微积分之幂级数.docx

微积分之幂级数注意：对于级数¥åun=1¥n，当åun=1¥n收敛时，åun=1¥n绝对收敛. (-1)n-1(-1)n-1例 证å绝对收敛：令un=，则 22(2n-1)(2n-1)n=1¥111¥1un=£,å收敛Þåun收敛 (2n-1)2n+(n-1)2n2n=1n2n=1故 原级数绝对收敛. §7.5 幂级数 教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数. 重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂 级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常 数项级数的和. 教学方法：启发式讲授 教学过程： 一、函数项级数的概念 1设 u1(x),u2(x),L,un(x),L 是定义在区间I上的函数,则 åu(x)=u(x)+u(x)+L+u(x)+L n12nn=1¥称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数. 2收敛域 (1) 收敛点x0ÎI 常数项级数 (2) 发散点x0ÎI常数项级数 ¥åu(x)收敛； n0n=1¥n0¥åu(x)发散； n=1(3) 收敛域D 函数项级数åun=1n(x)的所有收敛点形成的集合D； 1 (4) 发散域G åun=1¥n(x)的发散点的全体构成的集合G. 3和函数S(x) S(x)=若函数项级数åu(x), xÎD. nn=1¥åun=1¥n(x)在收敛域内每一点都对应于S(x)的一个函数值， 则称S(x)为函数项级数åun=1¥n(x)的和函数. 4余项rn(x) rn(x)=S(x)-Sn(x), Sn(x)= 注: 只有在收敛域D上, rn(x)才有意义； limrn(x)=0, xÎD. n®¥åuk=1nk(x), xÎD. 二、幂级数及其收敛半径和收敛域 1形如åa(x-x)n0n=0¥n的函数项级数称为(x-x0)的幂级数.，其中 a0,a1,a2,数.当x0=0时, .an,为常数，称为幂级数的系 åaxnn=0¥n称为x的幂级数, 其中 常数an称为幂级数的系数. nn0结论：对于级数¥åa(x-x)n=0nn，作代换t=x-x0可以将一般幂级数化 为标准幂级数åatn=0，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法. åaxnn=0¥n的收敛域：此级数的全体收敛点的集合. 显然: x0ÎD(收敛域)，即幂级数总在x=x0点处收敛. (x-1)n 例如: åx, å均为幂级数. n!n=0n=0¥n¥ 2 显然: åxn=0¥n的收敛域D=(-1,1),其发散域G=(-¥,-1U1,+¥). 且和函数S(x)=2.级数的收敛域 把级数åxn=n=0¥1, |x|<1.此结论可当公式使用. 1-xåaxnn=0¥n的各项取绝对值得正项级数åaxnn=0¥n， an+1xn+1an+1记 lim=l，则 lim=lx；于是由比值判别法知 nn®¥n®¥aaxnn¥1n若lx<1,(l¹0)，即x<=R，åanx绝对收敛. ln=0¥1n(2) 若lx>1，即x>=R，åanx发散. ln=0¥1n(3) 若lx=1，即x=R，比值法失效，åanx敛散另行判定. ln=0若l=0，即lx=0<1，此时对任意x，上述分析显示级数åaxnn=0¥n收敛. åaxnn=0¥n在一个以原点为中心，从-R到R的区间内 绝对收敛，区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间，R=为收敛半径. 若级数1låaxnn=0¥¥n仅在点x=0收敛，则规定R=0，级数的收敛域为x=0 n例如 级数 ån!xn=0=1+x+2!x2+n+n!xn+n！xun+1=lim=limnx>1(x¹0)， 由于 limn-1n®¥un®¥n®¥(n-1)!xn 级数收敛域为 x=0或 0；独点集. 3 若åaxnn=0¥n对任意x都收敛，则R=+¥，级数的收敛域为(-¥,+¥). 当0<R<+¥时，要讨论级数在x=±R处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一：(-R,R),-R,R),(-R,R,-R,R. 3.设åaxnn=0¥n的收敛域为D，则 若x0ÎD且x0¹0, 则对"|x|<|x0|, åaxnn=0¥n收敛且绝对收敛. ¥n (2) 若x0ÏD, 则 对"|x|>|x0|,有xÏD即级数证明: (1) x0ÎDÞ由 åaxnn=0发散. åaxn=0¥nn0收敛， $M>0åaxn=0¥nn0n收Þax®0(n®¥)=>|anx0|£M(M>0的常数） nn0xxxn<1, ,因|×£M=>0£|anxn|=|anx0x0x0x0|x|<|x0|¥xn从而 åM收敛,Þ正项级数å|anx|收敛 x0n=0n=0¥nnnÞåanx收敛ÞxÎD即对"|x|<|x0|,åanxn收敛且绝对收敛. nn=0n=0¥¥(2) x0ÏD,假若有x1ÎD满足|x1|>|x0|=>¥由(1)åaxn=0¥nn0收敛 Þx0ÎD矛盾. 所以"|x|>|x0|,有åanxn发散，即xÏD. n=0 注意:(1) 若x0ÎD, 则 (-|x0|,|x0|)ÌD(收敛域), (x0¹0)； (2) 若x0ÏD, 则 (-¥,-|x0|)¥(|x0|,+¥)ÌG(发散域). n®¥4.若幂级数åanxn系数满足条件 limn=0an+1=l或 an4 limn|an|=l，则 n®¥ (1) 当0<l<+¥时, 则R=； (2) 当l=0时, 则R=+¥. 当l=+¥时, 则R=0. 常用公式: R=lim1lan1，R=. n®¥anlimann+1n®¥n例如: 幂级数åxn=0¥¥的收敛半径R=1,x=±1时，级数发散，故其敛区 与敛域均为(-1,1). xn例1 求幂级数å(-1)的收敛半径与收敛域. nn=1n-11解 (1) 级数的通项为 an=(-1) nan+1R=limn=lim=1. n®¥nn®¥an+1n-1(-1)n (2) 当x=1时, 级数为å收敛； nn=1¥1当x=-1时, 级数为å发散. n=1n¥故收敛区间是(-1,1)，收敛域为(-1,1. xn例2 求幂级数å的收敛半径与收敛域. n!n=0¥a1(n+1)!=lim(n+1)=+¥, ÞR=limn=limn®¥n®¥n®¥n!n!an+1故 收敛区间和收敛域均是 (-¥,+¥). 解: an= 求幂级数ån!xn=0¥n的收敛半径. 5 解: na=n!ÞR=limn®¥n!1an=lim=lim=0. an+1n®¥(n+1)!n®¥n+1xn-1的收敛半径与收敛域. 练习：求幂级数提示：R=limn®¥å(-1)n=0¥n-1an=1ÞR=1，又an+1x=1时级数发散.收敛域(-1,1). 例3 求幂级数å(-1)n=0¥n-13n×x2n的收敛半径与收敛域. nun+1(-1)n3n+1x2(n+1)n提示：lim =lim×n-1n2nn®¥un®¥n+1(-1)3xn3n2=limx=3x2 n®¥n+11122当3x<1Þx<时级数收敛；当3x>1Þx>时级数发散. 33¥1n-11当 x=±时，原级数是å(-1)，收敛的交错级数. n3n=111111,)，收敛域-,. 所以 收敛半径R=，收敛区间(-33333注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径. (-1)n-1x2n-1求幂级数å的收敛域. 2n-1n=1¥un+1x2n+12n-12n-122解：lim=lim×2n-1=x×lim=x n®¥un®¥2n+1xn®¥2n+1n由x<1即x<1时级数收敛，由由x>1即x>1时级数发散. 得 R=1 n1n¥当x=1时，å收敛，当x=-1时，å收敛， 11n=12nn=12n所以 收敛域为 -1,1. ¥22 6 (2x+1)n例4求幂级数å的收敛半径与收敛域. nn=1¥tn解 令t=2x+1,幂级数变形为å, n=1n1an1Rt=limn=limn+1=lim=1ÞRt=1ÞRx= n®¥an®¥n®¥n+112n+1n1111t<1Þx+<时级数绝对收敛，t>1Þx+>时级数发散， 2222¥1t=1Þx=-1,x=0，当x=-1时原级数为å(-1)n收敛， nn=1¥11当x=0时，å发散，故 原级数收敛半径R=，收敛域为-1,0. 2n=1n¥注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换. 提问：(02.3) 设幂级数åanx与åbnxn的收敛半径分别为nn=1¥¥n=15与32¥an1,则幂级数å2xn的收敛半径为 3n=1bn(A) 5 (B) 答案 liman+1n®¥an511 (C) (D) 33522bn+1an39111+1bn=3Þ=lim2×2=×= ,limRn®¥bn+1an5955n®¥bn¥(x-3)n (90.5) 求级数å的收敛域. 2nn=1tnan+1n2=lim=1知Rt=1, 解 令t=x-3，级数å2,由lim2n®¥n®¥an(n+1)n=1n¥因此当-1<x-3<1即2<x<4时级数收敛. 7 ¥1(-1)n当x=2时,原级数为å收敛,当时,原级数为收敛. x=4å22n=1nn=1n所以收敛域为2,4. ¥(x-2)2n (92.3) 级数å的收敛域为(0,4). nn×4n=1¥tnan+1n×4n1答 令t=(x-2) 对于å,由, lim=lim=nn+1n®¥n®¥an(n+1)×44n=1n×4n¥于是收敛半径Rt=4,则-4<(x-2)<4,即0<x<4内收敛. 当x=0和x=4时,原级数都为21发散,所以收敛域为(0,4). ånn=1¥三、幂级数以及和函数的运算性质 1.设 åaxnn=0¥n和åbnxn的收敛半径分别为Ra和Rb n=0¥1）加减法: åax±åbx=å(annnnn=0n=0n=0¥¥¥¥¥n±bn)xn,xÎ(-Rc,Rc). 其中: Rc=minRa,Rb. 2）乘法: åax×åbx=åcx=å(åab)xnnnnnnijn=0n=0n=0n=0i+j=n¥¥n,xÎ(-Rc,Rc). ,n=1,2,L. 其中: Rc=minRa,Rb, cn=åabk=0nkn-kåaxn¥n3）除法: åbxnn=0n=0¥n=åcnxn,xÎ(-Rc,Rc). n=0n¥ 其中: Rc待定, 而cn由系列表达式an=此处, Ra=Rb=+¥, 但Rc=1. åbck=0kn-k,n=1,2,L确定. 8 2.幂级数3.幂级数åaxnn=0¥¥n的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内是连续. 的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内可积，且 åaxnn=00n有逐项积分公式 òx0S(x)dx=òx¥åantdt=ånn=0ann+1x,|x|<R¢=R. n=0n+1¥(积分前后的收敛半径不变). 例: 1=1+x+x2+L+xn+L, |x|<1.逐项积分时在x=1处无 1-x意义. 4.幂级数åaxnn=0¥n的和函数S(x)在其收敛区间上可微，且在收敛区间上 ¢¥æ¥nön-1 S¢(x)=çåanx÷=ånanx, |x|<R¢=R. èn=0øn=1说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变. 公式 åxn=n=0¥1收敛域为x<1 1-x¥¥xn(-1)n例5 求幂级数å的和函数S(x),并求å. n=0n+1n=0n+1¥(-1)nann+2解：(1) R=lim级数为å收 =lim=1.当x=-1时, n®¥n+1n®¥an+1n=1n+1敛；当x=1时, 级数为ån+1发散. 故原级数收敛域是-1,1). n=1¥1¢¥æ¥xn+1ö1n÷(2) 当0<|x|<1时, 有xS(x)¢=ç. =x=çån+1÷å1-xèn=0øn=0xx1dt=-ln(1-x), 于是 xS(x)=òtS(t)¢dt=ò001-t9 由于S(0)=1且幂级数在其收敛域上连续, ì1ï-ln(1-x), -1£x<0,或0<x<1; S(x)=íxïî1, x=0. ¥(-1)n=S(-1)=ln2. 取 x=-1代入和函数可得 ån+1n=0求幂级数¥ånxn=1¥n-1=1+2x+3x2+nxn-1+的和函数S(x)， ¥n2n并求级数ån及级数ån的和. n=12n=13解 1）r=limn®¥¥an+1n+1=lim=1，所以R=1. n®¥nan¥n当x=1时，ån发散，当x=-1时，å(-1)n=1n=1×n发散. 所以 级数敛域为(-1,1). 2）设S(x)=xånxn=1¥n-1,xÎ(-1,1)，则 1x-1=,xÎ(-1,1) ò001-x1-xn=1n=1dxx1¢S(x)=S(t)dt=,xÎ(-1,1)为所求和函数. dxò01-x(1-x)2¥¥1n-111n3）令x=，则有 ån=，所以ån=2. 122n=12n=1(1-)22¥¥1n-1112n34）令x=，则有 ån=，所以ån=. 1233n=13n=1(1-)23¥xn练习：求幂级数å的和函数S(x)：n=1nS(t)dt=òx¥åntn-1dt=åxn=¥ 10 敛域1，1)S(x)ln(1-x) (2) (99.3) ån(2)n=1¥1n-1=_. ¥x11=(åxn)¢=¢=(-1)¢=, 21-x1-x(1-x)n=1n=1¥111令x=，则有ånn-1=S=4,所以答案为4. 222n=1因为S(x)=ånx¥n-1p例6 (00.6) 设In=pò40sinxcosxdx,n=0,1,2,L,求åIn的和. nn=0¥解 由In=¥ò40sinnxdsinx=4112(sinx)n+1=n+1, n+12n+10p¥1n+112n+1x, 得åIn=å,令S(x)=å2n=0n+1n=0n=0n+1¥1n则其收敛半径R=1,在(-1,1)内S¢(x)=åx=, 1-xn=0x1于是 S(x)=òdt=-ln1-x, 01-t¥22122令x=,则S(, )=ån+1=-ln1-2222n=0n+1¥从而 åIn=åò4sinnxcosxdx=lnn=0n=00¥n¥¥p11-22=ln(2+2). x2n(x<1)的和函数f(x)及其极值. 例7 (03.9) 求幂级数1+å(-1)2nn=1x2n(x<1) 解 依题意f(x)=1+å(-1)2nn=1¥n 11 f¢(x)=å(-1)xnn=1¥2n-11¥x=å(-x2)n=-, xn=11+x2上式两边从0到x积分,得 t1x1122dt=-d(1+t)=-ln(1+x), 2ò01+t2021+t21由f(0)=1得f(x)=1-ln(1+x2),(x<1).令f¢(x)=0,求得唯一驻 21-x2,f¢¢(0)=-1<0, 点x=0,由于f¢¢(x)=-22(1+x)可见f(x)在x=0处取得极大值,且极大值为f(0)=1. ¥1例8(05.9) 求幂级数å(-1)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x). n=12n+1f(x)-f(0)=-òx¥x2n,S2(x)=åx2n, 解 设S1(x)=ån=12n+1n=1¥x2, 则 S(x)=S1(x)-S2(x),xÎ(-1,1), 由于S2(x)=åx-21-xn=1¥2n(xS1(x)¢=åxn=1x¥2nx2=,xÎ(-1,1), 1-x2t211+xdt=-x+ln, 又由于S1(0)=0, 因此 xS1(x)=ò01-t221-x11+xì-1+ln, 0<x<1,ï所以 S1(x)=í 2x1-xï = 0.î0, x1ì11+x-, 0<x<1,ïln故 S(x)=S1(x)-S2(x)=í2x1-x1-x2 ï x=0.î 0, 练习:求下列级数的收敛区间,并求和函数: x3x5x7+-+L (1)x-357 12 (-1)n-12n-1x,由 解 该级数为ån=12n-1¥limun+1n®¥unx2n+1+1=x2lim2n-1=x2,知当x2<1时幂级数绝对收敛. =lim2nn®¥x2n-1n®¥2n+12n-1¥¥(-1)n(-1)n-1当x=-1时,幂级数å收敛;当x=1时,幂级数å收敛, n=12n-1n=12n-1所以原幂级数的收敛域为-1,1. (-1)n-12n-1x,则当xÎ(-1,1)时有 设S(x)=ån=12n-1¥¥¥(-1)n-12n-11n-12n-2x)¢=å(-1)x=å(-x2)n-1=, S¢(x)=(å22n-11+xn=1n=1n=1x1所以 S(x)=òdt=arctanx. 01+t2357(2)2x+4x+6x+8x+L ¥解 该幂级数为å2nxn=1¥2n-1,由 un+1(2n+2)x2n+1n+12lim=lim=xlim=x2, 2n-1n®¥un®¥n®¥n2nxn知当x<1时幂级数绝对收敛. 当x=-1时,幂级数2å(-2n)发散;当x=1时,幂级数å2n发散, n=1n=1¥¥所以原幂级数的收敛区间为(-1,1). 设S(x)=¥å2nxn=1¥2n-1,则当xÎ(-1,1)时,有 ¥2nx22x¢. S(x)=å(x)¢=(åx)¢=2221-x(1-x)n=1n=12n小结：1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别. 13 2.利用幂级数的性质求幂级数的和函数时，求导或求积分时前后 的收敛区间不变. 3.利用幂级数的和函数可以求常数项级数的和；求出和函数后， 取x的特值代入和函数即得所求. 4对缺项幂级数在求收敛半径时应设辅助变量转化为常规形幂级 数或直接用正项级数的比值判别法求收敛区间. 课后记：存在问题： 1.对缺项幂级数以及通项为an(x-x0)的幂级数求收敛半径以及收敛域 问题多. 2.求幂级数的和函数，不知从何下手.不能灵活运用幂级数的性质以及四 个常用公式灵活变形找S(x)的表达式. 3.不能灵活运用和函数求常数项级数的和. n 14