探究二次根式函数值域的求法.docx
探究二次根式函数值域的求法探究二次根式函数值域的求法 有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。下面通过不同的角度进行探究。 探究一：求f(x)=x-5-24-3x的值域 设想一：观察此函数不难发现f(x)在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。 解：Qf(x)=x-5-24-3x x-5³0 24-3x³0 x³5 x£8 即函数的定义域为5,8 又Qf(x)在其定义域内是增函数。 当x=5时f(x)有最小值，即f(x)min=-3 当x=8时，f(x)的最大值，即f(x)max=3 综上所述，函数f(x)的值域为-3，,3 设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。 解：Qf(x)=x-5-24-3x f(x)=x-5-38-x 设a=x-5,b=8-x (a0,b0) y=f(x) 易得 a +b2a=3b+y2=322故y 可视为斜率为3的直线a在圆a+b=3上移动，何时截距最大，何时截距最小。由于a³0，b³0所以a+b=3表示的仅为第一象限内由图易知，直线经过A点时，截距221个圆，如右图所示： 43y最小，直线过B点时，截距 B a=3b+yy最大。 将A，B分别代入a=y+3b中， o A 3 a 得ymax=3 ， ymin=-3所以，函数f(x)的值域为-3，,3。 设想三：一般说来，对于含二次根式的函数，三角代换可以化繁为简，化难为易，下面探究如何换元。 解：Qf(x)=x-5-24-3x， f(x)=x-5-38-x， 2设x-5=3cosq ，8-x=3sin2q ，qÎê0,ú， 2épùëûf(x)=3cos2-3sinq =pöæ-23sinçq+÷ 6øèépùQ qÎê0，ú， ë2ûpöæ -23sinçq-÷Î-3,3， 6øè即f(x)Î-3,3， 故：函数f(x)的值域为-3,3。 反思：以上三种方法思维不同，方法各异。主要体现了单调性，换元法，数形结合，化归等多种数学方法和数学思想。将我们所学的知识逐层渗透到每种方法中。在解法二中，数形结合思想体现了数与形相互转化，解法三中，三角换元体现了函数与方程的相互转化。诸如此类，以上方法均体现了转化与化归思想，而这种思想，几乎解每一道题都用，不愧为是数学思想方法的灵魂。 探究二，求函数f(x)=x2-3x+2+2+3x-x2的值域。 设想一：由于都是二次根式函数的值域求解问题，所以我们利用解析几何中直线与圆来求解。 解：Qf(x)=x2-3x+2+2+3x-x2， y D A a 令a=x2-3x+2,b=2+3x-x2 b b =y-aa2+b2=4 B ， O 故y可视为直线b=-a+y在圆a+b=4上移动， 22C x 何时截距最大，何时截距最小。由于a³0,b³0， 所以a+b=4仅表示在第一象限内的221个圆。显然，当直线与圆切于A点时，截距4最大。当直线与圆交于C、B两点时，截距最小。 连接OA易知OD=22, f(x)max=22,f(x)min=2, f(x）的值域为2，22。 设想二：由于本题中，二次根式下的被开方数含有二次项，所以它与探究题型略有变化，观察题目，将原式两边平方，利用双向不等式求解。 解：令f(x)=y， 即y2=x2-3x+2+2+3x-x2+2(x2-3x+2)(2+3x-x2) =4+24-(x2-3x)2， 2Q4³0,(x2-3x)2³0, 0£4+24-(x2-3x)2£8, 即4£y£8, 22£y£22， f(x）的值域为2，22。 设想三：利用三角换元。 解：设x-3x+2=2cosq,2+3x-x=2sinq,(qÎê0,22épù)， ú2ëûy=2(cosq+sinq) =22sin(q+又QqÎê0,p4)， épë2), )=1时，y最大，即ymax=22， )=2时，y最小，即ymin=2， 2当sin(q+p4当sin(q+p4f(x）的值域为2，22。 反思：本题看似前面探究一类型不同，但解法大同小异。特别是三角换元与解析几何几乎是最常用的方法。但探究二也稍有不同，比如设想二中的解法，它仅适用于x的系数平方后能消去x，所以，它的解法比较巧妙，但也是解决本类题目型的一种常用方法。 感悟与归纳： 通过对二次根式函数值域求法的探究，对于我们的解题十分重要。逐如此类题型，我们应学会以下几点： 1、 观察分析二次根式函数的结构，抓住本质特征。 2、 变换思维角度，多方位思考，巧思妙解。 3、 重视思维的合理性，提高思维的灵活性。 如在利用三角换元时，抓住两个关系：sinx+cosx=1，secx-tcmx=1，主要用来处理二次根式的函数值域问题。 对于二次根式值域求解方法，常用到三角换元，数形转化法，单调性法，以及向量等多种方法，而三角换元是处理二次根式的函数值域的最主要的方法，一般说来，对于二次根式的函数，均可考虑三角代换来几何函数，其次是数形转化法，在解析几何中，一个代数式往往具有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据。其次，根据不同类型的二次根式函数，灵活运用单调性法向量法，以及构造不等式法等，可处理一些特殊类型的二次根式，掌握了这些，二次根式求值域的问题便迎刃而解。 2222
