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抽象函数解题 题型大全重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 高考抽象函数技巧总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 x)=2x+1,求f(x). x+1xuu2-u2-x=u,则x=+1=解：设f(u)=2f(x)= x+11-u1-u1-u1-x例1：已知 f(2.凑合法：在已知f(g(x)=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知f(x+)=x+1x31，求f(x) 3x2解：f(x+)=(x+)(x-1+1x1x111211)=(x+)(x+)-3)|x+|=|x|+³1 又x2xxx|x|f(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3 已知f(x)二次实函数，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x). 解:设f(x)=ax+bx+c，则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c 2ì2(a+c)=413ï22Þa=,b=1,c=2ax+2bx+2(a+c)=x+2x+4比较系数得í2a=122ï2b=2îf(x)=123x+x+ 224.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)=lg(x+1),求f(x) 解:f(x)为奇函数，f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。-x>0,f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x), 1 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION f(x)为奇函数，lg(1-x)=f(-x)=-f(x)当x<0时f(x)=-lg(1-x)ìlg(1+x),x³0 f(x)=í-lg(1-x),x<0î例5一已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)=1， 求f(x),g(x). x-1解：f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 1 中的x, x-111f(-x)+g(-x)=即f(x)g(x)=- -x-1x+11x显见+即可消去g(x),求出函数f(x)=2再代入求出g(x)=2 x-1x-1不妨用-x代换f(x)+g(x)=5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式 例6：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x) 解：f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1 f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3f(n)=f(n-1)+n 以上各式相加，有f(n)=1+2+3+n=二、利用函数性质，解f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性： 例7 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)¹0,求证f(x)为偶函数。 证明：令x=0, 则已知等式变为f(y)+f(-y)=2f(0)f(y) 在中令y=0则2f(0)=2f(0) f(0)0f(0)=1f(y)+f(-y)=2f(y)f(-y)=f(y)f(x)为偶函数。 2.确定参数的取值范围 2例8：奇函数f(x)在定义域内递减，求满足f(1-m)+f(1-m)<0的实数m的取值范围。 222解：由f(1-m)+f(1-m)<0得f(1-m)<-f(1-m)，f(x)为函数，f(1-m)<f(m-1) n(n+1)1f(x)=x(x+1),xÎN 22ì-1<1-m<1ï2又f(x)在内递减，í-1<m-1<1Þ0<m<1 ï1-m>m2-1î3.解不定式的有关题目 2 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 例9：如果f(x)=ax+bx+c对任意的t有f(2+t)=f2-t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小 解：对任意t有f(2+t)=f2-t)x=2为抛物线y=ax+bx+c的对称轴 又其开口向上f(2)最小，f(1)=f(3)在2，)上，f(x)为增函数 f(3)<f(4),f(2)<f(1)<f(4) 五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例1、已知函数f对任意实数x，y，均有fff，且当x0时，f0，f2，求f在区间2，1上的值域。 分析：由题设可知，函数f是究它的单调性。 解：设在条件中，令yx，则，即，当， ，f为增函数。 ，再令xy0，则f2 f， f0， 的抽象函数，因此求函数f的值域，关键在于研22故ff，f为奇函数， ff2，又f2 f4， f的值域为4，2。 例2、已知函数f对任意2，f5，求不等式，满足条件ff2 + f，且当x0时，f的解。 分析：由题设条件可猜测：f是yx2的抽象函数，且f为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，则， 即，f为单调增函数。 ， 又f5，f3。3 ，当， 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 即，解得不等式的解为1 < a < 3。 2、指数函数型抽象函数 例3、设函数f的定义域是，满足条件：存在何x和y，成立。求： ，使得，对任f； 对任意值x，判断f值的正负。 分析：由题设可猜测f是指数函数解：令y0代入。若f0，则对任意0，f1。 令yx0，则，又由知f0，f0，即的抽象函数，从而猜想f1且f0。 ，则，有， ，这与题设矛盾，ff0，故对任意x，f0恒成立。 例4、是否存在函数f，使下列三个条件：f0，x N；f4。同时成立？若存在，求出f的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在纳法证明如下： x1时，结论正确。 假设xk1时，结论正确。 综上所述，x为一切自然数时。 时有，则xk1时，又x N时，f0，又由f4可得a2故猜测存在函数，用数学归；3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f是定义在上的单调增函数，满足 f； 若ff2，求x的取值范围。 分析：由题设可猜测f是对数函数解：，求： 的抽象函数，f0，f2。 ，f0。 ，从而有fff， 4 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 即，f是上的增函数，故 ，解之得：8x9。 例6、设函数yf的反函数是yg。如果fff，那么gg·g是否正确，试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测yf是对数函数的抽象函数，又yf的反函数是yg，yg必为指数函数的抽象函数，于是猜想gg·g正确。 解：设fm，fn，由于g是f的反函数，ga，gb，从而，g·gg，以a、b分别代替上式中的m、n即得gg·g。 4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。 例7、己知函数f的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： 当是定义域中的数时，有； f1； 当0x2a时，f0。 试问：f的奇偶性如何？说明理由。 在上,f的单调性如何？说明理由。 分析: 由题设知f是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f是奇函数且在上是增函数。 是定义域中的数时有 解：f的定义域关于原点对称，且，在定义域中。 ， f是奇函数。 设0x1x22a，则0x2x12a，在上f0， f，f，f均小于零，进而知 f，在上f是增函数。 中的，于是f 5 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 又设2ax4a，则0x2a2a， ，f1，f0，于是f0，即在上f0。设2ax1x24a，则0x2x12a，从而知f，f均大于零。f0，即 ff，即f在上也是增函数。综上所述，f在上是增函数。 5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 例8、已知函数f对任意实数x、y都有ff·f，且f1，f9，当时，。 判断f的奇偶性； 判断f在0，）上的单调性，并给出证明； 若，求a的取值范围。 分析：由题设可知f是幂函数的抽象函数，从而可猜想f是偶函数，且在0，）上是增函数。 解：令y1，则ff·f，f1， ff，f为偶函数。 设， 时，ff，故f在0，）上是增函数。 ， f9，又，又，故， 。 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 6 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 一、定义域问题 例1. 已知函数的定义域是1，2，求f(x)的定义域。 ，所以中的满足中x的取值解：的定义域是1，2，是指从而函数f(x)的定义域是1，4 评析：一般地，已知函数范围为A，据此求例2. 已知函数解：的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知的值域问题。 的定义域是，求函数的定义域。 中，由此可得的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在所以函数的定义域是的定义域。正确理解函数符的值域B，且，据此评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。 二、求值问题 例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：，求f(3)，f(9)的值。 解：取因为又取得，得，所以；评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题 例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，使得解：令若，则成立矛盾，故由于对任意，必有，求函数，得的值域。 ，即有或，对任意。 ，有 。 均成立，这与存在实数，使得总成立，且存在，均成立，因此，对任意 下面来证明，对任意设存在 ，则矛盾，因此，对任意7 ，使得 这与上面已证的重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 所以 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 例5. 设对满足解：在的所有实数x，函数中以 再在(1)中以代换x，得 化简得：满足代换其中x，得： ，求f(x)的解析式。 评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题 例6. 设f(x)定义于实数集上，当求证：证明：在若所以当而所以又当时，恒有，则 时，令，即有在R上为增函数。 中取，则 ；当 时，得，与矛盾 时，且对于任意实数x、y，有，所以对任意设所以所以在R上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例7. 已知函数判断函数f(x)的奇偶性。 解：取又取再取对任意不等于零的实数，所以，所以，即8 都有 ，试得：得：则重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 因为为非零函数，所以七、对称性问题 例8. 已知函数满足为偶函数。 ，求中取的值。 ，所以函数的图象解：已知式即在对称关系式关于点对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数称。 所以的图象关于点对将上式中的x用代换，得 评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足对称图形。 八、网络综合问题 例9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有判断f(x)的单调性； 设， ，若解：在。 在因为当所以当而所以又当x=0时，设所以所以在R上为减函数。 时，时，所以，综上可知，对于任意，则 ，均有。 中，令 中，令，试确定a的取值范围。 ，得，因为，所以，则函数的图象关于点成中心，且当x>0时，0<f(x)<1。 由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以即有又，根据函数的单调性，有由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。 评析：要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 9 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0，求f(2000)的值。 解：由f(2-x)+f(x-2)=0， 以t=代入，有f(-t)=f(t)， x-2 f(x)为奇函数且有f(0)=0 又由f(x+4)=f4-(-x) =f(-x)=-f(x) f(x+8) =-f(x+4)=f(x) 故f(x)是周期为8的周期函数， f(2000)=f(0)=0 例2 已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时， f(x)>0，f(-1)=-2，求f(x)在-2，1上的值域。 解：设x1<x2 且x1，x2ÎR， 则x2-x1>0， 由条件当x>0时，f(x)>0 f(x-x)>021 又f(x2)=f(x2-x1)+x1 =f(x2-x1)+f(x1)>f(x1) f(x)为增函数， 令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x) 又令x=y=0 得f(0)=0 10 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION f(-x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数， f(1)=-f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4 f(x)在-2，1上的值域为-4，2 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例3 已知f(x)是定义在上的偶函数，且在上为增函数，满足f(a-2)-f(4-a2)<0，试确定a的取值范围。 解：Qf(x)是偶函数，且在上是增函数， f(x)在(-1，0)上是减函数， ì-1<a-2<1 由í得3<a<5。 2î-1<4-a<1 当a=2时， f(a-2)=f(4-a2)=f(0)，不等式不成立。 当3<a<2时， f(a-2)<f(4-a2)ì-1<a-2<0ï22 =f(a-4)Ûí-1<a-4<0 ïa-2>a2-4î解之得，3<a<2 当2<a<5时， f(a-2)<f(4-a) 2ì0<a-2<1ï=f(a2-4)Ûí0<a2-4<1 ïa-2<a2-4 î解之得，2<a<511 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 综上所述，所求a的取值范围是(3，2)U(2，5)。 例4 已知f(x)是定义在(-¥，1上的减函数，若f(m2-sinx)£f(m+1+cos2x)对xÎR恒成立，求实数m的取值范围。 ìm2-sinx£3ï 解：Qím+1+cos2x£3 ïm2-sinx³m+1+cos2xî2ìïm-sinx£3 对xÎR恒成立Ûí2 2ïîm-sinx³m+1+cosx 对xÎR恒成立Û ìm2-3£sinxï í2125 2ïm-m-1³sinx+cosx=-(sinx-2)+4î 对xÎR恒成立， ìm2-3£1ïí25m-m-1³ ï4î-2£m£三. 解不等式 1-10为所求。2 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解。 例5 已知函数f(x)对任意x，yÎR有f(x)+f(y)=2+f(x+y)，当x>0时，f(x)>2，f(3)=5，求不等式f(a2-2a-2)<3的解集。 解：设x1、x2ÎR且x1<x2 则x2-x1>0 ， f(x-x)>221 即f(x2-x1)-2>0， f(x2)=f(x2-x1)+x1 =f(x2-x1)+f(x1)-2>f(x1) f(x2)>f(x1) 故f(x)为增函数， 12 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 又f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=3f(1)-4=5 f(1)=3f(a2-2a-2)<3=f(1)，即a-2a-2<1-1<a<32 因此不等式f(a2-2a-2)<3的解集为a|-1<a<3。 四. 证明某些问题 例6 设f(x)定义在R上且对任意的x有f(x)=f(x+1)-f(x+2)，求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期。 分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f(x+T)=f(x)则f(x)为周期函数，且周期为T。 证明：Qf(x)=f(x+1)-f(x+2) f(x+1)=f(x+2)-f(x+3) (1)+(2)得f(x)=-f(x+3) 由得f(x+3)=-f(x+6)(1) (2) (3) (4) 由和得f(x)=f(x+6)。 上式对任意xÎR都成立，因此f(x)是周期函数，且周期为6。 例7 已知f(x)对一切x，y，满足f(0)¹0，f(x+y)=f(x)×f(y)，且当x<0时，f(x)>1，求证：x>0时，0<f(x)<1；f(x)在R上为减函数。 证明：Q对一切x，yÎR有f(x+y)=f(x)×f(y)。 且f(0)¹0，令x=y=0，得f(0)=1， 现设x>0，则-x<0，f(-x)>1， 而f(0)=f(x)×f(-x)=1 f(-x)=1>1 f(x) 0<f(x)<1， 13 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 设x1，x2ÎR且x1<x2， 则0<f(x2-x1)<1， f(x2)=f(x2-x1)+x1 =f(x2-x1)×f(x1)<f(x1) f(x1)>f(x2)， 即f(x)为减函数。 五. 综合问题求解 抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。 例8 设函数y=f(x)定义在R上，当x>0时，f(x)>1，且对任意m，n，有f(m+n)=f(m)×f(n)，当m¹n时f(m)¹f(n)。 证明f(0)=1； 证明：f(x)在R上是增函数； 22 设A=(x，y)|f(x)×f(y)<f(1)， B=(x，y)|f(ax+by+c)=1，a，b，cÎR，a¹0，若AIB=Æ，求a，b，c满足的条件。 解：令m得f， =n00=f0×f0 f(0)=0或f(0)=1。 若f(0，这与当m时，f(¹0时，有fm¹n)=0，当m(+=0)fm×f(0)m)¹f(n)矛盾， 。 f(0)=1 设x，由已知得f(，因为x1³0，f(x，若x1<0时，x0xx)>1)>11<x2，则x2-1>2-11->x，f(-x)>1，由f (0)=fx×f(-x)10111 14 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 1>0f(-x1) f(x2)=f(x2-x1)×f(x1)>f(x1) f(x1)=f(x)在R上为增函数。22 由f(x)×f(y)<f(1)得x+y<11 22 由f得a (ax+by+c)=1x+by+c=022222I=Æ 从、中消去y得(，因为AB a+b)x+2acx+-<cb022222 ， D=(2ac)-4(a+b)(cb-<)0 即a+b<c 例9 定义在上的函数f(x)满足，对任意x都有f(x)+f(y)=f(，yÎ(-1，1)222x+y )，1+xy 当xÎ-(1，0)时，有f(x)>0， 试判断f(x)的奇偶性；判断f(x)的单调性； 求证f+f+f(21511111。 )>f2n+31n 分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。 解：对条件中的x，y，令x=y=0，再令y=-x可得 íf(0)+f(0)=f(0)ìf(0)=0ìÞ，所以f(x)是奇函数。 ífx+f(-x)=0f(-x)=-fxîî 设-，则fx-fx=fx+f(-x)=f(11<x<x<0121212 Q， x-x<0，0<<xx12121 x-x2 )1-xx12x1-x2x-x<0，由条件知f(12)>0，从而有f，即f(，(x)-f(x)>0x)>f(x)12121-x1x21-x1x2x)在(-1，0)上单调递减，由奇函数性质可知，f(x)在上仍是单调减函数。 故f( Qf(1) 2n+3n+1 15 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION =f(1)(n+1)(n+2)-11-1ù+ú +1n+2ú1-1ún+1n+2úûéên=fêê1+êë1-1)+fn+1n+211=f-f，n+1n+2111f+f+f(2)511n+3n+1 111111=f-f+f-f+f-f2334n+1n+211=f-f2n+211Q0<<1，f<0n+2n+2=f(111f-f>f2n+221111f+f+f(2)>f。5112n+3n+1抽象函数问题分类解析 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1. 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数fg(x)中的g(x)看作一个整体，相当于f(x)中的x这一特性，问题就会迎刃而解。 例1. 函数y=f(x的定义域是_。 ，1，则函数y=flog(x-2)的定义域为(-¥2 分析：因为l，解得 og(2)相当于f(x)中的x，所以log(2)£12x-2x-2222<x£2或-2£x<-2。 =f(x+a)+f(x-a)(|a|£) 例2. 已知f(x)的定义域为(0，1)，则y的定义域是_。 -a+a 分析：因为x及x均相当于f(x)中的x，所以 16 12重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION í0<x+a<1ì-<ax<-1aì Þí0<x-a<1a<x<+1aîî1 £a£0时，则xÎ(-a，1+a)21 (2)当0<a£时，则xÎ(a，1-a) 2 (1)当- 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(x)与f(-x)的关系。 例3. 已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y满足fx，求证：f(x)是偶函数。 (y)=fx+fy 分析：在fx中，令x=y=， 1(y)=fx+fy 得f (1)=f(1)+f(1)Þf(1)=0 令x=，得f y=-1(1)=f(-1)+f(-1)Þf(-1)=0 于是fx (-)=f(-1×=x)f(-1)+=f(x)f(x) 故f(x)是偶函数。 例4. 若函数y与y=-=fxf(x¹0)f(x)的图象关于原点对称，求证：函数 y=f(x)是偶函数。 证明：设y=f(x)图象上任意一点为P Qy=fx与y=-f(x)的图象关于原点对称， 在y=-P(x，y)关于原点的对称点(-x，-y)f(x)的图象上， 0000-y0=-f(-x0) y0=f(-x0) 又yf(x) 0=0 f(-x)=fx(0)0 即对于函数定义域上的任意x都有f(-x)=f(x)，所以y=f(x)是偶函数。 3. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 7，-3上是 例5. 如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且有最小值为5，那么f(x)在区间-17 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION A. 增函数且最小值为-5 C. 减函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。 y 图1 例6. 已知偶函数f(x)在(0，+¥)上是减函数，问f(x)在 5 O -7 -3 3 7 x (-¥，0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 -5 分析：如图2所示，易知f(x)在(- ¥，0)上是增函数，证明如下： 任取xx <<0Þ-x>-x>01212 因为f(x)在(0。 ，+¥)上是减函数，所以f(-x)<f(-x)12 又f(x)是偶函数，所以 f， (-x)=f(xf)，(-x)=f(x)1122 从而f(，故f(x)在(-¥，0)上是增函数。 x)<f(x)12