指数对数幂函数总结归纳.docx

指数对数幂函数总结归纳指数与指数幂的运算 1理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点 3理解对数的概念及其运算性质 4重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6知道指数函数 与对数函数互为反函数(a0，a1). 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论，我们约定a>0，n，mÎN，且*m为既约分数，分数指数幂可如下定义： na=na a=(na)m=nam m-1an=m an3运算法则 当a0,b0时有： a×a=aamnm+n1nmn； ()mn=amn； amm-nn=a(m>n，a¹0)； ammm(ab)=ab. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如4(-4)2¹(4-4)2； (3)幂指数不能随便约分.如(-4)¹(-4). 2412要点二、根式的概念和运算法则 1n次方根的定义： 若x=y(nN，n>1，yR)，则x称为y的n次方根，即x=ny. n*n为奇数时， y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为n0=0； n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为±ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为n0=0. 2两个等式 当n>1且nÎN时，*(a)nn=a； ìa,(n为奇数)a=í |a|(n为偶数)înn要点诠释： 计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误 指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算 负指数幂化为正指数幂的倒数 )，先要化成假分数，底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质 在化简运算中，也要注意公式： a2b2，a3b3，a3b3， 22233223a±2abb，a±3ab3ab±b，的运用，能够简化运算. 指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念： 函数y=a(a>0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释： 形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a1)的函数才是指数函数像y=2×3，y=2，y=3+1等函数都不是指数函数 为什么规定底数a大于零且不等于1： 如果a<0，则对于一些函数，比如y=(-4)，当x=xxxxx1xx11,x=,×××时，在实数范围内函数值不存在 24如果a=1，则y=1=1是个常量，就没研究的必要了。而a=0时y=0没意义 要点二、指数函数的图象： y=ax 0<a<1时图象 - 图象 要点诠释： 当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情形讨论。 a>1时图象 æ1ö指数函数y=a与y=ç÷的图象关于y轴对称。 èaøxx要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 y=ax y=bx y=cx y=dx 则：0ba1dc 观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越陡，而且指数函数都过点 又即：x(0,+)时，bx<ax<dx<cx x(,0)时，bx>ax>dx>cx 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法： (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： 若A-B>0ÛA>B；A-B<0ÛA<B；A-B=0ÛA=B； 当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断 AA>1，或<1即可 BB对数及对数运算 要点一、对数概念 1.对数的概念 如果a=N(a>0，且a¹1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，bN叫做真数. 要点诠释： 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a¹1， N>0， bÎR. 2.对数logaN(a>0，且a¹1)具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即N>0； (2)1的对数为0，即loga1=0； (3)底的对数等于1，即logaa=1. 3两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lgN. 以e为底的对数叫做自然对数， logeN简记作lnN. 要点二、对数的运算法则 logaN(a>0且a¹1，M、N>0) 已知logaM，(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； loga(MN)=logaM+logaN (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数； logaM=logaM-logaN N(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； logaMa=alogaM 要点诠释： 利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的. 不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： 错误1：loga(M±N)=logaM±logaN， 错误2： (M·N)=logaM·logaN， 要点三、对数公式 1对数恒等式： ülogNýÞaa=N logaN=bþ2换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a1， M>0的前提下有: (1) logaM=loganMnab=N(nÎR) nbn令 logaM=b， 则有a=M， (a)=M，即(a)=M， 则b=loganM bbnnn所以得出结论:logaM=loganM. nlogcM(c>0,c¹1)，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 logcab=logcM(c>0,c¹1) logcalogcMlogcM(c>0,c¹1) 即b×logca=logcM， 即b=，即logaM=logcalogca(2) logaM=当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论: logab=1(a>0,a¹1,b>0,b¹1). logba对数函数及其性质 要点一、对数函数的概念 1函数y=logax(a>0，a1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是(0,+¥)，值域为R 2判断一个函数是对数函数是形如y=logax(a>0,且a¹1)的形式，即必须满足以下条件： 系数为1； 底数为大于0且不等于1的常数； 对数的真数仅有自变量x 要点诠释： 只有形如y=logax(a>0，a1)的函数才叫做对数函数，像y=loga(x+1),y=2logax,y=logax+3等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。 求对数函数的定义域时应注意：对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；对含有字母的式子要注意分类讨论。 要点二、对数函数的图象 0a1 a1 图象 要点诠释： 关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降，因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略 2底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，a越接近1，图象越陡，a越远离1，图象越平缓。这刚好和指数函数的规律相反 所以可以总结出一句话，指数近一缓，对数近一陡。 要点四、反函数 1反函数的定义 一般地，设函数y=f(x)(xA)的值域是B，根据这个函数中x、 y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y)。若对于y在B中的任何一个值，通过x= g(y) ，x在A中都有唯一的值和它对应，那么这个函数x= g(y)(xB)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作y=f -1 (x) 。反函数y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域 由定义可以看出，函数y=f(x)的定义域A正好是它的反函数y=f-1 (x)的值域；函数y=f(x)的值域B正好是它的反函数y=f-1 (x)的定义域 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数函数是和它底数相同的指数函数的反函数。变化关系如右图： 要点诠释： 2不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=x一般说来，单调函数有反函数 2反函数的性质 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称 若函数y=f(x)图象上有一点(a,b)，则(b,a)必在其反函数图象上，反之，若(b,a)在反函数图象上，则(a,b)必在原函数图象上 幂函数及图象变换 要点一、幂函数概念 形如y=x(aÎR)的函数，叫做幂函数，其中x是自变量， a为常数. 要点诠释： 幂函数必须是形如y=x(aÎR)的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：aay=3x4,y=x2+1,y=(x-2)等都不是幂函数. 要点二、幂函数的图象及性质 各种幂函数的图象： (1)y=x； (2)y=x； (3)y=x； (4)y=x； (5)y=x 要点诠释： 幂函数随着a的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)a>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+¥)上是增函数特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0<a<1时，幂函数的图象上凸； (3)a<0时，幂函数的图象在区间(0,+¥)上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+¥时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+)或0，+)，作图已完成； 若在(-，0)或(-，0上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 3-12212如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值 (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征 (3)如函数f(x)=k×x是幂函数，求f(x)的表达式，就应由定义知必有k=1，即f(x)=x 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较常称为“搭桥”法 (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小 (3)常用的步骤是：构造幂函数；比较底的大小；由单调性确定函数值的大小 aa要点三、初等函数图象变换 基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、耐克函数。 由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数 如：f(x)=x2的图象变换，y=(x+1)2,y=x2+1,y=2x2,y=|x|2 平移变换 y=f(x)y=f(xa) 图象左、右平移 y=f(x)y=f(x)b 图象上、下平移 对称变换 y=f(x) y=f(x), 图象关于y轴对称 y=f(x) y=f(x) , 图象关于x轴对称 y=f(x) y=f(x) 图象关于原点对称 y=f(x)y=f-1(x) 图象关于直线y=x对称 翻折变换： y=f(x) y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分 关于y轴对称 y=f(x) y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象 关于x轴对称 要点诠释： 函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。 若f(ax)f(ax)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。 指数函数、对数函数、幂函数配置习题 指数幂的概念与运算 1.求下列各式的值： 52425(-3);(2)4(-10);(3)4(3-p);(4)(a-b). 2. 求下列各式的值 = = = 3.用分数指数幂形式表示下列各式： 2a×a；a×a；aa； 3324.计算 11-37´(-)0+80.25´42+(32´3)6 86指数函数的概念 5函数y=(a-3a+3)a是指数函数，求a的值 6求下列函数的定义域、值域. 2x13xxx2x-13-(1)y=；(2)y=4-2+1；(3)；(4)y=ax91+3指数函数的单调性及其应用 7讨论函数f(x)=ç÷2x-1x+1(a为大于1的常数) æ1öè3øx2-2x的单调性 判断函数的奇偶性 8判断下列函数的奇偶性： 9.请做出10.将下列指数式与对数式互化： (1) ；(2)；(3)；(4)；(5)； 的图象 利用对数恒等式化简求值 1+log7511求值： 7积、商、幂的对数 12.用logax,logay,logaz表示下列各式 x2yxyx35(1)loga;(2)loga(xy);(3)loga;(4)loga3 zyzz换底公式的运用 13.已知log189=a,18=5，求log3645 b对数运算法则的应用 14.求值 (1) log6432×log2(2) lg14-2lg111×log3×log5 25897+lg7-lg18 33(3)log2(log232+log1+log436) 42(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 对数函数的概念 15.下列函数中，哪些是对数函数？ y=logax(a>0,a¹1)； y=log2x+2; y=8log2(x+1)； y=logx6(x>0,x¹1)； y=log6x 对数函数的定义域 16. 求下列函数的定义域： (1)y=logax； (2)y=loga(4-x)(a>0且a¹1). 2对数函数的单调性及其应用 17. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)log33.6,log38.9； (2)log0.21.9,log0.23.5； (3)log25与log75； (4) log35与log64 (5)loga4.2,loga4.8 函数的奇偶性 18. 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=ln2-x; (2)f(x)=lg(1+x2-x). 2+xx类型五、反函数 19求出下列函数的反函数 æ1öy=log1x；y=ç÷ èeø6利用函数图象解不等式 20若不等式2-logax<0，当xÎç0,÷时恒成立，求实数a的取值范围 xæè1ö2ø对数函数性质的综合应用 21 已知函数y=lg(x+2x+a)的定义域为R，求实数a的取值范围； 已知函数y=lg(x+2x+a)的值域为R，求实数a的取值范围； 22