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微积分初步形成性考核册答案 全微积分初步形成性考核作业解答 一、填空题 1函数f(x)=1ln(x-2)的定义域是 解：ln(x-2)¹0x-2>0， x¹3x>2 所以函数f(x)=1ln(x-2)的定义域是(2,3)È(3,+¥) 2函数f(x)=15-x的定义域是 解：5-x>0，x<5 所以函数f(x)=15-x的定义域是(-¥,5) 3函数f(x)=1ln(x+2)+4-x2的定义域是 ìln(x+2)¹0ï解：íx+2>0 ï4-x2³0îìx¹-1ï1，+íx>-2 所以函数f(x)=ln(x+2)ï-2£x£2î4-x2的定义域是(-2,-1)È(-1,2 4函数f(x-1)=x2-2x+7，则f(x)= 解：f(x-1)=x2-2x+7=x2-2x+1+6=(x-1)2+6 ìx2+25函数f(x)=íxîe2 所以f(x)=x2+6 x£0x>0，则f(0)= 解：f(0)=02+2=2 6函数f(x-1)=x-2x，则f(x)= 解：f(x-1)=x-2x=x-2x+1-1=(x-1)+1，f(x)=x+1 x-2x-3x+1222227函数y=的间断点是 2解：因为当x+1=0，即x=-1时函数无意义 所以函数y=x-2x-3x+1的间断点是x=-1 8limxsinx®¥1x= 解：limxsinx®¥1xsin=limx®¥1x=1 1x9若limsin4xsinkxx®0=2，则k= 1 sin4x解： 因为limsin4xsinkxx®0=4klimx®044x=2 sinkxkkx 所以k=2 10若limsin3xkxkxx®0=2，则k= =3klimsim3x3x=3k=2 解：因为limsim3xx®0x®0 所以k=32二、单项选择题 1设函数y=e-x+e2x，则该函数是 A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 解：因为y(-x)=e-(-x)+e-x2=e+e2x-x=y 所以函数y=e-x+e2x是偶函数。故应选B 2设函数y=x2sinx，则该函数是 A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 解：因为y(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-y 2+22x-x 所以函数y=x2sinx是奇函数。故应选A 3函数f(x)=x的图形是关于对称 Ay=x Bx轴 Cy轴 D坐标原点 解：因为f(-x)=(-x)×2-x+22-(-x)=-x2-x+22x=-f(x) 所以函数f(x)=x2+22x-x是奇函数 从而函数f(x)=x2+22x-x的图形是关于坐标原点对称的 因此应选D ） 4下列函数中为奇函数是 Ax>-5 Bx¹-4 Cx>-5且x¹0 Dx>-5且x¹-4 ìx+4¹0ìx¹-4解：í，í，所以应选D x+5>0x>-5îî 6函数f(x)=1ln(x-1)的定义域是 A (1,+¥) B(0,1)È(1,+¥) C(0,2)È(2,+¥) D(1,2)È(2,+¥) 2 解：x-1)¹0íìln( 函数f(x)=12)È(2,+¥)，故应选D îx-1>0，x¹2íìîx>1，ln(x-1)的定义域是(1, 7设f(x+1)=x2-1，则f(x)= Ax(x+1) Bx2 Cx(x-2) D(x+2)(x-1) 解：f(x+1)=x2-1=(x+1)(x-1)=(x+1)(x+1)-2 f(x)=x(x-2)，故应选C 8下列各函数对中，中的两个函数相等 Af(x)=(x)2，g(x)=x Bf(x)=x2，g(x)=x Cf(x)=lnx2，g(x)=2lnx Df(x)=lnx3，g(x)=3lnx 解：两个函数相等必须满足定义域相同函数表达式相同，所以应选D 9当x®0时，下列变量中为无穷小量的是. A1sinxx Bx Cln(1+x) Dxx2解：因为limln(1+x)=0，所以当x®0时，ln(1+x)为无穷小量，所以应选C x®0 ）时，函数f(x)=ìíx210当k=时，函数f(x)=ìíex+2,x¹0在x=0处连续. îk,x=0A0 B1 C2 D3 解：k=f(0)=limf(x)=lim(ex+2)=3x®0x®0，所以应选D 12函数f(x)=x-3x2-3x+2的间断点是 Ax=1,x=2 Bx=3 Cx=1,x=2,x=3 D无间断点 解：当x=1,x=2时分母为零，因此x=1,x=2是间断点，故应选A 三、解答题 2计算极限limx-3x+2x2-4 x®23 2解：limx-3x+2 x®2x2-4=lim(x-1)(x-2)x®2(x+2)(x-2)=limx-1x®2x+2=1422计算极限limx+5x-6x®1x2-12解：limx+5x-6)(x+6)7 x®1x2-1=lim(x-1x®1(x+1)(x-1)=limx+6x®1x+1=23limx2-9x2-2x-3x®3解：limx2-933x®3x2-2x-3=lim(x+3)(x-3)x®3(x+1)(x-3)=limx+x®3x+1=64=224计算极限limx-6x+8x2-5x+4x®42 解：limx-6x+8(x-2)(x-4)x-2x®4x2-5x+4=limx®4(x-1)(x-4)=limx®4x-1=2325计算极限limx-6x+8x®2x2 -5x+62解：limx-6x+8(x-2)(x-4)x®2x2-5x+6=limx®2(x-2)(x-3)=limx-4x®2x-3=2 6计算极限lim1-x-1x x®0解：lim1-x-1x-1)(1-x+1)x=lim(1-=lim-x x®0x®0x(1-x+1)x®0x(1-x+1) =-lim1 x®01-x+1=-127计算极限lim1-x-1sin4xx®0解：lim1-x-1x®0sin4x=lim(1-x-1)(1-x+1)x®0sin4x(1-x+1) =lim-x=-11x®0sin4x(1-x+1)4limx®0sin4x=-14x(1-x+1)84 8计算极限limsin4xx+4-2 x®0 解：limsin4xx+4-2=limsin4x(x+4+2)(x+4-2)(x+4+2)x®0x®0 =lim sin4x(x+4+2)xx®0=4limx®0sim4x4x(x+4+2)=16 微积分初步形成性考核作业解答 导数、微分及应用 一、填空题 1曲线f(x)=解：f¢(x)=12xx+1在(1,2)点的斜率是 ，斜率k=f¢(1)=122曲线f(x)=ex在(0,1)点的切线方程是 解：f¢(x)=ex ，斜率k=f¢(0)=e0=1 所以曲线f(x)=ex在(0,1)点的切线方程是：y=x+1 3曲线y=x解：y¢=-12-12在点(1,1)处的切线方程是 32=-12 x-，斜率k=y¢x=1=-12x-32x=1 所以曲线y=x-12在点(1,1)处的切线方程是：y-1=-12(x-1)，即：x+2y-3=0 4(2x)¢= 解：(2x)¢=2x×12xln2=2xln22x5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则y¢(0) = 6已知 解：y¢(0)=(-1)(-2)(-3)=-6 f(x)=x+33x2x，则f¢(3)= 解：f¢(x)=3x+3ln3，f¢(3)=27+27ln3 7已知f(x)=lnx，则f¢¢(x)= 解：f¢(x)=8若f(x)=xe-x1x，f¢¢(x)=-1x2，则f¢¢(0)= -x-x-x-x-x-x-x解：f¢(x)=e-xe，f¢¢(x)=-e-(e-xe)=-2e+xe， f¢¢(0)=-2 5 9函数y=3(x-1)2的单调增加区间是 解：y¢=6(x-1)³0，x³1，所以函数y=3(x-1)2的单调增加区间是1,+¥) 10函数f(x)=ax2+1在区间(0,+¥)内单调增加，则a应满足 解：f¢(x)=2ax³0，而x>0，所以a³0 二、单项选择题 1函数y=(x+1)2在区间(-2,2)是 A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增 2满足方程f¢(x)=0的点一定是函数y=f(x)的. A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点 3若f(x)=e-xcosx，则f¢(0)= A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 4设y=lg2x，则dy= A12xdx B1xln10dx Cln10xdx D1xdx 5设y=f(x)是可微函数，则df(cos2x)= A2f¢(cos2x)dx Bf¢(cos2x)sin2xd2x C2f¢(cos2x)sin2xdx D-f¢(cos2x)sin2xd2x 6曲线y=e2x+1在x=2处切线的斜率是 Ae4 Be2 C2e4 D2 7若f(x)=xcosx，则f¢¢(x)= Acosx+xsinx Bcosx-xsinx C-2sinx-xcosx D2sinx+xcosx 8若f(x)=sinx+a3，其中a是常数，则f¢¢(x)= 2 Acosx+3a Bsinx+6a C-sinx Dcosx 9下列结论中不正确 Af(x)在x=x0处连续，则一定在x0处可微. Bf(x)在x=x0处不连续，则一定在x0处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若f(x)在a，b内恒有f¢(x)<0，则在a，b内函数是单调下降的. 10若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的 6 A函数f (x)在点x0处有定义 Blimf(x)=A，但A¹f(x0) x®x0 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 11下列函数在指定区间(-¥,+¥)上单调增加的是 Asinx Be x Cx 2 D3 - x 12.下列结论正确的有 Ax0是f (x)的极值点，且f¢(x0)存在，则必有f¢(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若f¢(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D使f¢(x)不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 三、解答题 1设y=x2ex，求y¢ 11111解：y¢=2xex+x2ex(-1x2)=2xex-ex=(2x-1)ex 2设y=sin4x+cos3x，求y¢. 解：y¢=4cos4x-3cos2xsinx 3设y=ex+1+1x，求y¢. 解：y¢=1ex+12x+1-1x24设y=xx+lncosx，求y¢. 解：y¢=3sinx32x+-cosx=2x-tanx 5设y=y(x)是由方程x2+y2-xy=4确定的隐函数，求dy. 解：两边微分：2xdx+2ydy-(ydx+xdy)=0 2ydy-xdy=ydx-2xdx dy=y-2x2y-xdx 6设y=y(x)是由方程x2+y2+2xy=1确定的隐函数，求dy. 解：两边对x2+y2+2xy=1求导，得：2x+2yy¢+2(y+xy¢)=0 x+yy¢+y+xy¢=0，(x+y)y¢=-(x+y)，y¢=-1 dy=y¢dx=-dx 7 7设y=y(x)是由方程ex+xey+x2=4确定的隐函数，求dy. 解：两边微分，得：exdx+eydx+xeydy+2xdx=0 xeydy=-(ex+ey+2x)dx，dy=-ex+ey +2xxeydx 8设cos(x+y)+ey=1，求dy 解：两边对cos(x+y)+ey=1求导，得： -(1+y¢)sinx(+y)+y¢ey=0 -sinx(+y)-y¢sinx(+y)+y¢ey=0 ey-sin(x+y)y¢=sinx(+y) y¢=sinx(+y)ey-sinx(+y) dy=y¢dx=sin(x+y)ey-sin(x+y)dx 微积分初步形成性考核作业解答不定积分，极值应用问题 一、填空题 1若f(x)的一个原函数为lnx2，则f(x)= xlnx2-2x+c 。 2若f(x)的一个原函数为x-e-2x，则f¢(x)= -4e-2x 。 3若òf(x)dx=xex+c，则f(x)= (1+x)ex 4若òf(x)dx=sin2x+c，则f(x) 2coxs 2 5若òf(x)dx=xlnx+c，则f¢(x)= 1x 6若òf(x)dx=cos2x+c，则f¢(x)= -4coxs 2 7dòe-x2dx= e-x2dx 8ò(sinx)¢dx= sinx+c 9若òf(x)dx=F(x)+c，则òf(2x-3)dx= 12F(2x-3)+c 10若òf(x)dx=F(x)+c，则òxf(1-x2)dx= -12F(1-x2)+ c 8 二、单项选择题 1下列等式成立的是 Aòdxdf(x)dx=f(x) Bòf¢(x)dx=f(x) Cdòf(x)dx=f(x) Dòdf(x)=f(x) 解：应选A 2若òf(x)dx=x2e2x+c，则f(x)=. A. 2xe2x(1+x) B. 2x2e2x C. 2xe2x D. xe2x 解：两边同时求导，得：f(x)=2xe2x+2x2e2x=2xe2x(1+x)，所以应选A 3若f(x)=x+x(x>0)，则òf¢(x)dx=. 2 A. x+x+c B. x+x+c C. x+2323x2+c D. 12x+2233x2+c 解：应选A 4以下计算正确的是 A3dx=xd3xln3 Bdx1+x2=d(1+x) 2Cdxx=dx Dlnxdx=d(1x) 解：应选A 5òxf¢¢(x)dx= A. xf¢(x)-f(x)+c B. xf¢(x)+c C. 解：òxf¢¢(x)dx=6dòaAa-2x122xf¢(x)+c D. (x+1)f¢(x)+c òxdf¢(x)=xf¢(x)-òf¢(x)dx=xf¢(x)-f(x)+c，所以应选A dx= -2x1x-2x B-2a-1xlnadx Ca-2xdx Da-2xdx+c 解：应选C 7如果等式òf(x)eA.-1xdx=-e-+C，则f(x)= 1x1x B. -1x2 C. -1x- D. 1x21x21x2解：两边求导，得：f(x)e=-e×，所以f(x)=-，故应选B 三、计算题 1ò3-x3+xsinxxdx 解：ò3-x3+xsinxx233dx=3ò1xdx-òxdx+òsinxdx =3lnx-x2-cosx+c 9 2ò(2x-1)10dx 解：ò(2x-1)10dx= =122(2x-1)1112ò(2x-1)d(2x-1)=101210+1×1(2x-1)10+1+c +c sin1x23òxdx 1xsin解：òx2dx=-òsin111d=cos+c xxx4òxsin2xdx 解：òxsin2xdx=- =-12xcos2x+1214òxdcos2x=-12(xcos2x-òcos2xdx) sin2x+c 5òxe-xdx 解：òxe-xdx=-òxde-x=-(xe-x-òe-xdx)=-xe-x-e-x+c 四、极值应用题 1 设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 解：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为60-x厘米，以60-x厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V为： V=px(60-x)，即：V=60px-px dVdx=120px-3px，令2223dVdx=0，得： x=0 ，x=40，这时60-x=20 由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，才能使圆柱体的体积最大。 2 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 216x648x 解：设矩形的长为x米，则矩形的宽为L=2x+3×dLdx=2-216x2米，从而所用建筑材料为： 216x=12 ，即：L=2x+dLdx648x，令=0得：x=18，这时由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省 五、证明题 函数f(x)=x-e在解答 定积分及应用、微分方程 一、填空题 1 ò12-1(sinxcos2x-x)dx=_. 解：ò1(sinxcos2x-x2)121-1dx=ò-1sinxcos2xdx-ò1-1xdx=-2òx2dx=-203p2ò2(x5-4x+cosx)dx=_. -p2ppppp解：ò2(x5-4x+cosx)dx=52pcosxdx=22=2 -pò2p(x-4x)dx+-ò-ò20cosxdx=2sinx02223已知曲线y=f(x)在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程是 。233解：由òxdx=3x2+c得所求的曲线方程由y=23x2+c确定 因为曲线过(4,5)，所以5=233×42+c，解得：c=-1323 因此所求的曲线方程为y=3x2-134若ò1(5x3-3x+2)dx= -1解：ò1-1(5x3-3x+2)dx=ò1-1(5x3-3x)dx+ò1-12dx=4ò10dx=4 5由定积分的几何意义知，òa 。 0a2-x2dx= 解：由定积分的几何意义知，òaa20-x2dx就等于圆x2+y2=a2在第象限的面积，即 圆x2+y2=a2面积的1，因此òa2214a0-xdx=4pa26ddxòe21ln(x+1)dx= . 解：de2dxò1ln(x+1)dx=0 7ò02x-¥edx= 11 解：òe2xdxlim-¥0b®-¥ò0be2xdx=12b®-¥limò0be2xd(2x)=lim120b®-¥e2xb =12b®-¥lim(1-e2b)=128微分方程y¢=y,y(0)=1的特解为 . dydx解：由y¢=y得=y，dyy=dx，两边同时积分，得lny=x+c 因为y(0)=1，所以ln1=0+c，所以c=0 从而lny=x，因此微分方程y¢=y,y(0)=1的特解为y=ex 9微分方程y¢+3y=0的通解为 . dydx解：y¢+3y=0，+3y=0，dyy+3dx=0，lny+3x=c1 lny=c1-3x，y=ec1-3x，即y=ec×e-3x 1 所以微分方程y¢+3y=0的通解为y=ce-3x 10微分方程(y¢¢)3+4xy(4)=y7sinx的阶数为 解：微分方程(y¢¢)3+4xy(4)=y7sinx的阶数为4阶 二、单项选择题 1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点的曲线为 Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 Cy=x2+2 Dy=x2+1 2若ò(2x+k)dx= 2，则k = 01 A1 B-1 C0 D3下列定积分中积分值为0的是 Aò1-112e-e2x-xdx Bò1-1e+e2ax-xdx Còp-p(x+cosx)dx 3Dòp-p(x+sinx)dx 24设f(x)是连续的奇函数，则定积分òf(x)dx= -aA2òf(x)dx Bòf(x)dx Còf(x)dx D 0 -a-a000ap2sinxdx=5òp -2A0 Bp C6下列无穷积分收敛的是 p2 D2 12 Aò+¥0xedx Bò+¥0edx -xCò+¥1x1dx Dò+¥1x1dx 7下列无穷积分收敛的是 Aò+¥0sinxdx Bò+¥0e-2xdx Cò+¥11xdx Dò+¥11xdx 8下列微分方程中，是线性微分方程 Cy¢¢+xy¢=ey Dy¢¢sinx-y¢ex=ylnx Ayx2+lny=y¢ By¢y+xy2=ex 9微分方程y¢=0的通解为 Ay=Cx By=x+C Cy=C Dy=0 10下列微分方程中为可分离变量方程的是 A. dydx=x+y； B. dydx=xy+y； C. dydx=xy+sinx； 三、计算题 1òln2xx0e(1+e)2dx 解：òln2x2òln2x2x1ln20e(1+ex)dx=0(1+e)d(1+e)=3(1+ex)3=9-803=1932òe1+5lnx1xdx 解：òe1+5lnxe1xdx=ò1(1+5lnx)dlnx=15òe1(1+5lnx)d(1+5lnx) e =11215×2(1+5lnx)=110(6-1)=123ò1xexdx 0解：ò1xexdx0=ò1x1x0xdex=xe0-ò10edx=e-ex10=e-(e-1)=1 4òpxsinx02dx 解：òpxpx2dx=2ò0xsin2d(x2)=-2òpx0xsin0xdcos2 =-2(xcosxpx2-òpòpx00cos2dx)=20cos2dx =4òpxxxp0cos2d(2)=4sin2=4 0p5ò20xsinxdx D. dydx=x(y+x)13 pppp解：ò2xsinxdx=-ò2xdcosx=-(xcosx2-2000ò0cosxdx) p =sinx20=1 6求微分方程y¢+y27x=x+1满足初始条件y(1)=4的特解 解：微分方程的通解为y=e-òp(x)dxòq(x)eòp(x)dxdx+c 这里 p(x)=1x，q(x)=x2+1 代入得微分方程的通解为y=11x(4x4+12x2+c) 将初始条件y(1)=74代入上式，解得c=1 所以微分方程的特解为y=1x(14x4+12x2+1) 7求微分方程y¢-yx=2xsin2x的通解。 解：微分方程的通解为y=e-òp(x)dxòq(x)eòp(x)dxdx+c 这里p(x)=-1x，q(x)=2xsin2x 代入得微分方程的通解为y=x(-cos2x+c) 四、证明题 证明等式òa-af(x)dx=òa0f(-x)+f(x)dx。 证明：òa-af(x)dx=ò0-af(x)dx+òa0f(x)dx 考虑积分ò0，令-dt，从而 -af(x)dxx=-t，则dx= ò00a-af(x)dx=ò0af(-t)-dt=-òaf(-t)dt=òa0f(-t)dt=ò0f(-x)dx 所以òa-af(x)dx=ò0-af(x)dx+òa0f(x)dx =òa0f(-x)dx+òaf(x)dx=a0ò0f(-x)+f(x)dx 14