抽象函数习题精讲.docx

抽象函数习题精讲习题精选精讲 含有函数记号“由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)”有关问题解法 f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。 表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生x)=2x+1,求f(x). x+1xuu2-u=u,则x=+1=解：设f(u)=2x+11-u1-u1-u例1：已知 f(f(x)=2-x 1-x2.凑合法：在已知f(g(x)=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知11f(x+)=x3+3xx，求f(x) 解：1111111f(x+)=(x+)(x2-1+2)=(x+)(x+)2-3)又|x+|=|x|+³1 xxxxxx|x|f(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3 已知解:设f(x)二次实函数，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x). f(x)=ax2+bx+c，则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c ì2(a+c)=41313ï22Þa=,b=1,c=f(x)=x2+x+ =2ax+2bx+2(a+c)=x+2x+4比较系数得í2a=12222ï2b=2î4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)=lg(x+1),求f(x) f(x)为奇函数，f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。-x>0,f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x), f(x)为奇函数，lg(1-x)=f(-x)=-f(x)当x<0时f(x)=-lg(1-x)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)=ìlg(1+x),x³0 f(x)=í-lg(1-x),x<0î例5一已知解：1， 求f(x),g(x). x-1f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), f(x)+g(x)=1 中的x, x-1不妨用-x代换习题精选精讲 11即f(x)g(x)=- -x-1x+11x显见+即可消去g(x),求出函数f(x)=2再代入求出g(x)=2 x-1x-1f(-x)+g(-x)=5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出例6：设解：f(x)的表达式 f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x) f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1 f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3f(n)=f(n-1)+n n(n+1)1以上各式相加，有f(n)=1+2+3+n=f(x)=x(x+1),xÎN 22二、利用函数性质，解f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性： 例7 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)¹0,求证f(x)为偶函数。 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y) 证明：令x=0, 则已知等式变为在中令y=0则2f(0)=2f(0) f(0)0f(0)=1f(y)+f(-y)=2f(y)f(-y)=f(y)f(x)为偶函数。 2.确定参数的取值范围 例8：奇函数解：由f(x)在定义域内递减，求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围。 f(1-m)+f(1-m2)<0得f(1-m)<-f(1-m2)，f(x)为函数，f(1-m)<f(m2-1) ì-1<1-m<1ï又f(x)在内递减，í-1<m2-1<1Þ0<m<1 ï1-m>m2-1î3.解不定式的有关题目 例9：如果f(x)=ax2+bx+c对任意的t有f(2+t)=f2-t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小 f(2+t)=f2-t)x=2为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴 解：对任意t有又其开口向上f(2)最小，f(1)=f(3)在2，)上，f(x)为增函数 f(3)<f(4),f(2)<f(1)<f(4) 五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例1、已知函数f对任意实数x，y，均有fff，且当x0时，f0，f2，求f在区间2，1上的值域。 分析：由题设可知，函数f是的抽象函数，因此求函数f的值域，关键在于研究它的单调性。 习题精选精讲 解：设在条件中，令yx，则为奇函数， ff2，又f2 f4， f的值域为4，2。 例2、已知函数f对任意，满足条件ff2 + f，且当x0时，f2，f5，求不，即，当， ，f为增函数。 ，再令xy0，则f2 f， f0，故ff，f， 等式的解。 分析：由题设条件可猜测：f是yx2的抽象函数，且f为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，当， 即，f为单调增函数。 ， 又f5，f3。，则，2、指数函数型抽象函数 ， 即，解得不等式的解为1 < a < 3。 例3、设函数f的定义域是，满足条件：存在成立。求： f； 对任意值x，判断f值的正负。 分析：由题设可猜测f是指数函数解：令y0代入。若f0，则对任意令yx0，则，使得，对任何x和y，的抽象函数，从而猜想f1且f0。 ，则， ，这与题设矛盾，f0，f1。 ，有，又由知f0，f0，即f0，故对任意x，f0恒成立。 例4、是否存在函数f，使下列三个条件：f0，x N；时成立？若存在，求出f的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在x1时，又由f4可得a2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下： ，结论正确。 ；f4。同，又x N时，f0，习题精选精讲 假设结论正确。 综上所述，x为一切自然数时3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f是定义在上的单调增函数，满足 f； 若ff2，求x的取值范围。 分析：由题设可猜测f是对数函数解：即的抽象函数，f0，f2。 ，f0。 ，从而有fff， ，f是上的增函数，故 ，求： 。 时有，则xk1时，xk1时，解之得：8x9。 例6、设函数yf的反函数是yg。如果fff，那么gg·g是否正确，试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测yf是对数函数的抽象函数，又yf的反函数是yg，yg必为指数函数的抽象函数，于是猜想gg·g正确。 解：设fm，fn，由于g是f的反函数，ga，gb，从而，g·gg，以a、b分别代替上式中的m、n即得gg·g。 4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。 例7、己知函数f的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： 当是定义域中的数时，有； f1； 当0x2a时，f0。 试问：f的奇偶性如何？说明理由。 在上,f的单调性如何？说明理由。 分析: 由题设知f是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f是奇函数且在上是增函数。 习题精选精讲 解：f的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有 ，在定义域中。 ， f是奇函数。 设0x1x22a，则0x2x12a，在上f0， f，f，f均小于零，进而知上f是增函数。 中的，于是f f，在又x2a2a， ，f1，f0，设2ax4a，则0，于是f0，即在上f0。设2ax1x24a，则0x2x12a，从而知f，f均大于零。f0，即 ff，即f在上也是增函数。综上所述，f在上是增函数。 5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 例8、已知函数f对任意实数x、y都有ff·f，且f1，f9，当判断f的奇偶性； 判断f在0，）上的单调性，并给出证明； 若，求a的取值范围。 时，。 分析：由题设可知f是幂函数的抽象函数，从而可猜想f是偶函数，且在0，）上是增函数。 解：令y1，则ff·f，f1， ff，f为偶函数。 设， 时，ff，故f在0，）上是增函数。 ， f9，又， 习题精选精讲 ，又，故。 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1. 已知函数的定义域是1，2，求f(x)的定义域。 ，所以中的满足中x的取值范围为A，据此求的解：的定义域是1，2，是指从而函数f(x)的定义域是1，4 评析：一般地，已知函数值域问题。 例2. 已知函数解：的定义域是的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知，求函数的定义域。 中，由此可得的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在所以函数的定义域是的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。 评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知二、求值问题 的值域B，且例3. 已知定义域为的值。 解：取的函数f(x)，同时满足下列条件：，得；，求f(3)，f(9)因为又取，所以 得 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题 例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，求函数解：令若立矛盾，故由于，则，必有对任意。 的值域。 ，得，即有或，对任意，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了总成立，且存在，使得，。 均成立，这与存在实数，使得成均成立，因此，对任意，有 下面来证明，对任意设存在，使得，则习题精选精讲 这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。 解：在中以代换其中x，得： 再在(1)中以代换x，得 化简得： 评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题 例6. 设f(x)定义于实数集上，当上为增函数。 证明：在若所以当而时，令，即有中取，则 ；当 时，时，且对于任意实数x、y，有，求证：在R，得，与矛盾 所以又当所以对任意设所以时，恒有，则所以在R上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例7. 已知函数性。 解：取又取再取得：则为偶函数。 得：对任意不等于零的实数，所以，所以，即 都有，试判断函数f(x)的奇偶因为为非零函数，所以七、对称性问题 习题精选精讲 例8. 已知函数满足，求中取的值。 ，所以函数的图象关于点对解：已知式即在对称关系式称。根据原函数与其反函数的关系，知函数所以将上式中的x用代换，得的图象关于点对称。 对一切实数x都满评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数足八、网络综合问题 ，则函数的图象关于点成中心对称图形。 例9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有判断f(x)的单调性； 设， ，若解：在在因为当所以当而时，时 中，令 中，令，且当x>0时，0<f(x)<1。 ，试确定a的取值范围。 ，得，因为，所以。 所以又当x=0时，设所以所以，所以，综上可知，对于任意，则，均有 在R上为减函数。 。 由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以即有又，根据函数的单调性，有由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。 评析：要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。