必修4《三角函数及三角恒等变换》学生用.docx

必修4三角函数及三角恒等变换学生用高一数学必修4 三角函数及三角恒等变换 1弧度制与角度制的换算公式： æ180ö2p=360，1=，1=ç»57.3o ÷180èpøoopo2任意角的三角函数： 设a是一个任意大小的角，a的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是rr=x2+y2>0，则sina=3函数的诱导公式： ()yxy，cosa=，tana=(x¹0) rrx(1)sin(2kp+a)=sina，cos(2kp+a)=cosa，tan(2kp+a)=tana(kÎZ) (2)sin(p+a)=-sina，cos(p+a)=-cosa，tan(p+a)=tana (3)sin(-a)=-sina，cos(-a)=cosa，tan(-a)=-tana (4)sin(p-a)=sina，cos(p-a)=-cosa，tan(p-a)=-tana (5)sinæçöæpö-a÷=cosa，cosç-a÷=sina è2øè2øpæpöæpö，6sin+a=cosacos()ç÷ç+a÷=-sina è2øè2ø4三角函数的基本关系： (1)sin2a+cos2a=1(sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2a) (2)sina=tanacosasinaöæsina=tanacosa,cosa=ç÷ tanaøè第 1 页 共 15 页 5正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R ìpüxx¹kp+,kÎZíý 2îþR 值域 -1,1 当x=2kp+-1,1 (kÎZ)当x=2kp(kÎZ)时， p2时，ymax=1； 最值 当x=2kp-p2(kÎZ)ymax=1；当x=2kp+p 既无最大值也无最小值 (kÎZ)时，ymin=-1 2p 偶函数 时，ymin=-1 周期性 奇偶性 2p 奇函数 在ê2kp-p 奇函数 éëp2,2kp+pù ú2û(kÎZ)上是增函数；在单调性 在2kp-p,2kp(kÎZ)上是增函数；在2kp,2kp+p 在çkp-æèp2,kp+pö÷ 2øp3pùé 2kp+,2kp+êú22ëû(kÎZ)上是减函数 (kÎZ)上是增函数 (kÎZ)上是减函数 对称中心(kp,0)(kÎZ) 对称性 对称轴x=kp+对称中心çkp+æèpp2ö,0÷(kÎZ) 对称中心ækp,0ö(kÎZ) ç÷2øè2ø无对称轴 (kÎZ) 对称轴x=kp(kÎZ) 6A，w，j对y=Asin(wx+j)的图象的影响 第 2 页 共 15 页 y=sinx的图象上所有点向左平移j个单位长度，得到函数y=sin(x+j)的图象；再将函数y=sin(x+j)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的1w倍，得到函数y=sin(wx+j)的图象；再将函数y=sin(wx+j)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍，得到函数y=Asin(wx+j)的图象 7函数y=Asin(wx+j)(A>0,w>0)的性质： 振幅：A；周期：T=2pw；频率：f=1w=；相位：wx+j；初相：j T2p函数y=Asin(wx+j)+B，当x=x1时，取得最小值为ymin ；当x=x2时，取得最大值为ymax，则A=11T(ymax-ymin)，B=(ymax+ymin)，=x2-x1(x1<x2) 2228两角和与差的正弦、余弦和正切公式： cos(a-b)=cosacosb+sinasinb； cos(a+b)=cosacosb-sinasinb； sin(a-b)=sinacosb-cosasinb； sin(a+b)=sinacosb+cosasinb； tan(a-b)=tana-tanb Þ ； 1+tanatanbtana+tanb Þ 1-tanatanbtan(a+b)=9二倍角的正弦、余弦和正切公式： 222sin2a=2sinacosaÞ1±sin2a=sina+cosa±2sinacosa=(sina±cosa) cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a a,1-cosa=2sin2Þ升幂公式1+cosa=2cos2a22cos2a+11-cos2a2，sina= Þ降幂公式cos2a=22 tan2a=2tana 21-tana第 3 页 共 15 页 10半角公式： costana2=±=±1+cosa2sina2=±1-cosa2a21-cosasina1-cosa=1+cosa1+cosasina11合一变形Þ把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 y=Asin(vx+j)+B形式 asinx+bcosx=a2+b2sin(x+q)(其中q角所在的象限由a，b的符号确定，q角的值由tanq=b确定)在求最值、化简时起着重要作用 a12三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下： l 角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： 2a是a的二倍；4a是2a的二倍；a是a2的二倍；a2是a4的二倍； 30o15=45-30=60-45=； 2oooooa=(a+b)-b=(a-b)+b； 2a=(a+b)+(a-b)=(p4+a=p2-(p4-a)； p4+a)-(p4-a)，a+b=2×a+b2， a+b2=a-(b2)(ab)-2-等等 l 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名 l 常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”22oo的代换变形有：1=sina+cosa=tanacota=sin90=tan45 l 幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式1+cosa常用升幂化为有理式 第 4 页 共 15 页 l 三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手，基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化 一、选择题 21函数y=2cos(x-p4)-1是 A最小正周期为p的奇函数 B. 最小正周期为p的偶函数 C. 最小正周期为pp的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 22æ4pö，0÷中心对称，那么|j|的最小值为 è3ø2如果函数y3cos(2xf)的图像关于点çA .pppp B. C. D. 64323已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是 4将函数y=sin2x的图象向左平移( ) A.y=cos2x B.y=2cos2x C.y=1+sin(2x+p个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是4p4) D.y=2sin2x 5已知函数f(x)=3sinwx+coswx(w>0)，y=f(x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于p，则f(x)的单调递增区间是 A.kp-p,kp+5p,kÎZ B.kp+5p,kp+11p,kÎZ 12121212C.kp-p,kp+p,kÎZ D.kp+p,kp+2p,kÎZ 3663第 5 页 共 15 页 6函数f(x)=(1+3tanx)cosx的最小正周期为 A2p B3pp Cp D 227函数f(x)=sinxcosx最小值是 ( ) A1 B. -11 C. D.1 228已知函数f(x)=sin(vx+p4)(xÎR,v>0)的最小正周期为p，为了得到函数g(x)=cosvx的图象，只要将y=f(x)的图象 pp个单位长度 B、向右平移个单位长度 88ppC、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度 44A、向左平移9已知函数y=2sin(wx+j)(w>0)在区间0，2p的图像如下：那么w A1 210已知函数f(x)=(1+cos2x)sinx,xÎR，则f(x)是 B2 C1 2 D 1 3y 1 O 1 2 x p的奇函数 2pC、最小正周期为p的偶函数 D、最小正周期为的偶函数 2A、最小正周期为p的奇函数 B、最小正周期为11函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为 A. 3，1 B. 2，2 C. 3，3 2 D. 2，3 212已知函数f(x)=sinçwx+æèpö÷(w>0)的最小正周期为p，则该函数的图象 3øB关于直线x=A关于点ç，0÷对称 æpè3öøp对称 4p对称 3C关于点ç，0÷对称 æpè4öøD关于直线x=第 6 页 共 15 页 13若函数f(x)=sinx-A最小正周期为21(xÎR)，则f(x)是 2B最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数 的奇函数 2C最小正周期为2的偶函数 14函数y=sinç2x-æèöéù在区间的简图是 -，÷êú3ø2ëû15若函数f(x)=2sin(wx+j)，xÎR p）的最小正周期是p，且f(0)=32，1p，j= 26pCw=2，j= 6Aw=21p，j= 23p Dw=2，j= 3Bw=16为了得到函数y=sinx+3sinxcosx的图象，可以将函数y=sin2x的图象( ) p1个单位长度，再向下平移个单位长度 26p1B.向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 26p1C.向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 122p1D.向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 122A.向左平移 第 7 页 共 15 页 17把函数y=是 2(cos3x-sin3x)的图象适当变化就可以得到y=-sin3x的图象，这个变化可以2 A.沿x轴方向向右平移pp B.沿x轴方向向左平移 44pp D.沿x轴方向向左平移 1212 C.沿x轴方向向右平移18设函数f(x)=sin(2x+p3)，则下列结论正确的是 Af(x)的图像关于直线x=Bf(x)的图像关于点(p3对称 p4,0)对称 p个单位，得到一个偶函数的图像 12pDf(x)的最小正周期为p，且在0,上为增函数 6pp19已知函数f(x)=sin(x+)cos(x+),则下列判断正确的是 66p Af(x)的最小正周期为2，其图象的一条对称轴为x= 12p Bf(x)的最小正周期为2，其图象的一条对称轴为x= 6p Cf(x)的最小正周期为，其图象的一条对称轴为x= 12p Df(x)的最小正周期为，其图象的一条对称轴为x= 6pöæ20f(x)=Asin(wx+j)çxÎR，A>0，w>0，j<÷的图象如图所f(x)的解析式是2øè C把f(x)的图像向左平移 Af(x)=2sinæçpx+pöè÷(xÎR) 6øy 2 pöBf(x)=2sinæç2px+÷(xÎR) 6øèpöCf(x)=2sinæçpx+÷(xÎR) 3øèO 1 35 6x pöDf(x)=2sinæç2px+÷(xÎR) 3øè二、填空题 2 第 8 页 共 15 页 1函数y=2cos2x+sin2x的最小值是_. 2函数f(x)=3sinç2x-编号） 图象C关于直线x=图象C关于点çæèö÷的图象为C，如下结论中正确的是_求f(x)的最小正周期； 求f(x)在区间ê- éppù,ú上的最大值和最小值. ë62û第 9 页 共 15 页 2设函数f(x)=cos(2x+p2)+sinx. 31c1，f=-，且C为锐角，求sinA. 324求函数f(x)的最大值和最小正周期. 设A，B，C为DABC的三个内角，若cosB= 3已知函数f(x)=Asin(wx+j),xÎR的图象与x轴的交点中，p2p,-2). ，且图象上一个最低点为M(32pp()求f(x)的解析式；当xÎ,，求f(x)的值域. 122相邻两个交点之间的距离为 第 10 页 共 15 页 4已知函数f(x)=sin(wx+j),其中w>0，|j|<若cosp2p4cos,j-sin3psinj=0,求j的值； 4在的条件下，若函数f(x)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于p，求函数f(x)的3解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数 5设函数f(x)=(sinwx+coswx)+2cos求w的最小正周期 若函数y=g(x)的图像是由y=f(x)的图像向右平移调增区间 22wx(w>0)的最小正周期为2p 3p个单位长度得到，求y=g(x)的单2第 11 页 共 15 页 0<j<)，xÎR的最大值是1，6已知函数f(x)=Asin(x+j)(A>0，其图像经过点Mç，÷ 求f(x)的解析式； æ1öè32ø已知a，bÎç0，÷，且f(a)= 7已知函数f(x)=sin(2x+æèö2ø312，f(b)=，求f(a-b)的值 513p6)+sin(2x-p6)-cos2x+a(aÎR,a为常数） 求函数f(x)的最小正周期；求函数f(x)的单调递增区间； 若xÎ0, p2时，f(x)的最小值为-2，求a的值 第 12 页 共 15 页 8已知函数f(x)=sinx×cosx-3cosx+求f(x)的最小正周期； 求f(x)的单调递增区间； 213(xÎR) 2求f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标 9已知函数f(x)=Asin(ax+j),(A>9,w>0,|j|<求函数f(x)的解析式； 当xÎ-6,-时，求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x的值 p2,xÎR)的图象的一部分如下图所示 23第 13 页 共 15 页 10已知向量m=(sinA,cosA),n=(1,-2)，且m×n=0. ()求tan A的值； ()求函数f(x)=cos2x+tanAsinx(xÎR)的值域. 11已知关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根为sinq和cosq，q(0，). 求： (I)m的值； (II) rrrrtanqsinqcosq+的值； (III)方程的两根及此时q的值. tanq-11-tanq第 14 页 共 15 页 12、已知函数f(x)=Asin(3x+j)(A>0,xÎ(-¥,+¥),0<j<p)在x=p122p12(1) 求f(x)的最小正周期； (2) 求f(x)的解析式； (3) 若f( +)=，求sin 312513某港口海水的深度y(米)是时间t(时)(0£t£24)的函数，记为：y=f(t) 已知某日海水深度的数据如下： 时取得最大值4 t(时) y(米) 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 经长期观察，y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Asinwt+b的图象 (I)试根据以上数据，求出函数y=f(t)=Asinwt+b的振幅、最小正周期和表达式； (II)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)? 第 15 页 共 15 页