必修五不等式的知识点归纳和习题训练.docx

必修五不等式的知识点归纳和习题训练必修五：不等式 知识点一：不等式关系与不等式 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a>bÛb<a (2)传递性：a>b,b>cÞa>c (3)加法法则：a>bÞa+c>b+c； a>b,c>dÞa+c>b+d (4)乘法法则：a>b,c>0Þac>bc； a>b,c<0Þac<bc a>b>0,c>d>0Þac>b (5)倒数法则：a>b,ab>0Þ1<1ab (6)乘方法则：a>b>0Þan>bn(nÎN*且n>1) (7)开方法则：a>b>0Þna>nb(nÎN*且n>1)1.已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是( ) Aa2<b2 Ba2b<ab2 C2a2b<0 D.1a>1b 2.如果a<0，b>0，则下列不等式中正确的是 A122a<1b B-a<b Ca<b Da>b3. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： 若ab>0，bcad>0，则cadb>0；(2)若ab>0，cadb>0，则bcad>0； (3)若bcad>0，cadb>0，则ab>0，其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 4. 设a、b、c、dR，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是( ) A. ac>bd Bac>bd Cac>bd D.ad>bc 1：已知a>b，c>d，且c、d不为0，那么下列不等式成立的是 Aad>bc Bac>bc Ca->-cbd Da+>+cbd 2:下列命题中正确的是 A若a>b，则ac2>bc2 B若a>b，c>d，则a->-cbd C若ab>0，a>b，则1a<1b D若a>b，c<d，则ac>bd 3. 下列命题中正确命题的个数是 若x>y>z，则xy>yz；a>b，c>d，abcd¹0，则ac>bd； 若11bb-a<b<0，则ab<b2；若a>b，则1a>a-1 A1 B2 C3 D4 4. 如果aÎR，且a2+a<0，那么a，a2，-a，-a2的大小关系是 Aa2>a>->a2-a B-aa>2>->a2a C-aa>2>a>-a2 Da2>-aa>>-a2 1 cc_ abcd6.已知a，b，c，d均为实数，且ab>0，-<-，则下列不等式中成立的是 abababAbBbC> D< c<ad c>ad cdcd7. 已知实数a和b均为非负数，下面表达正确的是 Aa>0且b>0 Ba>0或b>0 Ca³0或b³0 Da³0且b³0 8已知-，则2a+3b的取值范围是 1<a+b<3且2<a-b<41317711713913A (-,) B (-,) C (-,) D (-,) 222222225.用“>”“<”号填空：如果a，那么>b>0>c二、含有绝对值的不等式 1绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1-x2|是指数轴上x1,x2两点间的距离 2、如果 a>0,则不 | |x|>a<=>x>a或x<-ax|<a<=>-a<x<a | | x|³a<=>x³a或x£-ax|£a<=>-a£x£a3当c>0时， |或a， x+b<-cax+b|>cÛax+b>c； |ax+b|<cÛ-c<ax+b<c 当c<0时，|，| ax+bc|>ÛxRÎax+bc|<ÛxÎf 4、解含有绝对值不等式的主要方法： 解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次不等式进行求解； 去掉绝对值的主要方法有： 公式法：|，|或x<-a x<a (a>0)Û-a<x<ax|>a (a>0)Ûx>a定义法：零点分段法； 平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方 >Þac>bc>Þba>b>bÞa>b；a1. 给出下列命题：ab；a；22a>bÞa>b其中正确的命题是 222233A B C D 2. 设a，bR，若a|b|>0，则下列不等式中正确的是( ) Aba>0 Ba3b3<0 Ca2b2<0 Dba>0 £5-2x<93.不等式3的解集为 A B( C(2 D( -2,1)U4,7)-2,1U(4,7-,1U4,7)-2,1U4,7)4. 求解不等式：| 2x+1|+-|x2|>4 =x-4+x-65.函数y的最小值为 A2 B2 C4 D6 1.解不等式|x |+|x->1|32.若不等式|对xÎR恒成立，则实数a的取值范围为_。 3x+³2|2xa+|三、其他常见不等式形式总结： 分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 2 f(x)g(x)0³ì(x)f(x) f >0Ûf(x)g(x)0>³0Ûg(x)g(x)íg(x)0¹î指数不等式：转化为代数不等式 f(x)g(x)f(x)g(x)a>a(1a>)Ûf(x)>g(xa);>a(0<a<1)Ûf(x)<g(x) f(x)a>b(0a>,b>0)Ûf(x)×lga>lgb对数不等式：转化为代数不等式 f(x)>0f(x)>0ììïï logf(x)>logg(x)(a>1)Ûg(x)>0;logf(x)>logg(x)(0<a<1)Ûg(x)>0ííaaaaïïf(x)>g(x)f(x)<g(x)îî2例1 .不等式l的解集是_. g(x-1)<11x22x+(a-1)x+3例3. 解关于x的不等式>1. 2x+ax例4. 不等式5-xx+1的解集是 (A)x|-4x1(B)x|x-1 (C)x|x1 (D)x|-1x1 例2. 解不等式lg(x-)<0. 四、三角不等式： | a|-|b|£|a+b|£|a|+|b|五、不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。 221.若M，N，则 =3x-+x1=2x+xAM>N BM<N CM£N DM³N 222.若x¹2或y¹-1，M，N=-5，则M与N的大小关系是 =+-+xy4x2yAMBMCMDM>N <N =N ³N abb+ma+n3.若a，则, , , 按由小到大的顺序排列为 >b>0,mn>0,>0baa+mb+n4.若aln 22，bln 33，cln 55则a，b，c按从小到大排列应是_ 5.设a25，b52，c525，则a、b、c之间的大小关系为_ 6.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是 Al Bx+1>2x Cgx+1³lg2x7. 若a、b是任意实数，且a>b，则 (2)211 D£1x+³2 x2+1xabbæ1öæ1ö22lgbAa>b B<1 C(a-)>0 Dç÷<ç÷ aè2øè2øee>b>0d<08. 已知a>，c<，e<0，求证： a-cb-d2>2ab>ab+b³2ab-11. 不等式a+，a，a+恒成立的个数是 ()22222A0 B1 C2 +b>02. 已知a，b<0，那么a，b，-a，-b的大小关系是 >>-b>-a>-b>-ab>Aab Ba >-bb>>-a>>-a>-bCa Dab D3 3 3. 若f(x)=3x2-+x1，gx()=2x2+-x1，则f(x)，g(x)的大小关系是 Af(x)<g(x) Bf(x)=g(x) Cf(x)>g(x) D随x值的变化而变化 4. 已知a、bÎR+，且a¹b，比较a5+b5与a3b2+ab23的大小 六、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿 例题：不等式(x2-3x+2)(x-4)2x+3£0的解为 A1<x1或x2 Bx<3或1x2 Cx=4或3<x1或x2 Dx=4或x<3或1x2 知识点二：一元二次不等式及其解法 二、一元二次不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0(a¹0)及其解法 D>0 D=0 D<0 二次函数 y=ax2+bx+cy=ax2+bx+cy=ax2+bx+cy=ax2+bx+c =a(x-x=a(x-x1)(x-x2)1)(x-x2) 的图 象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ax2+bx+c<0(a>0)的解集顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 分式不等式f(x)f(x)g(x)ñ0Û ,分式不等式g(x)³0Û . 1.集合A=x|x2-5x+4£0,B=x|x2-5x+6³0,则AIB等于( ) A.x|1£x£2或3£x£4 B. x|1£x£2且3£x£4 C. 1，2，3，4 D. x|-1£x£-4或2£x£3 2.设二次不等式ax2+bx+1ñ0的解集为x|-1áxá13,则ab的值为( ) A.-6 B.-5 C.6 D.5 3.已知函数y=ax2+2x+3,若x的取值范围是全体实数,则实数a的取值范围是( ) 4 111 C. a£ D. 0áa£ 33324.若不等式ax的解集为f,则( ) +bx+cá0(a¹0)A.añ0 B. a³A. a B. a C. a D. a <0,b-4ac>0<0,b-4ac£0>0,b-4ac£0>0,b-4ac<05.若关于实数x的方程x有一正根和一负根,则实数a的取值范围+ax+a-1=0是 . 例1. 已知关于x的不等式(的解集是ç-¥,-a+b)x+(2a-3b)<0的解集. (a-3b)x+(b-2a)>02例2 :解关于x的不等式ax. -2(a+1)x+4>0(aÎR)例3 已知不等式ax的解集为(,求不等式cx的解集. )a,b(0<a<b)+bx+c>0+bx+a>022222222æè1ö÷,求关于x的不等式3ø例4.解关于x的不等式:x -(a+a)x+añ02231 例5 不等式1x的解集为1-xAx|x0 Cx|x1 Bx|x1 Dx|x1或x0 x-3 例6 与不等式0同解的不等式是2-xA(x3)(2x)0 B0x21 Cax 例7 不等式1的解为x|x1或x2a，则的值为x-111Aa Ba2211Ca Da22 3x-7例8 解不等式22x+2x-3 例9 已知集合Ax|x25x40与Bx|x22axa20，若BÍA，求a的范围例10 解关于x的不等式(x2)(ax2)0 例11 不等式|x23x|4的解集是_ 2-x0D(x3)(2x)0 x-3 x 例12 解关于x的不等式：1a(aR)x-121.设集合P,则下列关系中成=m|-1ámá0,Q=mÎR|mx+4mx-4á0对任意x恒成立的是( ) A.PÍQ B. QÍP C. P=Q D. PIQ=f 2.不等式x的解集是( ) -|x|-2á0(xÎR)2)()()A.(-2,2) B. ( C. (-1,1) D. ( -¥,-2U2,+¥-¥,-1U1,+¥3.若a>0,b>0，则不等式-aá1áb的解集是 x5 1111abba1111C. D.x|-áxá0或0áxáx|xá-或xñ baab224. 关于实数x的方程x有两个正根,则实数m的取值范围是 . +2mx+2m-3=0A. B. x|-áxá x|-áxá0或0áxá5. 已知不等式ax2-3x+6>4的解集为x|x<1,或x>b.(1)求a,b; (2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0. 1.解下列不等式 (1)(x1)(3x)52x； (2)x(x11)3(x1)2 (4)3x2-3x+1-3x2 (2x1)(x3)3(x22) 2 (5)x2-x+113x(x-1)2不等式(1x)>0的解集是 A或x>1 Bx<或> C21 D 3设f(x)=x2+bx+1，且f(1)=f(3)，则f(x)>0的解集是 A(-¥,-1)È(3,+¥) BR C1 D14.已知集合M=x|x2á4,N=x|x2-2x-3á0,则集合MIN等于( ) A. x|xá-2 B. x|xñ3 C. x|-1á xá2 D. x|2áxá3 5若不等式ax2+x+a0的解集为 ，则实数a的取值范围 A a-1111112或a2 B a2 C -2a2 D a 26:设mÎR,解关于x的不等式m2x2+2mx-3<0. 7.若0<a<1，则不等式(x-a)çæx-1÷öèaø<0的解是 Aax11aCxa或xaB1 axa Dx1a或xa8.若ax2bx10的解集为x|1x2，则a_，b_ 9.不等式 (x+5)(3 2x)6的解集为 x1或92 192 x1或992 21 6 10设一元二次不等式ax+bx+1>0的解集为121，则ab的值是 3 6 5 6 5 11不等式组íìx-2<2的解集为 2îlog2(x-1)>1A B C D ìüìxü12设集合A, B, 则AB= =x³0,xÎR=x4x-1³9,xÎRíýíý+3îxþîþ3,-2È0, A(-3,-2 B(-5255 C(-¥-¥,-3)È,+¥) ,-3È,+¥) D(222213关于x的方程x+ax+a-1=0有一正根和一负根，则a的取值范围是 2x-30的解集为_ 14不等式x-2知识点三：简单的线性规划 1、一元一次不等式与线性规划 x+B+y>0(1) 若B>0，A，则点R(x0,y0)在直线A的上方 x+By+C=000C 若B>0，A，则点R(x0,y0)在直线A的下方 x+B+y<0x+By+C=000C线性约束条件Þ可行域ìï线性目标函数(2)线性规划：í ï可行解Þ最优解î1.下面给出的四个点中，位于xy1<0xy1>0)表示的平面区域内的点是( ) A(0,2) B(2,0) C(0，2) D(2,0) 2已知变量x、y满足条件x1，xy0，x2y90，则xy的最大值是( ) A2 B5 C6 D8 3.若实数x、y满足xy10x>0)，则yx的取值范围是( ) A(0,1) B.rc(avs4alco1(0，1) C(1，) D.avs4alco1(1，) 3已知实数x，y满足y1，y2x1，xym，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于( ) A7 B5 C4 D3 1已知变量x、y满足条件x1，xy0，x2y90，则xy的最大值是( ) A2 B5 C6 D8 2点P(x，y)在直线4x3y0上，且满足14xy7，则点P到坐标原点距离的取值范围是( )A0,5 B0,10 C5,10 D5,15 3设D是不等式组x2y102xy30x4y1表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线xy10距离的最大值是_ ìx+y3225. 设x、y满足条件ï的最小值 =(x+1)+yíyx-1，则zïy0î7 1已知实数x、y满足y2x，y2x，x3，则目标函数zx2y的最小值是_ 2不等式组x>0，y>0，4x3y<12表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有_个 3若实数x，y满足不等式组xy2，2xy4，xy0，则2x3y的最小值是_ ìx£2ï4若x、y满足约束条件íy£2，则z=x+2y的取值范围是 ïx+y³2îA、2,6 B、2,5 C、3,6 D、ía、bÎR+,a+b³2ab ，(当且仅当a=b时成立等号)， ï22a+ba+b2ïa、bÎR+,ab££ïî22和定，积最大；积定，和最小。ì í一正二定三相等。(特别留意等号成立的条件)î扩展：平均不等式：平方平均算术平均几何平均调和平均，即 22a+ba+b2 ³³ab³2211+ab对勾函数y=x+,(k>0) kx定义域(-¥,0)U(0,+¥)，值域 (-¥,-2kU2k,+¥)奇函数 渐近线：直线y=x和直线x=0 拐点：(-k,-2k)，(k,2k) Ax2+Bx+C1abDxx+、+、2 DxxbaAx+Bx+C基本不等式 1.基本不等式 22+³b2ab(a,bÎR)(1)a. a+ba+b(2)ab£,其中和ab分别叫做正数a,b的 平均数和 (a>0,b>0)22平均数. 8 22a+ba+b2b£(ab,ÎR) (4)ab£(ab,ÎR) 变式:(3)a22以上各不等式当且仅当 时取等号. 2.最值问题 设x,y都为正数,则有(1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值 ;(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值 . 利用基本不等式求最值应注意:x,y一定要都是正数;求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,看积xy 是否为定值;等号是否能够成立. 题型一：求值域 技巧一：凑项 例1：已知x<54，求函数y=4x-2+1的最大值。 4x-5技巧二：凑系数 例1. 当时，求y=x(8-2)x的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求y=x2+7x+10x+1(x>-1)的值域。 题型二：条件求值 1.若实数满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 . 2：已知x>0,y>0，且19x+y=1，求x+y的最小值。 3.已知x，y为正实数，且x 2y 221，求x1y 2的最大值. 4. 已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W3x2y的最值. 1.下列结论正确的是_ A .当x>0且x¹1时，lgx+11lgx³2 B.当x>0时，x+x³2 C当x³2时，x+11x的最小值为2 D.0<x£2时，x-x无最大值 2.已知a0，b0，ab1，则1a1b的取值范围是( ) A(2，) B2，) C(4，) D4，) 3.若x>0,y>0且2x+8y=1，则xy的最小值是 ； 4.若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 ； 5.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为 ； 6.点在直线x+3y-2=0上，则3x+27y+3最小值为 ； 9 7.已知正整数a，b满足4ab30，使得1a1b取最小值时，则实数对(a，b)是( ) A(5,10) B(6,6) C(10,5) D(7,2) 8. 若0<a<b，且a+b=12，则12，a，2ab，a2+b2中最大的是_ 9.设函数则( ) A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 10. 函数的值域为 A.2,) B. y=x(13)(A)4243 (B)112(C)1164(D)72 1.已知xyÎR+,x-2y+3z=0，则y2,xz的最小值 2已知点在直线上, 其中,则 A.有最大值为2 B.有最小值为2 C.有最大值为1 D.有最小值为1 3. 已知非负实数、满足，则的最大值是 A. B. C.5 D.10 4 . 设,则( ) A.有最大值8 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最小值8 5 . 设，则A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值4 D.有最小值4 6. 已知点在直线上移动，则的最小值是( ) A.8 B.6 C. 3 D. 4 7.已知xy0，求4的最小值及取最小值时的x、y的值. x2+y(x-y)1.下列命题中正确的是 A、y=x+1x的最小值是2 B、y=x2+3x2的最小值是2 +2 C、y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-43 10 D、y=2-3x-4x(x>0)的最小值是2-43 2. 若x+2y=1，则2x+4y的最小值是_ 3. 正数x,y满足x+2y=1，则11x+y的最小值为_ 4 . 若,且,则在下列四个选项中,较大的是( ) A. B. C. D. 5.设a，bÎR+，a+2b=3 ，则1a+1b最小值是 ； 6.若x2y1，则2x4y的最小值是_ 7. 若x,y是正数，且1x+4y=1，则xy有 A.最大值16 B最小值1116 C最小值16 D最大值168.函数y=4+9的最小值是 cos2xsin2xA）24 B）13 C）25 D）26 知识点五：不等式的综合应用 常见、常用结论： ìík³fx恒成立Ûk³fxmaxì存在x使k³fx成立Ûk³fxmîk£fx恒成立Ûk£fx íinminî存在x使k£fx成立Ûk£fxmax1.不等式x-4+x-3>a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_ 2.若不等式2x-1>m(x2-1)对满足m£2的所有m都成立，则x的取值范围_ 3.若不等式x2-2mx+2m+1>0对0£x£1的所有实数x都成立，求m的取值范围. 4. 11