换元法解方程.docx

换元法解方程换元法解方程 西安市第八十五中学 江树基 换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等 解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧 一、分式方程 分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设 2=0，解得y=1 经检验，x1，x2都是原方程的根 分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x 解：设y=x2+2x，则原方程可化为 即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3 x22x=-3，无实数解 例3 解方程 分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x22x10 解：设y=x22x10，则原方程可化为 解得y1=9x，y2=-5x. 由x22x10=9x，解得x1=5，x2=2 由x22x10=-5x，解得x3=-5，x4=-2 经检验知，它们都是原方程的解 注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的 二、无理方程 两边立方，并整理得 y3-2y23y=0，即y=0， y=0或y2-2y3=0，无解 经检验知x=-1是原方程的解 可设两个未知数，利用韦达定理解 原方程为mn=1，又3=m3n33mn·=4+3mn=1， mn=-1 =-1， 即x2-2x-4=0，解得 经检验知，x1，x2是原方程的解 2+2=52，解得y=±5 经检验知，x=10，x=-510是原方程的解 |y+2|y-2|=4， 当y-2时，-y-2-y2=4，y=-2 当-2y2时，y2+2-y=4，4=4， 当y2时，y2y-2=4，y=2 -2y2，又y0，0y2， 经检验知，1x2是原方程的解 再把上边方程两边平方整理得 x4-2ax2+a2-a-x=0， a2-a=0，解得 由得-x=a-x2，a-x20，-x0，方程无解故选 注：此例中把字母a视为变量，反而把x看成常量，这种反客为主的替代法称为“常数代换”法 三、高次方程 例9 解方程44=82 原方程变为4+482， 整理得 y46y2-40=0， 解得y1=2，y2=-2 由x2=2，得x1=0 由x2=-2，得x2=-4 所以原方程的解是x1=0，x2=-4 注：一般地形如4+4=c的方程可用均值法，设y 例10 解方程6x4+5x3-38x2+5x+6=0 解：显然x=0不是方程的解，故用x2除方程两边，整理得6+by+c=0使问题得解 2形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称第二类倒数方程，其特点是：与首末两项等距离的偶次幂的项的系数相等，奇次幂项的系数的绝对值相等而符号相反，用x2除方程两边，并按下述方法并项，得a（x2+ =0，即可求解，