排列组合二项式定理知识总结.docx
排列组合二项式定理知识总结排列组合、二项式定理总结复习 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列 排列定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 排列数定义；从n个不同元素中，任取m个元素的所有排列的个数Amnmn公式 A=n! 规定0！=1 (n-m)!3，组合 组合定义 从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数 从n个不同元素中，任取m个元素的所有组合个数 CmnCmn=n!m!(n-m)!性质 Cmn=Cn n-mCn+1=Cn+Cn mmm-1 排列组合题型总结 一 直接法 1 .特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 数字1不排在个位和千位 数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：个位和千位有5个数字可供选择2=240 A52A4A52，其余2位有四个可供选择2，由乘法原理：A42特殊位置法 当1在千位时余下三位有有113=60，1不在千位时，千位有A4种选法，个位有A4种，余下的A52112，共有A4A4A4=192所以总共有192+60=252 A4二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中可用间接法432=252 A6-2A5+A4Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 33 分析：任取三张卡片可以组成不同的三位数C5个，其中0在百´23´A322位的有C4个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数´22´A22233-C4=432 ´22´A2C5´23´A3Eg 三个女生和五个男生排成一排 女生必须全排在一起 有多少种排法 女生必须全分开 两端不能排女生 两端不能全排女生 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 二 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有A9中插入方法。 三 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种 ,2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 四 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法 例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。 分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C11种 7五 平均分推问题 eg 6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？ 平均分成三堆， 平均分给甲乙丙三人 一堆一本，一堆两本，一对三本 甲得一本，乙得两本，丙得三本 一人的一本，一人的两本，一人的三本 3 分析：1，分出三堆书,(a3,a4)，由顺序不同可以有A3=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有222C6C4C2=15种 3A32，六本不同的书，平均分成三堆有x种，平均分给甲乙丙三人 就有xA3种 3， 五 合并单元格解决染色问题 Eg 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5 下面分情况讨论: ()当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 的全排列数1233CCC6432222123C6C5C3 5，A3C6C5C3 A442,4 当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形()类似同理可得当2、4与3、5 A44 种着色法 分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格 2,4 3,5从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有 由加法原理知：不同着色方法共有24C4×A3种方法 3333A4+C4A3=48+24=72 练习1）将3种作物种植 1 2 4 5 3 在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种 2某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种 图3 图4 3如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数 4如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种 1243562134BACDEABCED图5 图6 5将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种
