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成考专升本高等数学复习资料修改资料东莞电子计算培训中心 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 2.函数的极限： 当x®¥时，f(x)的极限： limf(x)=Aö x®-¥÷Ûlimf(x)=A x®¥limf(x)=A÷x®+¥ø当x®x0时， x®x0f(x)的极限： f(x)=A 右极限：limf(x)=A limf(x)=A 左极限：lim-x®x0+x®x0函数极限存的充要条件： 定理：limf(x)=AÛlimf(x)=limf(x)=A x®x0-x®x0+x®x0上述定理通常用于证明极限是否存在。 无穷大量和无穷小量 1 无穷大量：limf(x)=+¥ 称在该变化过程中f(x)为无穷大量。 limf(x)=0 称在该变化过程中为无穷小量。 X再某个变化过程是指： 2 3 无穷小量：f(x)无穷大量与无穷小量的关系： limf(x)=0Ûlim1f(x)=+¥,(f(x)¹0) 定理： 无穷大量与无穷小量是倒数关系。 4 无穷小量的比较：lima=0,limb=0 无穷小量和无穷大量的性质 上述要理解。 定理：若：a1b1，a2b2； a1a2 则：lim=limb1b2 两面夹定理 1 数列极限存在的判定准则： 设： 且： yn£xn£zn limyn=limzn=an®¥n®¥ 则： limxn=a n®¥则：limf(x)=A x®x0极限的运算规则 是极限的性质，在读专科的时候就要熟悉。 两个重要极限 1 东莞电子计算培训中心 1limsinx=1 或 limsinj(x)=1 x®0j(x)®0xj(x) 2lim(1+x®¥11x)=e lim(1+x)x=e x®0x在证明0/0型极限的时候大家要用无穷小代换定理和 §1.3 连续 一、 主要内容 函数的连续性 1. 函数在x0处连续：f(x)在x0的邻域内有定义， Dx®0o 1limDy=limf(x0+Dx)-f(x0)=0 Dx®0o 2limf(x)=f(x0) x®x0 左连续：limf(x)=f(x0) -x®x0 右连续：+x®x0limf(x)=f(x0)2. 函数在x0处连续的必要条件： 定理：f(x)在 函数在 定理：x0处连续Þf(x)在x0处极限存在 x0处连续的充要条件： x®x0limf(x)=f(x0)Ûlimf(x)=limf(x)=f(x0) -+x®x0x®x03. 函数在a,b上连续： f(x)在 在端点a,b上每一点都连续。 连续是指： limx®a+a和bf(x)=f(a) 左端点右连续； limf(x)=f(b) 右端点左连续。 注意区分区间联系和点联系的定义。 x®b-4. 函数的间断点： 若f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点。 间断点有三种情况： 两类间断点的判断： o 1第一类间断点： o 2第二类间断点： 3无穷间断点： 函数在1. 2. 3. x0处连续的性质 连续函数的四则运算： 复合函数的连续性： 反函数的连续性： 2 东莞电子计算培训中心 以上看书。书上重点列出。 函数在a,b上连续的性质 1.最大值与最小值定理： f(x)在a,b上连续Þf(x)在a,b上一定存在最大值与最小值。 先求驻点， 求出驻点和A点及B点的函数值。 最大为最大值，最小为最小值。 1. 有界定理： 3.介值定理： f(x)在a,b上连续f(x)=cÞ在使得：(a,b)内至少存在一点 x，与异号 f(x)， 推论： 在a,b上连续，且f(a)f(b)Þ在(a,b)内至少存在一点x，使得：f(x)=0。 4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 导数的概念 1导数：y=f(x)在 Dx®0x0的某个邻域内有定义， f(x0)limf(x0+Dx)-Dy=limDx®0DxDx=limy¢x=x0x®x0f(x)-f(x0)x-x0dydxx=x0=f¢(x0)= 2左导数：¢(x0)=limf-x®x0f(x)-f(x0)x-x0x-x0右导数：f¢(x)=limf(x)-f(x0) +0+x®x0 定理：f(x)在x0的左邻域上连续在 其内可导，且极限存在； 则：¢(x0)=limf-f¢(x) -x®x0x®x0 +3.函数可导的必要条件： 定理：f(x)在x0处可导Þf(x)在x0处连续 3 东莞电子计算培训中心 4. 函数可导的充要条件： 定理：y¢x=x0=f¢(x0)存在¢(x0)=f+¢(x0)， Þf- 且存在。 求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算。 3.复合函数的导数： y=f(u),u=j(x),y=fj(x) dydydu，或 fj(x)¢=f¢j(x)×j¢(x) =×dxdudx注意 fj(x)¢与f¢j(x)的区别： fj(x)¢表示复合函数对自变量x求导； 或f(3)f¢j(x)表示复合函数对中间变量j(x)求导。 f¢¢(x),f¢¢¢(x),(n-1)4.高阶导数： (x)f(n)(x)=f(x)¢,(n=2,3,4L) 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 微分的概念 1.微分：f(x)在 x的某个邻域内有定义， Dy=A(x)×Dx+o(Dx) 其中：A(x)与limDx无关，o(Dx)是比Dx较高 阶的无穷小量，即：y=f(x)在Dx®0o(Dx)=0Dx 则称x处可微，记作： dy=A(x)Dx 2.导数与微分的等价关系： 定理：dy=A(x)dx (Dx®0) f(x) 在x处可微Þf(x)在x处可导，且：f¢(x)=A(x) 3.微分形式不变性： dy=f¢(u)du 不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分dy都具有相同的形式。 重点要自己练习导数，推出导数的所有过程。 §2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 中值定理 1.罗尔定理: f(x)满足条件: 4 东莞电子计算培训中心 10a,b上连续ü；在(a,b)内至少.在ï 20在(a,b)内可导;ýÞ存在一点x, .30f(a)=f(b).ï使得f¢(x)=0.þ 2.拉格朗日定理：f(x)满足条件: ü10在a,b上连续，ýÞ02在(a,b)内可导；þ在一点x，使得：f(b)-f(a)f¢(x)=b-a在(a,b)内至少存0罗必塔法则： f(x)1o和g(x)满足条件： limf(x)=0limg(x)=0x®ax®a(或¥）； (或¥）2在点a的某个邻域内可导，且g¢(x)¹0； olim3x®a(¥)of¢(x)=A, g¢(x)lim 则：x®a(¥)of(x)f¢(x)=lim=A, x®a(¥)g¢(x)g(x)注意：1法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 o 2若不满足法则的条件，不能使用法则。 0¥ 即不是型或型时，不可求导。 0¥ 3应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4若oof¢(x)和g¢(x)还满足法则的条件， f(x)=g(x)limf¢(x)=g¢(x)lim¢(x)f¢=A¢(x)g¢ 可以继续使用法则，即： x®a(¥)limx®a(¥)x®a(¥)05若函数是0×¥,¥-¥型可采用代数变形，化成0o¥或¥型；若是1¥,00,¥0型可 0 采用对数或指数变形，化成0导数的应用 1 切线方程和法线方程： 设¥或¥型。 ：y=f(x),M(x0,y0)5 切线方程：东莞电子计算培训中心 y-y0=f¢(x0)(x-x0)y-y0=-1(x-x0),f¢(x0)法线方 程：(f¢(x0)¹0)2 曲线的单调性： f¢(x)³0xÎ(a,b)Þf(x)在(a,b)内单调增加 ；f¢(x)£0xÎ(a,b)Þf(x)在(a,b)内单调减少；f¢(x)>0f¢(x)<0用中值定理 3.函数的极值： 极值的定义： xÎ(a,b)Þ在(a,b)内严格单调增加； 。内严格单调减少xÎ(a,b)Þ在(a,b)设f(x)在(a,b)内有定义，若对于x0是(a,b)内的一点； x0的某个邻域内的任意点x¹x0，都有： f(x0)³f(x)或f(x0)£f(x) 则称称f(x0)是f(x)的一个极大值， x0为f(x)的极大值点。 f(x0)=0 极值存在的必要条件： 10.f(x)存在极值f(x0)üýÞ20.f¢(x0)存在。þ定理：x0称为f(x)的驻点 极值存在的充分条件： 定理一： ü10.f(x)在x0处连续；ï20.f¢(x0)=0或f¢(x0)不存在；ýÞï30.f¢(x)过x0时变号。þf(x0)是极值；x0是极值点。定理二：üf(x0)是极值；10.f¢(x0)=0；ýÞ0¢(x0)存在。x0是极值点。2.f¢þ 若 若¢(x0)<0f(x0)为极大值； f¢，则¢(x0)>0f¢，则f(x0)为极小值。 注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4曲线的凹向及拐点： 6 东莞电子计算培训中心 若若f¢¢(x)>0,xÎ(a,b)；f(x)在(a,b)内是上凹的则，； f¢¢(x)<0,xÎ(a,b)；则f(x)在(a,b)内是下凹的，； ¢(x0)=0ü(x0,f(x0)称10.f¢，Þý0¢¢(x)过x0时变号。为f(x)的拐点。2.fþ 5。曲线的渐近线： 水平渐近线： 若lim或limx®-¥x®+¥f(x)=Aüy=A是f(x)ïÞýf(x)=Aï的水平渐近线。þ 铅直渐近线： 若lim-或lim+x®Cx®Cf(x)=¥üx=C是f(x)ïÞýf(x)=¥ï的铅直渐近线。þ 第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分 一、主要内容 重要的概念及性质： 1原函数：设：f(x), 则称F(x),xÎD 若：F¢(x)=f(x)F(x)是f(x)的一个原函数， 并称F(x)+C是f(x)的所有原函数, 其中C是任意常数。 2不定积分： 函数f(x)的所有原函数的全体， 称为函数 f(x)的不定积分；记作： òf(x)dx=F(x)+C 其中：f(x)称为被积函数； f(x)dx称为被积表达式；¢f(x) 或：dx 称为积分变量。 3. 不定积分的性质： òòòf(x)dx=òf(x)dx=f(x)dx f¢(x)dx=f(x)+C 或：òdf(x)=f(x)+C f1(x)+f2(x)+L+fn(x)dx =òf1(x)dx+òf2(x)dx+L+òfn(x)dx 分项积分法 òkf(x)dx=kòf(x)dx (k为非零常数) 4.基本积分公式： 换元积分法： 第一换元法： 7 东莞电子计算培训中心 òfj(x)j¢(x)dx=Ý凑微元=Ýòfj(x)dj(x) 令t=j(x)òf(t)dt=F(t)+C回代t=j(x)=ÝFj(x)+C 常用的凑微元函数有： 1dx=o o 11ad(ax)=d(ax+b) (a,b为常数，aa¹0) 2xmdx=11dxm+1=d(axm+1+b) m+1a(m+1) 3exdx=d(ex)=o 1d(aex+b) a(a>0,a¹1) axdx= 4o 1d(ax),lna1dx=d(lnx) x 5 sindxo=-d(cosx)cosxdx=d(sinx) sec 6 o2xdx=d(tanx)2csc2xdx=-d(cotx) 11-xdx=d(arcsinx)=-d(arccosx) 1dx=d(arctanx)=-d(arccotx) 21+x 2.第二换元法： òf(x)dx令x=j(t)=Ýòfj(t)dj(t) = òj¢(t)fj(t)dx=ÝFj-1=F(t)+C -1(x)+C 反代t=j(x) 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1 ox=tn,nn为偶数时,t>0 x (当被积函数中有 2 o时) x=asint,(或x=acosx),时) 0£t£p2 (当被积函数中有 3 oa2-x2x=atant,(或x=acott),8 0£t<p2,(0<t£p2) 东莞电子计算培训中心 (当被积函数中有 4 oa2+x2时) x=asect,(或x=acsct),0£t<p2,(0<t£p2) (当被积函数中有 分部积分法： 1. 分部积分公式： x2-a2时) òòudvÝ=u×v-ßòvduu×v¢dx=u×v-òu¢×vdx 2.分部积分法主要针对的类型： òòP(x)sinxdx,P(x)exdx P(x)lnxdxòP(x)cosxdx ò òP(x)arcsinxdx,P(x)arctanaxòòaxP(x)arccosxdx P(x)arccotxdx ò xdx,òesinbxdx,òecosbxdx 其中：P(x)=a0xn+a1xn-1+L+anP(x)=u， 3.选u规律： 在三角函数乘多项式中，令 其余记作dv;简称“三多选多”。 在指数函数乘多项式中，令P(x)=u， 其余记作dv;简称“指多选多”。 在多项式乘对数函数中，令lnx=u， 其余记作dv;简称“多对选对”。 在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为u，其余记作dv;简称“多反选反”。 在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为u，其余记作dv;简称“指三任选”。 简单有理函数积分： §3.2定积分 f(x) 一 主要内容 9 东莞电子计算培训中心 .重要概念与性质 1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 i i òbaf(x)dx=limåDx®0n®¥i=1nx xn-1 b x f(xi)DxixiÎxi-1,xi定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x), 直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。 x轴上方的面积取正号， x 轴下方的面积取负号。 2. 定积分存在定理： 设：y=f(x)xÎa,b 若：f(x)满足下列条件之一: 1o.f(x)连续，xÎa,b;2.f(x)在a,b上有有限个第一类间点断;o3.f(x)在a,b上单调有界;则：f(x)在a,b上可积。若积分存在，则积分值与以下因素无关： 1o与积分变量形式无关即，òbaf(x)dx=òbaf(t)dt;a,b上的划分无关，即a,b可以任意划分2o与在;3o与点xi的选取无关，即xi可以在xi-1,xi上任意选取。f(x)与区间a,b有关。 积分值仅与被积函数 3. 牛顿莱布尼兹公式： b若F(x)是连续函数f(x)在a,b上的任意一个原函数：则：òf(x)dx=F(x)aba=F(b)-F(a)*牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。 4. 原函数存在定理： 若f(x)连续，xÎa,b,xÎ 则：j(x)=j(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，x且：j¢(x)=(òaf(t)dt)¢=f(x)5. 定积分的性质： òxaf(t)dt,a,b 设f(x),g(x)在a,b上可积，则 ： 1oò 2oò3o4oabakf(x)dx=kòabbaf(x)dx baf(x)dx=-òf(x)dx òfòaab(x)±g(x)dx=òbaf(x)dx±òbag(x)dx f(x)dx=0 10 东莞电子计算培训中心 5oòbaf(x)=òcaf(x)dx+òbcf(x)dx(a<c<b)6oò1dx=b-a ab y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x 7f(x)£g(x),ba(a£x£b)ba则òf(x)dx£òg(x)dx8o估值定理：m(b-a)£其中m,M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值。òbaf(x)dx£M(b-a) y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a b x 9积分中值定理：若f(x)连续xÎ使òbaa,b,则：必存在一点xÎa,b,f(x)dx=f(x)×(b-a)定积分的计算： 1. 换元积分 设f(x)连续，xÎa,b，x=j(t) 若j¢(t)连续，tÎa,b, 11 东莞电子计算培训中心 t从a变到b时，j(t)单调地从a变到b, 且当j(a)a=a,j(b)=b, 则：òf(x)dx= 2. 3. 分部积分 bòabbfj(t)×j¢(t)dt òbaudv=u×v广义积分 ba-0òavdu +¥ò+¥-¥f(x)dx=ò-¥f(x)dx+ò0f(x)dx 4. 定积分的导数公式 1 12 东莞电子计算培训中心 2由曲线x=f(y)>0,与y=c,y=d及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积： pòcf2(y)dy图上书上。 d Vy=第四章 多元函数微积分初步 §4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容： . 多元函数的概念自己看书。 . 二元函数的极限和连续： 1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件： 1o在点(x0,y0)的某个领域内有定义。 2olimf(x,y)=A x®x0y®y0则称z=f(x,y)在(x0,y0)极限存在，且等于A。 2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件： 1o在点(x0,y0)的某个领域内有定义。 2olimf(x,y)=x®x0y®y0f(x0,y0)则称z=f(x,y)在(x0,y0)处连续。 .偏导数： 定义:f(x,y),在(x0,y0)点 ¢(x0,y0)=limfxDx®0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)Dx¢(x0,y0)=limfyDy®0f(x0,y0+Dy)-f(x0,y0)Dy¢(x0,y0),fy¢(x0,y0)分别为函数fxf(x,y)在(x0,y0)处对x,y的偏导数。z=f(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为： ¢(x,y)=fx¶f(x,y)¶z=z¢x ¶x¶x¢(x,y)=fy.全微分： 1.定义：z=f(x,y) ¶f(x,y)¶z=z¢y ¶y¶y若Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)13 东莞电子计算培训中心 =ADx+BDy+o(r) 其中，A、B与Dx、Dy无关，o是比 r=Dx2+Dy2较高阶的无穷小量。 则:dz=df(x,y)=ADx+BDy 是z=f(x,y) 在点(x,y)处的全微分。 3. 全微分与偏导数的关系 ¢(x,y),fy¢(x,y)连续，定理：若fx(x,y)ÎD. ¢(x,y)dx+fy¢(x,y)dy 则：z=f(x,y)在点(x,y)处可微且dz=fx.复全函数的偏导数： .隐含数的偏导数： 1.设F(x,y,z)=0,z=f(x,y),且Fz¢¹0 则¢Fy¢¶zFx¶z =-,=-¢¶y¢¶xFzFz2. 设F(x,¢¹0 y)=0,y=f(x),且Fy则¢Fxdy=-¢dxFy.二阶偏导数： ¶2z¶¶z¢¢(x,y)=fxx= 2¶x¶x¶x¶2z¶¶z¢¢(x,y)=fyy= 2¶y¶y¶y¶2z¢¢(x,y)=fxy¶x¶y=¶¶z ¶y¶x¶2z¢¢(x,y)=fyx¶y¶x=¶¶z ¶x¶y¢¢¢¢(x,y)为x,y的连续函数时，结论：当fxfyxy(x,y)和¢¢(x,y)=fyx¢¢(x,y) 则：fxy.二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义： 设z(x,y)在 (x0,y0)某一个邻域内有定义 14 东莞电子计算培训中心 若z(x,y)£z(x0,y0),或z(x,y)³z(x0,y0) 则称z(x0,y0)是z(x,y)的一个极大(或极小)值, 称 (x,y)是z(x,y)的一个极大(或极小)值点。00 极大值和极小值统称为极值， 极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件： 若z=f(x,y)在点(x0,y0)有极值，且在(x0,y0)两个一阶偏导数存在，则： ¢(x0,y0)=0fx¢(x0,y0)=0 fy1o使fx¢(x0,y0)=fy¢(x0,y0)=0的点(x0,y0)， 称为z=f(x,y)的驻点。2o定理的结论是极值存在的必要条件， 而非充分条件。 例：z=y2-x2+1z¢x=-2x=0z¢y=+2y=0ìx0=0 解出驻点íîy0=0z(0,0)=1当x=0,y¹0时，z(0,y)=y2+1>1 当x¹0,y=0时，z(x,0)=-x2+1<1 驻点不一定是极值点。 2. 极值的充分条件： 设：函数y=f(x,y)在(x0,y0)的某个领域内有二阶偏导数，且(x0,y0)为驻点， 若：p=f¢¢(xxy0,y0)2¢¢(x0,y0)×fyy¢¢(x0,y0) -fxx¢¢(x0,y0)<0时，Þf(x0,y0)为极大值。ìfxx当：p<0且í¢¢(x0,y0)>0时，Þf(x0,y0)为极小值。îfxx当：p=0,Þ不能确定。当：p>0,Þf(x0,y0)不是极值。 求二元极值的方法： 1o求一阶偏导数，令两个一阶偏导数等于零， 解出驻点。 极值点。 2o求出p,根据极值的充分条件，判断驻点是否是3o若驻点是极值点，求出极值。 若有问题或者明白得地方可以直接给我电话。陈 15