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    必修二立体几何复习+经典例题.docx

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    必修二立体几何复习+经典例题.docx

    必修二 立体几何复习+经典例题一、判定两线平行的方法 1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、 在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、 判定线面平行的方法 1、 据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个 平面平行 3、 两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、 定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直 2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 5、 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、 定义:成90°角 2、 直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 4、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直 5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、 定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为90° 1 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是:0°<q£90° (0°,90° 2、直线与平面所成的角的取值范围是:0°£q£90° 0°,90° 3、斜线与平面所成的角的取值范围是:0°<q£90° (0°,90° 4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是:0°<q£180° (0°,180° 十、三角形的心 内心:内切圆的圆心,角平分线的交点 外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点 重心:中线的交点 垂心:高的交点 例2 在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,求证:MN平面PAD 1、 2、 3、 4、 要证明“线面平行”,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;题目中出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明 证明:方法一,取PD中点E,连接AE,NE 底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点, MACD,MA=E是PD的中点, NECD,NE=1CD. 21CD. 2MANE,且MANE, AENM是平行四边形, MNAE 又AEÌ平面PAD,MN Ë平面PAD, MN平面PAD 方法二取CD中点F,连接MF,NF 2 MFAD,NFPD, 平面MNF平面PAD, MN平面PAD 关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法: (1)证明线线平行: ac,bc, a,aÌ b a,b g a,g b Þab (2)证明线面平行: aÆ Þab ab bÌ,aË Þab aÌ Þab Þa (3)证明面面平行: Æ Þa a,b a,bÌ,abA Þa a,a g ,g Þ Þ Þ Þ 例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1AC,ABAC,求证:A1CBC1 要证明“线线垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可 证明:连接AC1 ABCA1B1C1是直三棱柱, AA1平面ABC, ABAA1 又ABAC, AB平面A1ACC1, A1CAB 又AA1AC, 侧面A1ACC1是正方形, A1CAC1 由,得A1C平面ABC1, A1CBC1 空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将其向“线面垂直”进行转化 3 例4 在三棱锥PABC中,平面PAB平面ABC,ABBC,APPB,求证:平面PAC平面PBC 要证明“面面垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化 证明: 平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABCAB,且ABBC, BC平面PAB, APBC 又APPB, AP平面PBC, 又APÌ平面PAC, 平面PAC平面PBC 关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法: (1)证明线线垂直: ac,bc, a bÌ Þab (1)证明线面垂直: am,an m,nÌ,mnA Þab ab,b ,a ,l aÌ,al Þa (1)证明面面垂直: a,aÌ Þa Þa Þa Þ 例5 如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,侧面A1ABB1是菱形,且垂直于底面ABC,A1AB60°,E,F分别是AB1,BC的中点 ()求证:直线EF平面A1ACC1; 4 ()在线段AB上确定一点G,使平面EFG平面ABC,并给出证明 证明:()连接A1C,A1E 侧面A1ABB1是菱形, E是AB1的中点, E也是A1B的中点, 又F是BC的中点,EFA1C A1CÌ平面A1ACC1,EFË平面A1ACC1, 直线EF平面A1ACC1 (2)解:当BG1=时,平面EFG平面ABC,证明如下: GA3连接EG,FG 侧面A1ABB1是菱形,且A1AB60°,A1AB是等边三角形 E是A1B的中点,BG1=,EGAB GA3平面A1ABB1平面ABC,且平面A1ABB1平面ABCAB, EG平面ABC 又EGÌ平面EFG,平面EFG平面ABC 例6 如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,E是AC的中点 ()求证:平面BEC1平面ACC1A1;()求证:AB1平面BEC1 本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图,这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求,可以根据几何体自身的性质,适当添加辅助线帮助思考 证明:()ABCA1B1C1是正三棱柱,AA1平面ABC, BEAA1 ABC是正三角形,E是AC的中点,BEAC,BE平面ACC1A1,又BEÌ平面BEC1, 平面BEC1平面ACC1A1 ()证明:连接B1C,设BC1B1CD BCC1B1是矩形,D是B1C的中点, DEAB1 又DEÌ平面BEC1,AB1Ë平面BEC1, AB1平面BEC1 例7 在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,已知BD2AD8,AB=2DC=45 5 ()设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD; ()求四棱锥PABCD的体积 本题中的数量关系较多,可考虑从“算”的角度入手分析,如从M是PC上的动点分析知,MB,MD随点M的变动而运动,因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD 证明:()在ABD中, 由于AD4,BD8,AB=45, 所以AD2BD2AB2 故ADBD 又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,BDÌ平面ABCD, 所以BD平面PAD, 又BDÌ平面MBD,故平面MBD平面PAD ()解:过P作POAD交AD于O, 由于平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD 因此PO为四棱锥PABCD的高, 又PAD是边长为4的等边三角形因此PO=在底面四边形ABCD中,ABDC,AB2DC, 所以四边形ABCD是梯形,在RtADB中,斜边AB边上的高为梯形ABCD的高, 所以四边形ABCD的面积为S=3´4=23. 24´885,即为=54525+4585´=24.故521VP-ABCD=´24´23=163. 39.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将DABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥A-BCF,其中BC=2. 2(1) 证明:DE/平面BCF; 6 (2) 证明:CF平面ABF; A(3) 当AD= 2时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG. 3AGEDDGEFC9. (1)在等边三角BF图 4CB图 5形ABC中,AD=AE ADAE=DBEC,在折叠后的三棱锥A-BCF中 也成立,DE/BC ,QDEË平面BCF, BCÌ平面BCF,DE/平面BCF; (2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AFBC,BF=CF=12. Q 在三棱锥A-BCF中,BC=22,BC2=BF2+CF2CFBF QBFÇCF=FCF平面ABF; (3)由(1)可知GE/CF,结合(2)可得GE平面DFG. VF-DEG=VE-DFG11111æ13ö13=××DG×FG×GF=×××ç××=÷÷332432323ç32èø 4. 如图,四棱锥PABCD中,ABCD为矩形,PAD为等腰直角三角形,APD=90°,面PAD面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点 证明:EF面PAD; 证明:面PDC面PAD; 求四棱锥PABCD的体积 4. 如图,连接AC, ABCD为矩形且F是BD的中点, AC必经过F 1分 7 又E是PC的中点, 所以,EFAP 2分 EF在面PAD外,PA在面内,EF面PAD 面PAD面ABCD,CDAD,面PADI面ABCD=AD,CD面PAD, 又APÌ面PAD,APCD 又APPD,PD和CD是相交直线,AP面PCD 又ADÌ面PAD,所以,面PDC面PAD 取AD中点为O,连接PO, 因为面PAD面ABCD及PAD为等腰直角三角形,所以PO面ABCD, 即PO为四棱锥PABCD的高 AD=2,PO=1,所以四棱锥PABCD的体积V=12PO×AB×AD= 3311. 如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱2AA1的中点 ()证明:平面BDC1平面BDC 平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 1. 由题设知BCCC1,BCAC,CC1ÇAC=C,BC面ACC1A1, 又DC1Ì面ACC1A1,DC1BC, 0由题设知ÐA1DC1=ÐADC=45,ÐCDC1=90,0C1 A1 B1 即DC1DC, D 又DCÇBC=C, DC1面BDC, C B DC1Ì面BDC1, 面BDC面BDC1; A 设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得,V1=´由三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1, 11+21´1´1=, 232(V-V1):V1=1:1, 平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 8

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