必修一专题函数的单调性与奇偶性.docx
必修一专题函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性 一、知识点 1奇偶性 定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。 注意：由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量。 简单性质： 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称； 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇´奇=偶，偶+偶=偶，偶´偶=偶 2单调性 定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数； 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 判断函数单调性的方法步骤 1 任取；作差；变形；定号；下结论 简单性质 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内： 增函数f(x)+增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)+减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)-减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)-增函数g(x)是减函数。 二典例解析 1.奇偶性的的判断 例1以下五个函数：y= y=log2(x+14xy=x+1；y=2；y=log2x； (x¹0)；xx2+1)，其中奇函数是_ _，偶函数是_ _，非奇非偶函数是 _ 2.奇偶性的应用 例2设f是定义在R上的奇函数，若当x0时，f=log3，则f=_ _。 2例3已知f是定义在R上的奇函数，当x0时，fx2x，则f在R上的表达式是 第 1 页 共 4 页 例4已知f是偶函数，g是奇函数，若f(x)+g(x)= 例5若yx2mx3是偶函数，则m_ 3.单调性的判断 21x-1，则f的解析式为_ 例6如右图是定义在闭区间上的函数y=f(x)的图象,该函数的单调增 区间为 例7画出下列函数图象并写出函数的单调区间 y=-x2+2|x|+1 y=|-x2+2x+3| 例8证明函数+¥)上是减函数. x+2在(-1，y=x+1在 上是减函数 根据函数单调性的定义，证明函数 4.单调性的应用 例9.(1)设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,则a的范围为( ) Aa³1111 Ba£ Ca>- Da< 22222 (2)函数y=x+bx+c(xÎ0,+¥)是单调函数的，则 ( ) Ab³0 Bb£0 Cb>0 Db<0 (3) 函数f(x)= A(0，1) 2ax+1在区间(2，)上单调递增，则实数a的取值范围是 x+21B( ，) C(2，) D(，1)(1，) 2例10 已知f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m1)f(12m)0，求实数m的取值范围 第 2 页 共 4 页 5单调性与奇偶性的综合应用 例10. 若奇函数f(x)是定义在上的增函数，试求a的范围：f(a-2)+f(a2-4)<0 例11. f是定义在上的奇函数，且f在5，）上单调递减，试判断f在是定义在上的奇函数，且f在5，）上单调递减，试判断f在求f(1)的值 若f(6)= 1，解不等式 f( x3 )f( 1) 2 x例14已知函数f满足ff2f·f，且f0， 试证f是偶函数 第 3 页 共 4 页 三、巩固练习 1在区间(0，)上不是增函数的函数是 Ay=2x1 22By=3x1 2Cy=2 xDy=2xx1 2函数f(x)=4xmx5在区间2，上是增函数，在区间(，2)上是减函数，则f(1)等于 A7 B1 C17 D25 3函数f(x)在区间(2，3)上是增函数，则y=f(x5)的递增区间是 A(3，8) B(7，2) C(2，3) D(0，5) 4已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-¥,4上是减函数，则实数a的取值范围是 Aa3 Ba3 Ca5 Da3 5已知f(x)在区间(，)上是增函数，a、bR且ab0，则下列不等式中正确的是 Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) Cf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)f(a)f(b) 6定义在R上的函数y=f(x)在(，2)上是增函数，且y=f(x2)图象的对称轴是x=0，则 Af(1)f(3) Bf (0)f(3) 2Cf (1)=f (3) Df(2)f(3) 32 7已知函数faxbxc是偶函数，那么gaxbxcx A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数 8已知f是定义在R上的奇函数，当x0时，fx2x，则f在R上的表达式是 Ayx By x Cy x Dyx 9函数f(x)=2+x-1是 A偶函数 B奇函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数 10函数y=(x1)的减区间是_ _ 11设函数yf对任意非零实数x1、x2满足fff， 求证f是偶函数 第 4 页 共 4 页
