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抛物线经典例题抛物线习题精选精讲 抛物线二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. P为抛物线y2=2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴 A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由P确定 如图，抛物线的焦点为Fçl:x=-p2æpö,0÷，准线是 è2øYHQNOp2PMF(p2,0).作PHl于H，交y轴于Q，那么PF=PH， p212且QH=OF=中位线，MN=.作MNy轴于N则MN是梯形PQOF的 X(OF+PQ)=12PH=12PF.故以 l:x=-PF为直径的圆与y轴相切，选B. 相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. y=2px2焦点弦常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 过抛物线y2=2px(pf0)的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求证： AB=x1+x2+p 1AF+1BF=2p如图设抛物线的准线为l，作 AA1lA1,BB1l于B1，则AF=AA1=x1+BF=BB1=x2+p2p2， YA1A(x1,y)1.两式相加即得： AB=x1+x2+p 当ABx轴时，有 AF=BF=p，1AF+1BF=2pFB1B(x,y)22l成立； X当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：pöæy=kçx-÷.代入抛物线方程： 2øè- 1 - - 1 - ppö22222æk=0kçx-÷=2px.化简得：kx-p(k+2)x+42øè22(1) 方程之二根为x1，x2，x×x2=11AF+1BF=1AA1+1BB1=1x1+p2+k24. x1+x2+px1x2+p21x2+p2=(x1+x2)+p24=x1+x2+pp24+p2(x1+x2)+p2=x1+x2+pp2=2p. 4(x1+x2+p)1AF+1故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有 BF=2p成立. 切线抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功. 证明：过抛物线y2=2px上一点M的切线方程是：y0y=p 对方程y2=2px两边取导数：2y×y¢=2p，y¢=py.切线的斜率 k=y¢x=x0=py0.由点斜式方程：y-y0=py0(x-x0)Þy0y=px-px0+y02(1) Qy0=2px0，代入即得： y0y=p 2定点与定值抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 2例如：1.一动圆的圆心在抛物线y=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则此动圆必过定点 A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2) 显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线y=2px的通径长为2p； 223.设抛物线y=2px过焦点的弦两端分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，那么：y1y2=-p 2以下再举一例 - 2 - - 2 - 设抛物线y2=2px的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点 假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明. 如图设焦点两端分别为A(x1,y1),B(x2,y2)， 那么：y1y2=-pÞCA1×CB1=y1y2=p. 设抛物线的准线交x轴于C，那么CF=p. DA1FB1中CF2A1Y1A22MCB1BFX=CA1×CB1.故ÐA1FB1=90°. 这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法 特法 妙法 解析法为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题. 已知抛物线 y=-x+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段 AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下. 点A、B关于直线x+y=0对称，设直线ABy=+x为：. 由ìy=x+m2Þx+x+m-3=0í2îy=-x+3AMOX2YB的方程lÿx+y=0(1) 设方程之两根为x1，x2，则x1+x2=-1. 设AB的中点为M，则x0=x1+x22=-12.代入x+y=0：y0=12.故有Mç-èæ11ö,÷. 22ø从而m=y-x=1.直线AB的方程为：y=x+1.方程成为：x+x-2=0.解得： ，B.AB=32，选C. x=-2,1，从而y=-1,2，故得：A几何法为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法. 2抛物线y=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛2- 3 - - 3 - 物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积 A4 B33 C43 D8 如图直线AF的斜率为3时AFX=60°. AFK为正三角形.设准线l交x轴于M，则FM=p=2, 34KYA且KFM=60°，KF=4,SDAKF=´4=43.选C. 260°MOF(1,0)X平面几何知识：边长为a的正三角形的 L:x=-1面积用公式SD=34=2pxY2a计算. 2 本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单. 定义法追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 双曲线 C1:xa22-yb22=1(a>0，b>0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的线为l，F1F2MF1MF1MF212焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则A-1 B1 -等于 12 C- D 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧. 如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c，离心率为e，作 MHl于H，令 MF1=r1,MF2=r2.点M在抛物线上， Hyr2OM(x,y)MH=MF2=r2,故MF1MH=MF1MF2=r1r2=e， r1F1(-c,0)r2F2(c,0)x这就是说：|MF1|MF2|的实质是离心率e. a2l:x=-c其次，|F1F2|MF1|2cr1与离心率e有什么关系？注意到： F1F2MF1=e×2ar1=e(r1+r2)r11öæ=eç1-÷=e-1. eøè- 4 - - 4 - 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于|F1F2|MF1|-|MF1|MF2|=(e-1)+e=-1.选 A. 三角法本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的. 因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算. A如图，倾斜角为a的直线经过y2抛物线=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。 求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； 若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交 x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。 焦点F，准线l;x=-2. 直线AB：y=tana(x-2)y2M(1). (2) x=8代入，整理得：ytana-8y-16tana=028ìïy1+y2=设方程之二根为y1，y2，则ítana. ïy×y=-16î12y1+y24ì=4cotaïy0=设AB中点为M(x0,y0),则í 2tanaïx=cota×y+2=4cot2a+20î0AB的垂直平分线方程是：y-4cota=-cota(x-4cot2a-2). 令y=0，则x=4cot2a+6，有P(4cot2a+6，0) 故FP=OP-OF=4cot2a+6-2=4(cot2a+1)=4cos2a 于是|FP|-|FP|cos2a=4csca(1-cos2a)=4csca×2sina=8，故为定值. 222消去法合理减负的常用方法. 避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”. 是否存在同时满足下列两条件的直线l：l与抛物线y=8x有两个不同的交点A和B；线段AB被直线l1：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程. 2- 5 - - 5 - 假定在抛物线y2=8x上存在这样的两点A(x1，y1)，B(x2，y2).则有： ìy12=8x1Þí2y=8xî22(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2)ÞkAB=(y1-y2)(x1-x2)15=8(y1+y2)线段AB被直线l1：x+5y-5=0垂直平分，且kl=-，kAB=5，即18(y1+y2)=5 Þy1+y2=85. y1+y22=45设线段AB的中点为M(x0，y0)，则y0=æè4ö.代入x+5y-5=0得x=1.于是： AB中点为Mç1，÷.故存在符合题设条件的直线，其方程为： 5ø y-45=5(x-1)，即：25x-5y-21=0 探索法奔向数学方法的高深层次 有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”. 如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,当n时，这些三角形的面积之和的极限为 . OA=1，图中每个直角三角形的底边长均为21nkækö20÷.代入y=-x+1：y=1-2. 设OA上第k个分点为Pkç，nènø第k个三角形的面积为：ak=11×2nköæ1-. ç2÷nøèù(n-1)(4n+1). ú=212núû Sn-12221+2+L+(n-1)1é=ê(n-1)-22nênë故这些三角形的面积之和的极限S=lim(n-1)(4n+1)12n2n®¥=1öæ1ö1ælimç1-÷ç4+÷= 12n®¥ènøènø31抛物线定义的妙用 对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。 一、求轨迹 例1. 已知动点M的坐标满足方程A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 ，则动点M的轨迹是 - 6 - - 6 - 解：由题意得：即动点到直线的距离等于它到原点的距离 为准线的抛物线。 由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线故选C。 二、求参数的值 例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点解：设抛物线方程为，准线方程：点M到焦点距离与到准线距离相等 解得：抛物线方程为把三、求角 代入得：到焦点距离为5，求m的值。 例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为_。 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° ，则图1 解：如图1，由抛物线的定义知： 则由题意知：即 故选C。 四、求三角形面积 例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若面积。 解析：如图2，不妨设抛物线方程为，点、点 ，。求OPQ的- 7 - - 7 - 图2 则由抛物线定义知：又由即，则得：又PQ为过焦点的弦，所以则所以， 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。 五、求最值 例5. 设P是抛物线上的一个动点。 求点P到点A的距离与点P到直线的距离之和的最小值； 若B，求的最小值。 解：如图3，易知抛物线的焦点为F，准线是 由抛物线的定义知：点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A的距离与点P到F的距离之和最小。 显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。 图3 如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点，则有即的最小值为4 ，则 - 8 - - 8 - 图4 点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。 六、证明 例6. 求证：以抛物线中点M，作MH垂直于H。 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。 证明：如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB图5 由抛物线的定义有：ABDC是直角梯形 即为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。 抛物线与面积问题 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。 例1. 如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为。点C、点D在抛物线上，M为抛物线的顶点。 图1 求抛物线的解析式； 求MCB的面积。 解：设抛物线的解析式为 ，根据题意得 - 9 - - 9 - ，解得 所求的抛物线的解析式为 C点坐标为，OC5 令，则， 解得 B点坐标为，OB5 顶点M的坐标为 过点M作MNAB于点N， 则ON2，MN9 ， 例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。 图2 求出这个二次函数的解析式和对称轴。 在坐标轴上是否存一点P，使PMA中PAPM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。 解：等腰直角OAB的面积为18， OAOB6 M是斜边OB的中点， 点A的坐标为 点M的坐标为 抛物线，解得 解析式为， 对称轴为 答：在x轴、y轴上都存在点P，使PAM中PAPM。 - 10 - - 10 - P点在x轴上，且满足PAPM时，点P坐标为。 P点在y轴上，且满足PAPM时，点P坐标为。 例3. 二次函数和点B。 的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A图3 请判断实数a的取值范围，并说明理由。 设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当AMC的面积为ABC面积的解：由图象可知：当当时，应有，则代入。 ， ， 倍时，求a的值。 ； ；图象过点，所以c1；图象过点，则得，即所以，实数a的取值范围为此时函数要使可求得。 例4. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数的图象以及分别过C、D两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。 图4 求K的值； 求过F、C、D三点的抛物线的解析式； 线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动，过P点作直线PQCD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。 解：点A、B在一次函数且的图象上， - 11 - - 11 - 四边形ABDC的面积为7 。 由F，C，D得 PD1×tt OP4t 即抛物线 2。 xy61已知抛物线D：y=4x的焦点与椭圆Q：2+2=1(a>b>0)的右焦点F1重合，且点P(2,)2ab22在椭圆Q上。求椭圆Q的方程及其离心率；若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求ABF1的面积。 解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点为 椭圆Q的右焦点F1的坐标为。a2-b2=1 (+622b)2又点P(2, 62)在椭圆Q上， (2)a22=1即 2a2+32b2=1 由，解得 a=4,b=3椭圆Q的方程为 22x24+y23=1 离心离 e=ca=1-ba22=12由知F2直线l的方程为 y-0=tan45°(x+1)，即y=x+1 设 ìy=x+188ï227x+8x-8=0,x+x=-,xx=-A(x1,y1)，B(x2,y2)由方程组 íx2消y整理，得 1212y77+=1ï43î- 12 - - 12 - |AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2= 又点F1到直线l的距离 d=21227|1+1|1+(-1)2=2SDABF1=12|AB|d=p41122××272=1272如图所示，抛物线y=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经yN过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积 解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中5m0 由方程组íìy=x+mîy2=4x,消去y,得x2+(2m oMBAx4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(2m4)2 24m=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范围为(5，0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m，x1·x2=m2,|MN|=42(1-m) 点A到直线l的距离为d=5+m2S=2(5+m)1-m,从而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)·(5+m)(5+m)2( S82,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面 2-2m+5+m+5+m3)3=128 积为82 解法二 由题意，可设l与x轴相交于B, l的方程为x = y +m,其中0m5 ìx=y+m由方程组í2,消去x,得y 24 y 4m=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N， îy=4x方程的判别式=(4)2+16m=16(1+m)0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=4m, S= 4(52-12m)12(5-m)|y1-y2|=12(5-m)(y1+y2)-4y1y2 2(1+m)=4(52-12m)(52-12m)(1+m) - 13 - - 13 - 51æ51ö(-m)+(-m)+(1+m)ç÷5122£4ç22÷=82S82,当且仅当(-m)=(1+m)即m=1时取等223ç÷èø3号 故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为82 3已知O为坐标原点，P(a,0)(a>0)为x轴上一动点，过P作直线交抛物线y2=2px(p>0)于A、B两点，设SAOB=t×tanÐAOB，试问：a为何值时，t取得最小值，并求出最小值。 解：交AB与x轴不重叠时，设AB的方程为y=k(x-e) ìy=k(x-a)合í2 消y可得：k2x2-2(k2a+p)x+k2a2=0 îy=2px设A(x1,y1) B(x2,y2) 则x1x2=a2，y1y2=-2Pa 交AB与x轴重叠 时，上述结论仍然成立 SOAOB=12OA×OBsinÐAOB=12OA´OBconÐAOB´linÐAOB t=12OA´OBconÐAOB又OA×OB×conÐAOB=OA×OB=x1x2+y1y2 t=(x1x2+y1y2)=(a-2ap)=(a-p)-p-当a=p时 取“=”， 综上 当 222221121212p2e=p时 tmin=-p22- 14 - - 14 -