怎样教学鸡兔同笼问题.docx

怎样教学鸡兔同笼问题怎样教学“鸡兔同笼”问题 甘肃甘南合作市藏族小学 徐忠 关键词：“鸡兔同笼”问题、思维方式、画图法、列表法、置换法、砍足减半法、设元法、理解算理、一题多解、一法多用。 关于“鸡兔同笼”问题在原来的“九年义务教育小学教科书”中很少涉及此类问题，只是偶尔在练习或复习资料中出现三两道变式性“鸡兔同笼”问题的类解题，但现在这个问题在“义务教育课程标准实验教科书”六年级上册中不但涉及而且以“数学广角”知识已独立成章，作为小学数学教学内容的一部分必学知识再现。既然“鸡兔同笼”问题在“新标实验教材”中已作为小学数学教学中的必学知识再现，那么,怎样才能教学好“鸡兔同笼”问题呢？ 首先，我们要根据具体的问题情境，搞清楚何为“鸡兔同笼”问题。 “鸡兔同笼”顾名思义，就是鸡和兔同居在一个笼中，也就是鸡和兔混放在一块儿，根据一些必要的数量求证计算一些未知的数量，来解决问题的一种生活情境题。一般情况下这类问题都是已知鸡兔共有多少只，鸡兔混在一起共有多少条腿，或在问题情境中隐含必要的数量，然后来计算鸡兔各有多少只。其特点是已知鸡兔的头数和总脚数，求鸡兔各有多少只。这也是一个典型的古代趣味数学问题。 如：今有稚兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问稚兔各几何？ 即“今有鸡兔同笼，上有35个头，下有94条腿，鸡和兔各有多- 1 - 少只？”象这样的数学问题，就是典型的“鸡兔同笼”问题。 其次，在明析问题后，如何根据问题情境，探求解答方法呢？ 在数学中，当一个问题提出后，最关键的是如何来解决这个问题，这就要通过正确的数学思维方法和严密的数学逻辑推理来寻求解答方案。 现就以“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有多少只？”这个问题为例疏理一下如何解答“鸡兔同笼”问题。 解法一，观察问题情境，利用画图法，猜想尝试解决画图法。 ··· ··· ··· ··· 一只鸡2只脚 ··· ··· ··· ··· 一只兔4只脚 猜想1.鸡兔四对共24只脚，头数正好，脚还少2只，猜想错误。 猜想2.鸡兔三对共18只脚，还缺2个头，8只脚，那就正好是2只兔子，所以笼中有鸡3只，兔子5只。 这样通过画图排对子，猜测比较计算就得知笼中有鸡3只，兔5只，用这种方法如果数量较大，一时就很难解决问题，只有数量较少时才比较方便可用。 解法二，根据问题情境，列表推理计算，凑碰筛选解决列表法。 鸡 0 1 2 3 . . . 一对鸡兔6只脚。 - 2 - 兔 总脚数 8 32 7 30 6 28 5 26 . . . . . . 符合题意，有鸡3只，兔5只。 利用列表猜凑计算筛选解决这类问题时，一般从脚数最少的鸡开始假定为0个算起，逐次增加个数，来列表求解，这种方法对于数量较大时还是显得比较麻烦，不太方便，对于数量少的情况比较适用。 解法三，通过假设改变问题情境，转化代换，比较置换计算来解决问题置换法 假定笼子里全是鸡，把笼子里的兔都用鸡代换掉，那么，笼中就共有8只鸡，每只鸡有2只脚，8只鸡就共有16只脚，而这就与题中已知的“笼中共有26只脚”在数量上产生出入。为什么会有这种出入呢？原因是用一只鸡代换一只兔，那就少2只脚，现在把笼中的兔全用鸡代换了，那就肯定在总脚数上会有出入，当把笼中的兔全部用鸡代换后，现有总脚数和题中已知的总脚数比，少了10只脚。一只鸡代换一只兔少2只脚，共少了10只脚，就相当于10只÷2只=5倍数，也就是5只鸡代换了5只兔，这样回过头再用5只兔置换假定代换的5只鸡，正好就符合题意，所以，笼中有兔5只，有鸡8只5只=3只。 这种思维方法实际上就是用假设法来改变问题情境，在推理过程中利用假设数与已知数之间的差额和固定不变的差额一只鸡与一只兔差2只脚的这“两个差”来求未知数量，从而谋求解决问题。实质上就是假定全是甲数，后来要- 3 - 用乙数去置换；假定全是乙数，就要用甲数去置换。也就是说利用“两个差”求差倍数，假定全是甲，求出的差倍数就是乙；假设全是乙，求出的差倍数就是甲。这种假设性比较置换法，对于教师来说似乎简单明了，算起来简单方便，但对于学生来说，从算理上虽然能够接受和理解，但容易发生混乱，易于出错。此法的掌握只有在教学中反复应用，强化训练才能牢固记忆，在学习中需要耗时耗力，深刻留下“烙印”，在解决问题中根据具体情境细心区分，才能正确用运。 解法四：以想象性假设改变问题情境，用减半求差来解决问题砍足减半法。 假设将鸡和兔的腿各砍掉一半，即假如鸡有一条腿；兔有两条腿，这时一只鸡只有一只脚，一只兔只有两只脚，那么一只兔就比一只鸡多1只脚。如果鸡兔混居，笼中只要有一只兔，鸡兔总脚数就比总头数多1，那么笼中有几只兔子，总脚数就比总头数多几。 把题中的总脚数砍半，26只÷2=13只脚，砍半后脚的总数减去总头数就应是兔子的数量，即13只8只=5只兔子，所以笼中有兔5只，有鸡8只5只=3只。 这种求解方法实际是一种理想性的假设法，通过理想性想象假设改变问题情境，使问题便于解决，算理易于理解，计算较为简便，但这种思维方法一般都不易想到，是一种奇思妙想性的非常规思考性解题法。 解法五：根据问题情境顺向思维，用字母代替未知数，利用方程- 4 - 求解设元法。 可设笼中有兔X只，那么笼中就有只鸡，鸡兔共有26只脚，则根据“兔子的总脚数+鸡的总脚数=鸡兔的总脚数”来列出方程，通过解方程来解决问题。 一只兔4只脚，X只兔就有4X只脚；一只鸡有2只脚，只鸡就有2只脚。 则：4X+2=26，通过解方程X=5，即笼中有兔5只，那么笼中就有鸡8只5只=3只。 这种利用方程解答“鸡兔同笼”问题的方法，是一种顺向思维法。从算理上讲便于理解，列方程，解方程对于小学高年级学生来说也不存在什么大的难度，这种方法实际上是一种实用性强，能与初中代数知识接轨的一种通解方法。 在教学中应要求学生全面掌握这种通解法，以便一法多用，对于“鸡兔同笼”问题在小学范围内一般习惯设兔子为X，来列方程求解， 也可以设鸡为X ，列出方程也同样可以求解，但相对而言，设脚多的为X列方程和求解都相对容易些，这也是人们常用的一种定势解题习惯。 最后，在理解算理，掌握计算方法中，领悟数学思维方式，形成知识迁移，活学活用。 “鸡兔同笼”问题虽然是由古代趣味题引出的，但类似于“鸡兔同笼”问题的变式性数学问题还是比较多的。象“龟鹤”问题，“做题错对”问题，“松鼠摘果晴阴天”问题，“租船”问题等等，这些类- 5 - 同于“鸡兔同笼”问题的生活情境题，只要理清题意、理解其算理，都可以应用“鸡兔同笼”问题的数学多极思维法，利用一题多解和一法多用来解决变式性的“鸡兔同笼”问题。因此在数学教学中一定要通过情境教学，实例观察和分析，实验、猜想、推理、交流、自主探求，教师适当引导，合作学习，集思广益，挖掘学生的潜能，使学生在学习中理解类型题的算理，切实学会类型题，典型题的计算方法，感悟多极性的数学思维方式和严密的数学逻辑推理过程，达到全面掌握，实现方法迁移，活学活用，灵活解决问题的能力。 - 6 -