x-x)=1； A0=ò×dx=ò0x-x013240201-4411x-1x-x11104×dx=2´(x2-x)=1； A1=ò×dx=ò0x-x031240210-44x-插值求积公式： 1ò0f(x)dx=åAkf(xk)=k=0n1113f+f 2424当f(x)=1，左边=ò10111f(x)dx=1；右边=´1+´1=1；左=右； 22 当f(x)=x，左边=òò01f(x)dx=x221f(x)dx=x331=01111131；右边=´+´=；左=右； 224242111195；右边=´左右； +´=；321621616当f(x)=x，左边=210=0故该插值求积公式具有一次代数精度。 2.2 梯形公式和Simpson公式 1、设已给出f(x)=1+ex f(x) 0.00 1.000 00 0.25 1.655 34 1-xsin4x的数据表， 0.50 1.551 52 0.75 1.066 66 1.00 0.721 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分I= 用复化梯形法： ò0f(x)×dx的近似值。 b-a1=0.25n4n-1n-1hhT5=åf(xk)+f(xk+1)=f(a)+2åf(xk)+f(b)2k=02k=10.25T5=´f(0.00)+2´f(0.25)+f(0.50)+f(0.75)+f(1.00) 2T5=0.125´1.00000+2´(1.65534+1.55152+1.06666)+0.72159a=0,b=1,n=5,h=T5=1.28358用复化辛普生法： a=0,b=1,n=2,h=n-1b-a1=0.5n2n-1n-1hhS2=åf(xk)+4f(x1)+f(xk+1)=f(a)+4åf(x1)+2åf(xk)+f(b)k+k+6k=06k=0k=1220.5´f(0.00)+4´f(0.25)+f(0.75)+2´f(0.50)+f(1.00)61S2=´1.00000+10.888+3.10304+0.72159»1.3093912S2=2、设用复化梯形法计算积分I=1x-5，为使截断误差不超过，edx´10ò021x问应当划分区间为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？ 用复化梯形法，a=0,b=1,f(x)=f'(x)=f''(x)=e，设需划分n等分，则其截断误差表达式为： (b-a)3(1-0)3|RT|=|I-Tn|=maxf''(x)=e； 12n212n3依题意，要求|RT|£1´10-5，即 2e1e´105-52£´10Þn³»212.849，可取n=213。 612n22a=0,b=1,f(x)=f'(x)=f''''(x)=e，用复化辛普生法，截断误差表达式为： (b-a)5(1-0)5e|RS|=|I-Sn|=maxf''''(x)=e=； 180(2n)42880n42880n4依题意，要求|RS|£x1´10-5，即 2e1e´105-54£´10Þn³»3.70666，可取n=4，划分8等分。 4214402880n2.3 数值微分 1、导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式 1-3f(x0)+4f(x1)-f(x2)2h1f'(x1)»-f(x0)+f(x2)2h1f'(x2)»f(x0)-4f(x1)+3f(x2)2hf'(x0)»(51)(52)(53)如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为 f(n+1)(xk)nR(xk)=f'(xk)-p'(xk)=´Õ(xk-xj) (n+1)!j=0j¹k由三点公式(51)、(52)和(53)可知，n=2,h=x1-x0=x2-x1，则 (x0)2f'''(x0)f'''(x0)2R(x0)=´Õ(x0-xj)=(x0-x1)(x0-x2)=h (2+1)!3!3j=1f(2+1)f'''(x0)2f(2+1)(x1)2f'''(x1)R(x1)=´Õ(x1-xj)=(x1-x0)(x1-x2)=-h (2+1)!3!6j=0j¹1f(2+1)(x2)2f'''(x2)f'''(x2)2R(x2)=´Õ(x2-xj)=(x2-x0)(x2-x1)=-h (2+1)!3!3j=0j¹22、设已给出f(x)=x f(x) 1的数据表， 2(1+x)1.1 0.2268 1.2 0.2066 1.0 0.2500 试用三点公式计算f'(1.0),f'(1.1),f'(1.2)的值，并估计误差。 已知x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,h=x1-x0=x2-x1=0.1，用三点公式计算微商： 11-3f(1.0)+4f(1.1)-f(1.2)=-3´0.2500+4´0.2268-0.2066=-0.24702h2´0.111f'(1.1)»-f(1.0)+f(1.2)=-0.2500+0.2066=-0.21702h2´0.111f'(1.2)»f(1.0)-4f(1.1)+3f(1.2)=0.2500-4´0.2268+3´0.2066=-0.18702h2´0.11-26-24， f(x)=;Þf'(x)=;Þf''(x)=;Þf'''(x)=2345(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)f'(1.0)»用余项表达式计算误差 R(1.1)=-f'''(x0)2-24´0.12R(1.0)=h»»-0.002533(1+1.0)5f'''(x1)224´0.123!h»3!(1+1.0)5»0.00125f'''(x2)2-24´0.12R(1.2)=h»»-0.04967 533(1+1.1)3、设f(x)=sinx，分别取步长h=0.1,0.01,0.001，用中点公式计算f'(0.8)的值，令中间数据保留小数点后第6位。 中心差商公式：f'(a)»f(a+h)-f(a-h)f'''(a)2，截断误差：R(h)=h。可2h3!见步长h越小，截断误差亦越小。 (1)h=0.1,x0=0.8-h=0.7,x2=0.8+h=0.9,则 11sin(0.9)-sin(0.7)»0.783327-0.644218»0.695545； 2h2´0.1(2)h=0.01,x0=0.8-h=0.79,x2=0.8+h=0.81,则 11f'(0.8)»sin(0.81)-sin(0.79)»0.724287-0.710353»0.6967 2h2´0.01(3)h=0.001,x0=0.8-h=0.799,x2=0.8+h=0.801,则 11f'(0.8)»sin(0.801)-sin(0.799)»0.718052-0.716659»0.69652h2´0.01f'(0.8)»而精确值f'(0.8)=cos(0.8)=0.6967067L，可见当h=0.01时得到的误差最小。在直接相减会造成有效h=0.001时反而误差增大的原因是f(0.8+h)与f(0.8-h)很接近，数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。 3.1 Euler格式 1、列出求解下列初值问题的欧拉格式 (1)y'=x2-y2yæyö(2)y'=ç÷+xèxø2(0£x£0.4)，y(0)=1，取h=0.2； (1£x£1.2)，y(0)=1，取h=0.2； 2222-yn)=yn+0.2´(xn-yn)； yn+1=yn+hy'n=yn+h(xnyn+122ynynyny=yn+h(2+)=yn+0.2´(2+n)。 xnxnxnxn2、取h=0.2，用欧拉方法求解初值问题y'=-y-xy(0£x£0.6)，y(0)=1。 22)=yn+0.2´(-yn-xnyn)；化欧拉格式：yn+1=yn+hy'n=yn+h(-yn-xnyn2简后，yn+1=0.8yn-0.2xnyn，计算结果见下表。 2n xn yn 0 0.0 1.0 1 0.2 0.8 2 0.4 0.6144 3 0.6 0.4613 3、取h=0.1，用欧拉方法求解初值问题y'=12-2y(0£x£4)，21+xy(0)=0。并与精确解y=2x1比较计算结果。 1+x21122-2y)=y+0.2´(-2yn)；nn221+xn1+xn欧拉格式：yn+1=yn+hy'n=yn+h(2化简后，yn+1=yn-0.4yn+0.2，计算结果见下表。 21+xn 1、用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。 因为y'=f(x,y)=-y-xy(0£x£0.6)，h=0.2，且y(0)=1，则改进的欧拉公式： 2ì22ïyp=yn+hf(xn,yn)=yn+h(-yn-xnyn)=0.8yn-0.2xnynï22íyc=yn+hf(xn,yp)=yn+h(-yp-xnyp)=yn-0.2´(yp+xnyp)。 ï(yp+yc)ïyn+1=2î计算结果见下表。 n xn yp yc yn 与原结果比较见下表 0 0.0 1.0 0.76 0.88 0 0.0 1.0 0.88 1 0.2 0.6730 0.7092 0.6911 1 0.2 0.8 0.6911 2 0.4 0.5147 0.5564 0.5356 2 0.4 0.6144 0.5356 3 0.6 0.3941 0.4319 0.413 3 0.6 0.4613 0.413 n xn yn yn(改进) 3.3 龙格-库塔方法 1、用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题y'=8-3y，y(0)=2，试取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值，要求小数点后保留4位数字。 四阶经典的龙格-库塔方法公式： ìhïyn+1=yn+(K1+2K2+2K3+K4)6ïïK=f(x,y)nnï1hï； K=f(x,y+K1)í21nn+22ïïhïK3=f(x1,yn+K2)n+2ï2ïK=f(x,y+hK)n+1n3î4列表求得y(0.4)如下： n 0 1 2 xn 0.0 0.2 0.4 yn 2.000 2.3004 2.4654 4.1 迭代法及收敛定理 1、试取x0=1，用迭代公式xk+1=202xk+2xk+10(k=0,1,2,L)，求方程x3+2x2+10x-20=0的根，要求准确到10-3。 迭代计算结果列于下表 k 1 2 3 4 5 xk |xk-xk-1| <0.001 k xk 1.36593 1.37009 1.36824 1.36906 |xk-xk-1| 0.00937 0.00416 0.00185 0.00082 <0.001 N N N Y 1.53846 0.53846 N 6 1.29502 0.24344 N 7 1.40182 0.10680 N 8 1.35421 0.04761 N 9 1.37530 0.02109 N 因为|x9-x8|»0.00082<10-3，所以x*» x9=1.36906。 2、证明方程x=代过程xk+1=1cosx有且仅有一实根。试确定这样的区间a,b，使迭21cosxk对x0Îa,b均收敛。 21111设：g(x)=cosx，则当xÎR时，g(x)=cosxÎ-,，且一阶导数22221111g'(x)=-sinx连续，|g'(x)|=|-sinx|£<1，所以迭代过程xk+1=cosxk对22221x0ÎR均收敛。，方程x=cosx有且仅有一实根。<证毕> 23、证明迭代过程xk+1=xk1+对任意初值x0>1均收敛于2。 2xk设：g(x)=x1x1x1×=2，对于任意x>1，因为+³2所以g(x)³2。+，2x2x2x一阶导数g'(x)=x1111对任意初-2£<1，根据压缩映像定理，迭代公式xk+1=k+2xk2x2*值x0>1均收敛。假设limxk=x，对迭代式xk+1=k®¥xk1+两边取极限，则有2xk2x*1x=+*，则(x*)=2，解得x*=±2，因x*=-2不在x>1范围内，须舍去。2x*故x=*2。<证毕> 4.2 牛顿迭代法 1、试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字： x3-3x-1=0，x0=2 x2-3x-ex+2=0，x0=1 设f(x)=x-3x-1，则f'(x)=3x-3，牛顿迭代公式： 32xk+133f(xk)xk-3xk-12xk+1=xk-=xk-=22f'(xk)3xk-33(xk-1)(k=0,1,2,L)，迭代计算过程见下列表。 k xk |xk-xk-1| 0.11111 0.00944 2x<0.0001 N N k 3 xk 1.87939 x|xk-xk-1| 0.00006 <0.0001 Y 1 1.88889 2 1.87945 因为|x3-x2|»0.00006<10-4，所以x*»x3=1.879。 22f(xk)xk-3xk-exk+2xk-exk(xk-1)-2=xk-=xk-=f'(xk)2xk-3-exk2xk-3-exk设f(x)=x-3x-e+2，则f'(x)=2x-3-e，牛顿迭代公式： xk+1(k=0,1,2,L)，迭代计算过程见下列表。 k xk |xk-xk-1| 0.73106 0.01155 <0.0001 N N k 3 4 *xk 0.25753 0.25753 |xk-xk-1| 0.00014 0.00000 <0.001 N Y 1 0.26894 2 0.25739 因为|x3-x2|»0.00000<10-4，所以x»x4=0.2575。 2、应用牛顿法于方程x3-a=0，导出求立方根3a(a>0)的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。 设：f(x)=x-a，则f'(x)=3x，对任意x>0，牛顿迭代公式 32xk+133f(xk)xk-a2xk+a=xk-=xk-=k=0,1,2,L 22f'(xk)3xk3xk2x3+a(x>0) 由以上迭代公式，有：limxk=x=a。设g(x)=2k®¥3x*3g(x*)=x*；g'(x*)=2a2a(1-3)=0；g''(x*)=43xx=3ax=x=a323a。 xk+1-x*=g(xk)-g(x*)=g'(x*)(xk-x*)+g''(x)(xk-x*)2 2!xk+1-x*g''(x*)1lim=，可见该迭代公式具有二阶收敛性。<证毕> 3k®¥(x-x*)22!ak5.1 线性方程组迭代公式 1、用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：í果有3位有效数字。 ì3x1+x2=2，要求结îx1+2x2=11(k)21ì(k+1)(k)x=-x+=(2-x122)ïï333 雅可比迭代公式：í，迭代计算结果列于下表。 ïx(k+1)=-1x(k)+1=1(1-x(k)211ï222î(k)(k)(k-1)k x1(k) x2|x1(k)-x1(k-1)| |x2-x2| <0.0005? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2/3 1/2 11/18 7/12 0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.60005 0.59992 0 1/2 1/6 1/4 7/36 0.20833 0.19908 0.20139 0.19985 0.20023 0.19998 - 2/3 1/6 1/9 1/36 0.01852 0.00463 0.00309 0.00077 0.00051 0.00003 - 1/2 1/3 1/12 1/18 0.01389 0.00925 0.00231 0.00154 0.00038 0.00025 N N N N N N N N N Y *x1»x1(10)»0.600;*(10)x2»x2»0.200； 由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为1´10-3。 21(k)21ì(k+1)(k)x=-x+=(2-x)122ïï333高斯-赛德尔迭代公式：í，迭代计算结果列于下表。 111ïx(k+1)=-x(k+1)+=(1+x(k)212ï226î(k)(k)(k-1)k x1(k) x2|x1(k)-x1(k-1)| |x2-x2| <0.0005? 0 1 2 3 4 5 0 2/3 0.6111 0.6019 0.6003 0.6000 0 1/6 0.1944 0.1991 0.1999 0.1999 - 2/3 0.0092 0.0016 0.0003 - 1/6 0.0047 0.0008 0.0000 N N N N Y *x1»x1(5)»0.600;*(5)x2»x2»0.200； 2、取w=1.25，用松弛法求解下列方程组，要求精度为1´10-4。 2ì4x1+3x2=16ïí3x1+4x2-x3=20 ï-x+4x=-123î2欧先写出高斯-赛德尔迭代： 3(k)ì(k+1)x=-x2+4ï14ï3(k)1(k)9(k)1(k)ï(k+1)x=-x+x+5=x2+x3+2í21344164ï9(k)1(k)5ï(k+1)1(k)x=x-3=x2+x3-2ï3464162î引入松弛因子，得 (1) 1(k)5(k+1)ì(k+1)(k)(k+1)x=(1-w)x+wx=-x1+x111ï144ï1(k)5(k+1)ï(k+1)(k)(k+1)x=(1-w)x+wx=-x2+x2í22244ï1(k)5(k+1)ï(k+1)(k)(k+1)x=(1-w)x+wx=-x3+x33ï3344î将方程组代入，并化简 (2) 1(k)15(k)ì(k+1)x=-x1-x2+5ï1416ïï(k+1)29(k)5(k)5=x2+x3+íx264162ï45(k)11(k)25ï(k+1)x=x2-x3-ï3256648î计算结果见下表。 (3) k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 x1(k) 0 5 1.40625 2.15820 1.61173 1.63577 1.54959 1.53284 1.51561 1.50880 1.50453 1.50245