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微分几何练习题库及参考答案微分几何复习题与参考答案 一、填空题 1极限lim(3t2+1)i-t3j+k=13i-8j+k t®22设f(t)=(sint)i+tj，g(t)=(t2+1)i+etj，求lim(f(t)×g(t)= 0 t®03已知òr(t)dt=-1,2,3， òr(t)dt=-2,1,2，a=2,1,1，b=1,-1,0，则2446ò42a´r(t)dt+b×òa×r(t)dt=3,-9,5. 264已知r¢(t)=a，则r(t)=ta+c 15已知r¢(t)=ta，则r(t)= t2a+c 26. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的_ 切线_和 密切平面_. 7. 曲率恒等于零的曲线是_ 直线_ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_ 平面曲线_ . 9. 切线和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线r=r(t)在t = 2处有a=3b，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点(u0,v0)处ru´rv¹0，则(u0,v0)为曲面的_ 正常_点. 12 已知f(t)=(2+t)j+(lnt)k，g(t)=(sint)i-(cost)j，t>0，则ò13曲线r(t)=2t,t3,et在任意点的切向量为2,3t2,et 14曲线r(t)=acosht,asinht,at在t=0点的切向量为0,a,a 15曲线r(t)=acost,asint,bt在t=0点的切向量为0,a,b d (f×g)dt=2-6cos4dt041x-ee=z-1 16设曲线C:x=et,y=e-t,z=t2，当t=1时的切线方程为=1e2-ey-17设曲线x=etcost,y=etsint,z=et，当t=0时的切线方程为x-1=y=z-1. 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_ _. 19. u曲线的正交轨线的微分方程是 _ Edu+Fdv0_. 20. 在欧拉公式kn=k1cos2q+k2sin2q中，q是 方向(d) 与u曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式I,II,III、高斯曲率K、平均曲率H之间的关系是III-2HII+KI=0 . 22已知r(u,v)=u+v,u-v,uv，其中u=t2,v=sint，则23已知r(j,q)=acosjcosq,dr=2t+cost,2t-cos,2tvt+ucostdt acosjsinq,asinj，其中j=t，q=t2，则 1 dr(j,q)=-asinjcosq-2atcosjsinq,dt-asinjsinq+2atcosjcosq,acosj 24设r=r(u,v)为曲面的参数表示，如果ru´rv¹0，则称参数曲面是正则的；如果r:G®r(G) 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面 25如果u-曲线族和v-曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 26平面r(u,v)=u,v,0的第一基本形式为du2+dv2，面积微元为dudv 27悬链面r(u,v)=coshucosv,coshusinv,u第一基本量是E=cosh2u，F=0,G=cosh2u 28曲面z=axy上坐标曲线x=x0，y=y0的交角的余弦值是a2x0y0(1+ax0)(1+ay0)2222. 29正螺面r(u,v)=ucosv,usinv,bv的第一基本形式是du2+(u2+b2)dv2 30双曲抛物面r(u,v)=a(u+v),b(u-v),2uv的第一基本形式是(a2+b2+4v2)du2+2(a2-b2+4uv)dudv+(a2+b2+4u2)dv2 31正螺面r(u,v)=ucosv,usinv,bv的平均曲率为 0 32方向(d)=du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)=0或Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0 33. 方向(d)=du:dv和()=u:v共轭的充要条件是II(dr,r)=0或Lduu+M(duv+dvu)+Ndvv=0 lE-L34.l是主曲率的充要条件是lF-MlF-M=0 lG-NEdu+FdvLdu+Mdvdv2=0或EL-dudvdu2FMG=0 N35.(d)=du:dv是主方向的充要条件是Fdu+GdvMdu+Ndv36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)=(du:dv)是主方向，则dn=-kndr，其中kn是沿方向(d)的法曲率 37旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面 38测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面P上的正投影曲线(C*)的曲率 39k,kg,kn之间的关系是k2=kg2+kn2 40如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 41正交网时测地线的方程为 2 EvGuìdq=cosq-sinqïds2EG2GEïïducosq í=Eïdsïdvsinqï=Gîds42曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题 1已知r(t)=et,t,e-t，则r¢¢(0)为 A. 1,0,1； B. -1,0,1； C. 0,1,1； D. 1,0,-1. 2已知r¢(t)=lr(t)，l为常数，则r(t)为 A. lta； B. la； C. elta； D. ela. 其中a为常向量 3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是 A切线与固定方向成固定角； B副法线与固定方向成固定角； C主法线与固定方向垂直； D副法线与固定方向垂直 4. 曲面在每一点处的主方向 A至少有两个； B只有一个； C只有两个； D可能没有. 5球面上的大圆不可能是球面上的 A测地线； B曲率线； C法截线； D渐近线. 6. 已知r(x,y)=x,y,xy，求dr(1,2)为 A. dx,dy,dx+2dy； B. dx+dy,dx-dy,0； C. dx-dy,dx+dy,0； D. dx,dy,2dx+dy. 7圆柱螺线r=cost,sint,t的切线与z轴. A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角pp； D. 有固定夹角. 438设平面曲线C:r=r(s)，s为自然参数，a,b是曲线的基本向量叙述错误的是 A. a为单位向量； B. aa； C. a=-kb； D. b=-ka+tg. 9直线的曲率为 A. -1； B. 0； C. 1； D. 2. 10关于平面曲线的曲率C:r=r(s)不正确的是 A. k(s)=a(s)； B. k(s)=j(s)，j为a(s)的旋转角； C. k(s)=-a×b； D. k(s)=|r(s)|. 11对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的 3 A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件. 12下列论述不正确的是 A. a,b,g均为单位向量； B. ab； C. bg； D. ab. 13对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的 A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件. 14x=a(t-sint),y=a(1-cost),z=4asintp在点t=的切线与z轴关系为 22A. 垂直； B. 平行； C. 成pp的角； D. 成的角. 34x2y2z215椭球面2+2+2=1的参数表示为 abcA. x,y,z=cosjcosq,cosjsinq,sinj； B. x,y,z=acosjcosq,bcosjsinq,sinj； C. x,y,z=acosjcosq,bcosjsinq,csinj； D. x,y,z=acosjcosq,bsinjcosq,csin2q. 16曲面r(u,v)=2u-v,u2+v2,u3-v3在点M(3,5,7)的切平面方程为 A. 21x+3y-5z+20=0； B. 18x+3y-4z-41=0； C. 7x+5y-6z-18=0； D. 18x+5y-3z+16=0. 17球面r(u,v)=Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu的第一基本形式为 A. R2(du2+sin2udv2)； B. R2(du2+cosh2udv2)； C. R2(du2+sinh2udv2)； D. R2(du2+cos2udv2). 18正圆柱面r(u,v)=Rcosv,Rsinv,u的第一基本形式为 A. du2+dv2； B. du2-dv2； C du2+R2dv2； D. du2-R2dv2. 19在第一基本形式为I(du,dv)=du2+sinh2udv2的曲面上，方程为u=v(v1£v£v2)的曲线段的弧长为 A coshv2-coshv1； B sinhv2-sinhv1； C coshv1-coshv2； D sinhv1-sinhv2 20设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是 A E=0； B F=0； C G=0； D M=0 21高斯曲率为零的的曲面称为 A极小曲面； B球面； C常高斯曲率曲面； D平面 22曲面上直线的测地曲率等于 A 0； B 1； C2； D 3 4 23当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为 A ¶lnE1¶lnE； B -； 2E¶u2G¶v1¶lnG1¶lnE； D 2E¶v2G¶u1C -24如果测地线同时为渐近线，则它必为 A 直线； B 平面曲线； C 抛物线； D 圆柱螺线 三、判断题 1. 向量函数r=r(t)具有固定长度，则r¢(t)r(t). 2. 向量函数r=r(t)具有固定方向，则r¢(t)r(t). 3. 向量函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模r¢(t). × 4. 曲线G的曲率、挠率都为常数，则曲线G是圆柱螺线. × 5. 若曲线G的曲率、挠率都为非零常数，则曲线G是圆柱螺线. 6. 圆柱面r=Rcosq,Rsinq,z,z-线是渐近线. 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 9. 等距变换一定是保角变换. 10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一 × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量 × 16. 曲面上的直线一定是测地线 17. 微分方程A(u,v)du+B(u,v)dv=0表示曲面上曲线族. × 18. 二阶微分方程A(u,v)du2+2B(u,v)dudv+C(u,v)dv2=0总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0，这里F是第一基本量. 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. 四、计算题 1求旋轮线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的0£t£2p一段的弧长 解 旋轮线r(t)=a(t-sint),a(1-cost)的切向量为r¢(t)=a-acost,asint，则在0£t£2p一 5 2p2p段的弧长为：s=òr¢(t)dt=ò002a1-costdt=8a 2求曲线x=tsint,y=tcost,z=tet在原点的切向量、主法向量、副法向量 解 由题意知 r¢(t)=sint+tcost,cost-tsint,et+tet， r¢¢(t)=2cost-tsint,-2sint-tcost,2et+tet， 在原点，有 r¢(0)=(0,1,1),r¢¢(0)=(2,0,2)， 又 a=r¢(r¢×r¢)r¢¢-(r¢×r¢¢)r¢r¢´r¢¢, b=，g=， r¢r¢×r¢´r¢¢r¢´r¢¢22666333,),b=(,-,),g=(,-). 22366333所以有a=(0,3圆柱螺线为r(t)=acost,asint,bt， 求基本向量a,b,g； 求曲率k和挠率t. 解 r¢(t)=-asint,acost,b，r¢¢(t)=-acost,-asint,0， 又由公式a=a=1a+b2r¢(r¢×r¢)r¢¢-(r¢×r¢¢)r¢r¢´r¢¢, b=,g= ¢¢¢¢¢¢¢¢rr×r´rr´r=1a+b22-asint,acost,b,b=-cost,-sint,0,g2r¢´r¢¢r¢3bsint,-bcost,a 由一般参数的曲率公式k(t)=有k=abt=，. a2+b2a2+b2及挠率公式t(t)=(r¢,r¢¢,r¢¢¢) 2r¢´r¢¢4求正螺面r(u,v)=ucosv,usinv,bv的切平面和法线方程 解 ru=cosv,sinv,0，rv=-usinv,ucosv,b，切平面方程为 x-ucosvcosv-usinvy-usinvsinvucosvz-bv0b=0， Þbsinv×x-bcosu×y+uz-buv=0, 法线方程为x-ucosvy-usinvz-bv= bsinv-bcosvu5求球面r(j,q)=acosjcosq,acosjsinq,asinj上任一点处的切平面与法线方程 解 rj=-asinjcosq,-asinjsinq,acosj， rq=-acosjsinq,acosjcosq,0， e1rj´rq=-asinjcosq-acosjsinqe2-asinjsinqacosjcosqe3acosj 0 6 =a2cosj-cosjcosq,-cosjsinq,-sinj 球面上任意点的切平面方程为 x-acosjcosq,y-acosjsinq,z-asinj×a2cosj-cosjcosq,-cosjsinq,-sinj=0, 即cosqcosj×x+cosjsinq×y+sinj×z-a=0， 法线方程为 (x-acosjcosq,y-acosjsinq,z-asinj)=l×a2cosj(-cosjcosq,-cosjsinq,-sinj), 即x-acosjcosqy-acosjsinqz-asinj =cosjcosqcosjsinqsinj6求圆柱螺线x=acost,y=asint,z=t在点(a,0,0)处的密切平面. 解 r¢(t)=-asinta,cotsr¢¢,(t)=-aco-st,asitn ,所以曲线在原点的密切平面的方程为 x-a-asint-acosty-0acost-asintz-01=0， 0即(sint)x-(cost)y+az-asint=0. 7求旋转抛物面z=a(x2+y2)的第一基本形式 解 参数表示为r(x,y)=x,y,a(x2+y2)，rx=1,0,2ax，ry=0,1,2ay， E=rx×rx=1+4a2x2，F=rx×ry=4a2xy，G=ry×ry=1+4a2y2， I(dx,dy)=(1+4a2x2)dx2+8a2xydxdy+(1+4a2y2)dy2 8求正螺面r(u,v)=ucosv,usinv,bv的第一基本形式 解 ru=cosv,sinv,0，rv=-usinv,ucosv,b， E=ru×ru=1，F=ru×rv=0，G=rv×rv=u2+b2，I(du,dv)=du2+(u2+b2)dv2 9计算正螺面r(u,v)=ucosv,usinv,bv的第一、第二基本量 解 ru=cosv,sinv,0，rv=-usinv,ucosv,b， ruu=0,0,0，ruv=-sinv,cosv,0，rvv=-ucosv,-usinv,0， ijkru´rv=cosvsinv0=bsinv,-bcosv,u， -usinvucosvbn=ru´rvbsinv,-bcosv,u， =22ru´rvb+ubb+u22E=ru×ru=1，F=ru×rv=0，G=rv×rv=u2+b2， L=ruu×n=0，M=ruv×n=-，N=rvv×n=0 7 10计算抛物面z=x2+y2的高斯曲率和平均曲率 解 设抛物面的参数表示为r(x,y)=x,y,x2+y2，则 rx=1,0,2x，ry=0,1,2y，rxx=0,0,2，rxy=ryx=0,0,0，ryy=0，0，2， ijkrx´ry=102x=-2x,-2y,1， 012yn=rx´ry2y,1|r=-2x,-x´ry|4x2+4y2+1， E=rx×rx=1+4x2， F=rx×ry=4xy， G=ry×ry=1+4y2， L=rxx×n=24x2+4y2， +1M=rxy×n=0， N=ryy×n=2，4x2+4y2+14K=LN-M24x2+4y2+-04EG-F2=1(1+4x2)(1+4y2)-(4xy)2=(4x2+4y2+1)2， H=1GL-2FM+EN4x2+4y2+2×EG-F2=23 (4x2+4y2+1)211. 计算正螺面r(u,v)=ucosv,usinv,av的高斯曲率. 解 直接计算知 E=1，F=0，G=u2+a2，L=0，M=-au2+a2，N=0， K=LN-M2a2EG-F2=-(u2+a2)2 12. 求曲面z=xy2的渐近线. 解 z=xy2，则p=¶z¶¶x=y2，q=¶z2¶y=2xy，r=z¶2z¶x2=0，s=¶x¶y=2y， 所以，L=0， M=2y1+y4+4x2y2，N=2x1+y4+4x2y2渐近线微分方程为4ydxdy+2x1+y4+4x2y21+y4+4x2y2dy2=0， 化简得dy(2ydx+xdy)=0， dy=0或2yd+xxd=y0 渐近线为y=C1，x2y=C2 13. 求螺旋面r=ucosv,usinv,bv上的曲率线. 解 ru=cosv,sinv,0,rv=-usinv,ucosv,b 8 t=¶2z¶y2=2x 2 E=ur2=1,F=ur×vr=0,=Gv2r=2 u+b,n=ru´rvbsinv,-bcosv,ubsinv,-bcosv,u =22ru´rvbsinv,-bcosv,ub+u-bu+b22ruu=0,0,0,ruv=-sinv,cosv,0,rvv=-ucosv,-usinv,0，L=0,M=曲率线的微分方程为: dv210-dudv0-bu+b22,N=0 du2u2+b2=0 或dv=±01u+b22du 积分得两族曲率线方程: v=ln(u+u2+b2)+c1和v=ln(u2+b2-u)+c2. 14. 求马鞍面r=u,v,u2-v2在原点处沿任意方向的法曲率. 解 ru=1,0u,2rv=,， -0v,1,E=ru2=1+4u2,F=rurv=-4uv,G=1+4v2 =(1+4u2)du2-8uvdudv+(1+4v2)dv2 n=-2u,2v,1， ru´rv=ru´rv4u2+4v2+124u+4v+1222L=nruu=,M=nruv=0, N=nrvv=-24u+4v+1222的测地曲率 解 因为正螺面的第一基本形式为=du2+(u2+a2)dv2，螺旋线是正螺面的v-曲线u=u0， 10 由q=p2得dqGuu=0由正交网的坐标曲线的测地曲率得kg=202 ds2GEu0+a五、证明题 1. 设曲线：r=r(s),证明：kt=-a×g;(r,r,r)=k2t. 证明 由伏雷内公式，得a=kb，g=-tb, 两式作点积，得a×g=-tkb×b=-tk, kt=-a×g. r=a，r=a=kb, r=kb+kb=kb+k(-ka+tg)=-k2a+kb+ktg (r,r,r)=(a,kb,-k2a+kb+ktg)=(a,kb,ktg)=k2t. 2. 设曲线：r=r(s), 证明：(r,r,r)=k3(kt-tk). 证明 由伏雷内公式，得 r=kb+kb=kb+k(-ka+tg)=-k2a+kb+ktg r=a=kb，r=-3kka+(-k3+k-kt2)b+(2kt+kt)g (r,r,r)=(kb´(-k2a+kb+ktg)(-3kka+(-k3+k-kt2)b+(2kt+kt)g) =(k3g+k2ta)(-3kka+(-k3+k-kt2)b+(2kt+kt)g)=-3k3kt+2k3kt+k4t=k3(kt-tk) 3. 曲线G:r=r(s)是一般螺线，证明G:r1=Ra-òbds也是一般螺线 a-òbd，证明 r1=R s两边关于s微商，得 ds11=Ra+Ra-b=Ra+Rb-b=Ra， dsRa1由于是一般螺线，所以G也是一般螺线. a1a，4. 证明曲线r(t)=aòsinj(t)dt,aòcosj(t)dt,bt(a,b是常数）是一般螺线 inta,jcots( b)证明 r¢(t)=asjr¢¢(t)=aj¢(t)cosj(t),-aj¢(t)sinj(t),0, r¢¢¢(t)=aj¢¢(t)cosj(t),-sinj(t),0+aj¢(t)2-sinj(t)，cosj(t),0 r¢´r¢¢=aj¢(t)a2+b2,(r¢,r¢¢,r¢¢¢)=-a2bj¢(t)， 3k=kr¢´r¢¢r¢=-3r¢,r¢¢,r¢¢¢)(ba¢=2j(t),t=-j¢(t), 222a+b2a+br¢´r¢¢t5曲面S上一条曲线(C), P是曲线(C)上的正常点，k,kn,kg分别是曲线(C)在点P的曲率、法曲率与测地曲率，证明k2=kn2+kg2 11 a . b证明 测地曲率kg=kb×e=kb×(n´a)=k(a,b,n)=kg×n=±ksinq. (q是主法向量b与法向量n的夹角) 法曲率kn=kb×n=kcosq， k2=kn2+kg2. 6. 证明曲线r=etcost,etsint,0的切向量与曲线的位置向量成定角 证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为r=etcost,etsint,0，该点切线的切向量为：r¢=et(cost-sint),et(sint+cost),0，则有： r×r¢e2t2p，故夹角为. cosq=tt4rr¢22e×e由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角 7证明：若r¢和r¢¢对一切t线性相关，则曲线是直线 证明 若r¢和r¢¢对一切t线性相关，则存在不同时为0的f(t),g(t)使 f(t)r¢(t)+g(t)r¢¢(t)=0， 则 "t,r¢(t)´r¢¢(t)=0, 又k(t)=r¢´r¢¢r¢3，故"t有k(t)=0.于是该曲线是直线 8 证明圆柱螺线x=acost,y=asint,z=bt的主法线和z轴垂直相交 证明 由题意有 r¢(t)=-asint,acost,b,r¢¢(t)=-acost,-asint,0， 由b=(r¢×r¢)r¢¢-(r¢×r¢¢)r¢知b=-cost,-sint,0. r¢×r¢´r¢¢另一方面z轴的方向向量为a=0,0,1，而a×b=0，故ab，即主法线与z轴垂直 9证明曲线x=asin2t,y=asintcost,z=acost的所有法平面皆通过坐标原点 证明 由题意可得r¢(t)=asin2t,acos2t,-asint，则任意点的法平面为 asin2t0(x-asin2t0)+acos2t0(y-asint0cost0)-asint0(z-acost0)=0将点代入上述方程有 左边=asin2t0(0-asin2t0)+acos2t0(0-asint0cost0)-asint0(0-acost0)=0=右边， 故结论成立 10证明曲线x=1+3t+2t2,y=2-2t+5t2,z=1-t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明 r=1+3t+2t2,2-2t+5t2,1-t2，r¢=3+4t,-2+10t,-2t， r¢¢=4,10,-2，r¢¢¢=0,0,0(r¢,r¢¢,r¢¢¢)=0, t=0，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面 12 r¢(0)=3,-2,0， r¢¢(0)=4,10,-2 x1y2z1密切平面方程为34-2100=0， -2化简得其所在的平面方程是2x+3y+19z270. 11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线. 证明 设曲线方程r=r(s)，定点的向径为R0，则 r(s)-R0=l(s)a 两边求微商，得a=l(s)a+l(s)a=l(s)a+l(s)kb ì1-l0 (1-l(s)a-l(s)kb=0 由于a,b线性无关，íkl0î k0曲线是直线. 12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线. 证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 r=r(t)， 则曲面在任一点的密切平面方程为 (r-r(t),r¢(t),r¢¢(t)=0 因任一点的密切平面过定点，所以 ¢¢(o-r(t),r¢(t),r¢¢(t)=0, 即 (r(t),¢r(t)r,=t ) 所以 r=r(t)平行于固定平面， 所以 r=r(t)是平面曲线. r 13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e，证明曲线是直线或平面曲线. 证明 根据已知条件，得a×e=0.， 两边求导，得 a×e=0，由伏雷内公式得 kb×e=0， )k=0，则曲线是直线； )b×e=0 又有可知 ge 因e是常向量，所以g是常向量， 于是 |t=|g|=| 0 ,所以t=0 ，所以曲线为平面曲线. 14. 设在两条挠曲线G,G的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行. 证明 g±g , g±gds2 ds1ds2b1=±b2 进而a1=±a2 ds1由伏雷内公式得tb1±tb15. 证明挠曲线的主法线曲面是不可展曲面. 证明 设挠曲线为r=r(s)，则挠率t¹0， 其主法线曲面的方程是：r=r(s)+tb(s) 取a=r(s),b=b(s)，则 13 a¢=a(s),b¢=b(s)=-katg 所以, (a¢,b,b¢)=(a(s),b(s),-katg)=(a(s),b(s),-ka)(a(s),b(s),tg)t¹0 所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面. 16. 证明挠曲线的副法线曲面是不可展曲面. 证明 设挠曲线为r=r(s)，则挠率t¹0， 其副法线曲面的方程是：r=r(s)+tg(s) 取a=r(s),b=g(s)，则a¢=a(s),b¢=g(s)=-tb 所以, (a¢,b,b¢)=(a(s),g(s),-tb)=t¹0，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. 17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证明 设曲线rr(s),则曲线的主法线曲面为r=r(s)+vb(s) rs=a+=(1-vk)a+vtg, rv=b(s),n=rs´rvg-vta =, 沿曲线n=g，22rs´rv+所以主法向量与曲面的法向量夹角q=p2,kn=kcosq=0, 所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线. 18. 证明二次锥面r=aucosq,businq,cu沿每一条直母线只有一个切平面. 证明 r=aucoq s,busqinc,=uuaqcosbq,s=icn+,j为直纹面qu (0,j(q),j¢(q)）=0, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面. 也可以用高斯曲率K=0证明. 19. 给出曲面上一条曲率线G，设G上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证G是一平面曲线. 证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角q0，则gcosq0 两边求微商，得 gg0 由于曲线G是曲率线，所以a，进而g0，由伏雷内公式得tb0 t0时，G是一平面曲线 nb0，即nb，kn=kcosq=0， 又因为G是曲率线，所以dn=-kndr=0即n是常向量，所以G是平面曲线. 20求证正螺面上的坐标曲线互相垂直 证明 设正螺面的参数表示是r(u,v)=ucosv,usinv,bv，则 ru=cosv,sinv,0，rv=-usinv,ucosv,b， Þru×rv=cosv,sinv,0×-usinv,ucosv,b=0，故正螺面上的坐标曲线互相垂直 14 21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明 由欧拉公式kn=k1cos2q+k2sin2q k*n=k1cos2±+k2sin2± 22pp=k1sin2q+k2cos2q 所以kn+k*n=k1+k2常数. 22. 如果曲面上非直线的测地线G均为平面曲线，则G必是曲率线. 证明 因为曲线G是非直线的测地线，所以沿此曲线有n=±b, 从而n=±(-ka+tg),又因为曲线是平面曲线，所以t=0, 进一步n=±ka.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面z=f(x)+f(y)上曲线族x=常数，y =常数构成共轭网. 证明 曲面的向量表示为 r(x,y)=x,y,f(x)+f(y),x=常数,y=常数是两族坐标曲线. rx=1,0,f¢,ry=0,1,g¢. rxx=0,0,f¢¢,rxy=0,0,0,ryy=0,0,g¢¢, 因为M=rxy×rx´ryEG-F2=0,所以坐标曲线构成共轭网， 即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网. 24证明马鞍面z=xy上所有点都是双曲点 证明 参数表示为r(x,y)=x,y,xy，则 rx=1,0,y，ry=0,1,x，rxx=0,0,0，rxy=0,0,1，ryy=0,0,0， rx´ry=-y,-x,1，n=rx´ry|rx´ry|=-y,-x,1x+y+122， L=rxx×n=0， M=rxy×n=LN-M2=0´0-1x+y+122，N=ryy×n=0， 11=-<0， x2+y2+1x2+y2+1II(du,dv)与方向无关，则称该点是曲I(du,dv)故马鞍面z=xy上所有点都是双曲点 25如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即面的脐点；如果曲