排列,组合巩固练习.docx

排列,组合巩固练习巩固练习： 1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 2.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书 若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ 若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ 若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？ 3.如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 说明：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数Anm中，*m,nÎN且m£n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围； 公式Anm=n(n-1)(n-2)L(n-m+1)常用来求值，特别是m,n均为已知时，公式An=mn!(n-m)!，常用来证明或化简 例1´+1´!5+2´化简：+2!123n-1+L+；3!4n!+2L!+n´3n 3解：原式=1!- 图二 12!+12!-13!+13!-14!+L+1(n-1)!-1n!=1-1n! 图一 提示：由(n+1)!=(n+1)n!=n´n!+n!，得 ! =(n+1)!-n!， n´n图三 原式=(n+1)!-1 若变为图二,图三呢? 5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 6若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 A5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部 322例2解方程：3Ax=2Ax+1+6Ax 说明：n-1n!=1(n-1)!-1n! 课堂练习： 1若x=3n!3!，则x= n-3n (C)A3 (A)An (B)An(D)An-3 372与A10×A7不等的是 3解：由排列数公式得：3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1)， x³3， 3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1)，即3x-1x+72(A)A10 (B)81A8 (C)10A9 =1，0 239890解得 x=5或x=，x³3，且xÎN*，原方程的解为x=5 (D)A10 533若Am=2Am，则m的值为 10xx-2例3解不等式：A9>6A9 (A)5 (B)3 (C)6 解：原不等式即9!(9-x)!>6×9!(11-x)!6， (D)7 也就是1(9-x)!>(11-x)×(10-x)×(9-x)!，化简得：4计算：2A9+3A99!-A10656= ； (m-1)!Am-1×(m-n)!n-1= x-2x1+2， 01>04*5若2<(m+1)!Am-1m-1£42，则m的解集是 解得x<8或x>13，又2£x£9，且xÎN， 所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7 nmn-m例4求证：An=An×An-m；m6已知A10=10´9´L´5，那么m= ； (2n)!2×n!n=1×3×5L(2n-1) 7已知9!=362880，那么A9= ； 证明：An×An-m=(2n)!2×n!nnmn-mn!(n-m)!2已知An=56，那么n= ； n(n-m)!=n!=An，原式成立 22已知An=7An-4，那么n= =2n×(2n-1)×(2n-2)L4×3×2×12×n!n7一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法？ 8一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ 补充例题 例2某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ =2n×(n-1)L2×1×(2n-1)(2n-3)L3×12×n!n=n!×1×3L(2n-3)(2n-1)n!=1×3×5L(2n-1)=右边 原式成立 解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A13种； 第二类用2面旗表示的信号有A23种； 第三类用3面旗表示的信号有A33种， 由分类计数原理，所求的信号种数是：A13+A23+A333=3+2´3+2，´ 1´1=5答：一共可以表示15种不同的信号 例3将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？ 分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A44种方法； 第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A44种方法， 利用分步计数原理即得分配方案的种数 解：由分步计数原理，分配方案共有N=A444×A4=576 答：共有576种不同的分配方案 例47位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列A775040 7位同学站成两排，共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×17！5040 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66=720 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A22种； 第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A252×A5=240种排列方法 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法1：第一步从其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A25种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列有A5种方法，所以一共有A2555A52400种排列方法 解法2：若甲站在排头有A666种方法；若乙站在排尾有A6种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有A76572A6A5=2400种 说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑 例5从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？ 解法一：A159A9=136080； 解法二：若选：5×A569；若不选：A9， 则共有5×A569+A9=136080种； 解法三：A6510-A9=136080 例6 7位同学站成一排， 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ 解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A222种方法所以这样的排法一共有A66×A2=1440种 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有A535A3720种 甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有A245A4A22960种方法 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A55种方法， 所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A66-2A55)×A22=960种方法 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有A14A525A2960种方法 甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起 解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，一共有排法种数：A3423A4A2=288 说明：对于相邻问题，常用“捆绑法” 例77位同学站成一排， 甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ 解法一：A7-A6276×A2=3600； 解法二：先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置，再将甲、乙同学分别插入这六个位置有A2种方法，所以一共有A5265A6=3600种方法 甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ 解：先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A35种方法，所以一共有A434A51440种 说明：对于不相邻问题，常用“插空法” 例85男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：男女相间；女生按指定顺序排列 解：先将男生排好，有A55种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”中，有2A55种排法 故本题的排法有N=2A555×A5=28800； 方法1：N=A1010A5=A510=30240； 5方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A510种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法 故本题的结论为N=A510´1=30240 XX年高考题 1如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种 2某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同选修方案。 3记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 1440种 960种 720种 480种 4图是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给、四个维修点的某种配件各件，在使用前发现需将、四个维修点的这批配件分别调整为、件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次为 5从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种 6从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 A40种 B60种 C100种 D120种 7. 安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种. 8用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 288个 240个 144个 126个 9某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有_种. 10某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种 11将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai(i=1，2，L，6)，若a1¹1，a3¹3，a5¹5，a1<a3<a5，则不同的排列方法有 种 例96本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ 解：C2×C2264×C2=90 从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？ 解：问题可以分成2类： 第一类 2名男生和2名女生参加，有C225C4=60中选法； 第二类 3名男生和1名女生参加，有C3C154=40中选法 依据分类计数原理，共有100种选法 错解：C2115C4C6=240种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多 例104名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？ 解法一：小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C321124，C4×C6，C4×C6， 所以，一共有C3+C2×C112446+C4×C6100种方法 解法二：C3-C3106=100 组合数的性质1：Cmn-mn=Cn 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：Cm-mn=Cnn在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：Cn-mn!n!n= (n-m)!n-(n-m)!=m!(n-m)!又 Cm!n=n，Cmmm!(n-m)!n=Cn-n说明：规定：C0n=1； 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； 此性质作用：当m>nmn-m2时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化. 例如C20012002-20012002C2002C12002=2002； Cx=CynnÞx=y或x+y=n 2组合数的性质2：Cmmm-1n+1Cn+Cn 一般地，从a1,a2,L,an+1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cmn+1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有 a 1 含有 a1的组合是从a2,a3,L,an+1这n个元素中取出m -1个元素与a组成的，共有Cm-11n个；不含有a1的组合是从a2,a3,L,an+1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cmn个根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想 证明：Cmm-1n!n+Cn=n! m!(n-m)!+(m-1)!n-(m-1)=n!(n-m+1)+n!m m!(n-m+1)! =(n-m+1+m)n!=Cmm!(n-m+1)!=(n+1)!m!(n-m+1)!n+1 Cmmm-1n+1Cn+Cn 说明：公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数； ! 此性质的作用：恒等变形，简化运算 例11一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 332323解：； C8=56,或C8=C7+C7，C7=21；C7=35例12计算：C73+C74+C85+C96； nnn-1n-2求证：CmCm+2Cm+Cm +264解：原式=C84+C85+C96=C95+C96=C10=C10=210； 证=(Cmn-1明+Cm)n：-1+Cmn+1右n-边+Cmn Cm+2)=左边=Cmnx+12x-3例13解方程：C13；解方程：=C13Cx+2+Cx+2=x-2x-3110Ax+3 3解：由原方程得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13，x=4或x=5， ì1£x+1£13ï 又由í1£2x-3£13得2£x£8且xÎN*，原方程的解为ï*xÎNîx=4或x=5 上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把x=4和x=5代入检验,这样运算量小得多. 原方程可化为Cx+3=5!(x-2)!1120(x-2)!(x+3)!x(+3)!， ×1x0!110×x(x-1)×(x-2)!x-2110Ax+3，即Cx+3=35110Ax+3，3=， x2-x-12=0，解得x=4或x=-3， 经检验：x=4是原方程的解 例18第17届世界杯足球赛于XX年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强，这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？ 答案是：8C4+8+4+2+2=64，这题如果作为习题课应如何分析 2解：可分为如下几类比赛： 小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场； 八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场； 四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8强中每两个队比赛一场，可以决出4强，共有4场； 半决赛：根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场； 决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两队比赛1场决出第三、四名 共有2场. 综上，共有8C4+8+4+2+2=64场 2