拉普拉斯方程的解.docx
拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解分离变量法 一 拉普拉斯方程的适用条件 1 空间处处r=0，自由电荷只分布在某些介质表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。 2 在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知。 若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势 e0=e。 若所求区域为分区均匀介质，则不同介质交界面上有束缚面电荷。 则区域V中电势可表示为两部分的和 j=j0+j¢ j不满足Ñ2j=0，但j¢使Ñ2j¢=0满足，仍可用拉普拉斯方程求解。但注意，边值关系还要用jS而不能用j¢S。 二 拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式 ¶2j¶2j¶2j1 直角坐标 Ñj=+2+2=0 2¶x¶y¶z2令 j(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) ìd2Xï2+aX=0ïdxïd2Yí2+bY=0ïdyïd2Zï2+gZ=0îdz一般令 a=-k12a+b+g=0 b=-k22g=k12+k22=k2 若考虑了某些边界条件ìX(x)=Aek1x+Be-k1xïky-ky íY(y)=Ce2+De2ïZ(z)=EsinkZ+FcoskZîk1,k2,k均与某些正整数有关，它们均可取1，2，通解还要求取和后才行。 ìd2X22ï2-kX=0ìa=-kïdx若 j=j(x,y) 与 z无关，ï í í22ïîb=kïdY-k2Y=02ïîdya+b=0ìX(x)=Aekx+Be-kx特解 í g=0îY(y)=Csinky+Dcoskyd2j=0若 j=j(x)，与 y,z无关。 dx22j=Ax+B 1¶¶j1¶2j¶2j(r)+2+2=0 2 柱坐标 Ñj=2r¶r¶rr¶q¶z仅讨论 j=j(r,q) 与 z无关。 令 j(r,q)=f(r)g(q) ìd2g(q)+n2g(q)=0ï2ïdq í2ï1d(rdf)-nf(r)=0ïr2îrdrdr解： g(q)=a1sinnq+a2cosiq f(r) 有两个线性无关解 rn 和 r-n。 单值性要求 j(0)=j(2p)，n只能取整数，令n=n 通解： j(r,q)=årn(Ansinnq+Bncosnq)+r-n(Cnsinnq+Dncosnq) n=11¶¶j¶j若 j=j(r)，(r)=0，r=CÞj=A+Blnr。 r¶r¶r¶r3球坐标 j(R,q,F)=¥bnmm)P(cosq)cosmF nn+1Rnmd+å(cnmRn+nm)Pnm(cosq)sinmF n+1Rnmå(anmRn+Pnm(cosq)缔合勒让德函数 l 若j不依赖于F，即j具有轴对称性 bn)Pn(cosq) n+1RnPn(cosq)为勒让德函数，P0=1P1(cosq)=cosq 1P2(cosq)=(3cos2q-1) 2通解 j(R,q)=å(anR+nl 若j与q,F均无关，即j具有球对称性，则通解为： j(R)=a+三解题步骤 1 选择坐标系和电势参考点 b R坐标系选择主要根据区域中分界面形状 参考点主要根据电荷分布是有限还是无限 2 分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解 3 根据具体条件确定常数 外边界条件： 电荷分布有限 边界条件和边值关系是相对的。 导体边界可视为外边界，jS给定，或给定总电荷Q，或给定s j¥®-E0rcosq=-E0z 内部边值关系：介质分界面上 j1S=j2Se1¶j1¶n=e2S¶j2¶n 表面无自由电荷。 V Sz=lO y 四应用实例 1 两无限大平行导体板，相距为l，两板间电势差为V r(与x,y,z无关)，一板接地，求两板间的电势j和E 下板接地 x 解：边界为平面，故应选直角坐标系 jS=0，为参考点 1定性分析：由于在z=l处，j=V常数，可考虑j与x,y无关。 列出方程并给出解：在0<z<l区域， Ñj=0 2(r=0)d2j=0 方程的解：j=Az+B 2dz定常数： j(z=0)=0B=0 j(z=l)=V(6) 结果：j=Al=VA=V lrdjrVr E=-Ñj=-ez=-ezdzlVzl(0<z<l) 显然满足Ñ2j=0和边界条件 E=V=常数，均匀场 lx y z 2 一对接地半无限大平板，相距为b，左端有一极板 电势为V，求两平行板之间的电势 解：边界为平面，选直角坐标系 上、下两平板接地，为参考点 同样若y¹0或b,x®¥jx®¥=0 z轴平行于两平板，且x=0,0<y<b,j=V与z无关，可设j=j(x,y)与z无关。 ¶2j¶2jÑj=2+2=0¶x¶y2(0<x<¥,0<y<b) j=X(x)Y(y)ìX(x)=Aekx+Be-kx íîY(y)=Csinky+Dcoskyj(x,y)=(Aekx+Be-kx)(Csinky+Dcosky) 确定常数 A，B，C，D，k y=0,j=0ÞD=0。 y=b,j=0Þsinkb=0kb=npk=npb(n=1,2,3,LL) j与n有关，上面解可写为 ¢sinjn(x,y)=(Anekx+Bne-kx)(Cn通解 j(x,y)=x®¥åjn=1¥npy)b(n=1,2,3LL) n(x,y) j=0ÞAn=0 ¢=Cn¢) (BnCnnp-nbpxjn(x,y)=Cnsinyeb¥np-nbpxj=åCnsinye bn=1电势和电场。 3半径a，带有均匀电荷分布s的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的解：电荷分布在无限远，电势零点应选在有限区域，为简单可选在导体面r = a处。 选柱坐标系： 对称性分析： 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，j一定与q无关。 柱外无电荷，电力线从面上发出后，z 不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿er方向，可认为j与z无o y r x r关，j=j(r) Ñ2j=0Þ1ddj(r)=0rdrdrrdj=C drCdj=dr j(r)=Clnr+D rrBr¶jr1¶jr¶jrE=-erÑj=er+eq+ez r¶r2¶q¶z当r = a时，j(a)=0 则D=-Clna 不选择零点也不影响求场。 j(r)=-Blna+Blnr=Cln 常数C的确定：s=-e0e0BBa1=- r=arar=aaasasrln C=- j(r)=-e0e0adjdn=-e0ra 若选r=aj(a)=j0 则 j(r)=j0-¢=j0+ ase0lnras=j0-lnr ae0r0rrdjraserer=电场E：E=-Ñj=+ dre0rrsrE(a)=er 在表面上 (r=a)x=0ej=VV=åCnsinn=1¥两边同乘 sinbmpy 并从0 b积分： bnpy ，由此或定出Cn=？ be0¥b¥bmpynpympympynpyVsindy=Csinsindy=Csinsindyåånnòò0ò00bbbbbn=1n=1òb0sinbì0mpynpysindy=íbbîb/2n¹müb ý=dmnsinx n=mþ2¥mpybdy=åCndmn=Cmb/2 òVsin0b2n=12bmpy2VbmpCm=òVsindy=×siny¢dy¢b0bbmpò0ì4V 2Vmpï=-cosy¢0=ímpmp ï0î4V¥1mpy-mpx/bj(x,y)=sine åpm=1,3,5Lmb令 m=2n+1n=0,1,2,L 1(m+1)py-(2n+1)px/bj(x,y)=sineåpm=02n+1b4V¥æ0<x<¥öçç0<y<b÷÷ èø
