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微分几何习题全解微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) × rrrrrrrr'(t)= 0。 r 分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=l(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向rr量函数，l(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，rr即e(t)为常向量，。 rrrrr 证 对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=l(t)e(t)，若r(t)具有固rrrrrrrr定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)=l'(t)e，所以 r×r'=ll'=0。 rrrrrrrrrer'反之，若r×r'=0 ，对r(t)=l(t)e(t) 求微商得=l'e+l'，于是r×rrrrrrrrr2r'=l=0，则有 l = 0 或e×e'=0 。当l(t)= 0时，r(t)=0可与任意方向平行；当l¹rrrrrrr2r2rrr20时，有e×e'=0，而 ，所以 '=0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。 rrr6向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是=0 。 rr分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使rrrrrrr(t)·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n及n与r'，r''的关系。 rrr证 若r(t)平行于一固定平面，设n是平面的一个单位法向量，则n为常向rrrrrrrr量，且r(t)·n = 0 。两次求微商得r'·n = 0 ，r''·n = 0 ，即向量r，r'，r''垂直rrr于同一非零向量n，因而共面，即=0 。 rrrrrrrrrrr反之, 若=0，则有r×r'=0 或r×r'¹0。若r×r'=0，由上题知rrrr(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r×r'¹r0，则存在数量函数l(t)、rrm(t)，使r''= lr+mr' 1 微分几何主要习题解答 rrr令n=r×r'，则n¹rrrrrr0，且r(t)n(t)。对n=r×r'求微商并将式代入得rrrrn'=r×r''=m=mrrrrrrn，于是n×n'=0，由上题知n有固定方向，而r(t)rrn，即r(t)平行于固定平面。 §3 曲线的概念 1求圆柱螺线x=cost，y=sint，z=t在的切线和法平面。 r解 令cost=1,sint=0, t=0得t=0, r'(0)= -sint,cost,1|t=0 =0,1,1,曲线在(0,1,1)的切线为 x-1=y=z ，法平面为 y + z = 0 。 011r2求三次曲线r=at,bt2,ct3在点t0的切线和法平面。 23x-at0y-bt0z-ct0r2解 r'(t0)=a,2bt0,3ct0，切线为， =2a2bt03ct0223法平面为 a(x-at0)+2bt0(y-bt0)+3ct0(z-ct0)=0。 3. 证明圆柱螺线r= a cosq,asinq,bq (-¥pqp+¥)的切线和z轴作固定角。 rr证明 '= -asinq ,acosq,b,设切线与z轴夹角为j,则cosj rrrr'×kb=rr=22为常数，故j为定角。 |r|e|a+b4. 求悬链线r=tt，acosha从t=0起计算的弧长。 t解 r'= 1，sinha，|r' | =rr1+sinh2tat = cosha， òcosh0ttatdt=asinha 。 求曲线x=3ay,2xz=a322ay=在平面3 与y = 9a之间的弧长。 arx3a2解 曲线的向量表示为rx,2,，曲面与两平面y=3 与y = 9a的交3a2x2 微分几何主要习题解答 rrx2a2x2a2x4a4点分别为x=a 与x=3a , r'1,2,-2，r'1+42+2，a2xa44xa2x所求弧长为s=ò3aax2a2(2+2)dx=9a 。 a2x10. 将圆柱螺线r=acost，asint，bt化为自然参数表示。 rr解 '= -asint,acost,b，s = sa+b22òt0r|r'|dt=a2+b2t，所以t=sbsa+b22sa+b22， 代入原方程得 r=acos, asina+b22, 11.求用极坐标方程r=r(q)给出的曲线的弧长表达式。 r解 由x=r(q)cosq，y=r(q)sinq知r'=r'(q)cosq-r(q)sinq，r'(q)sinqs=òqq0rr+r(q)cosq，|'| = r2(q)+r'2(q)，从q0到q的曲线的弧长是r2(q)+r'2(q)dq 。 §4 空间曲线 1求圆柱螺线x=acost，y=asint，z= bt在任意点的密切平面的方程。 r解 r'= -asint,acost,b,r''=-acost,- asint,0 所以曲线在任意点的密切平面的方程为 x-acost-asint-acosty-asintacost-asintz-btb0r = 0 ，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0 . 2. 求曲线r = tsint,tcost,tet 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。 解 原点对应t=0 , r'(0)= sint+tcost,cost- tsint,et+tett=0=0,1,1， r3 微分几何主要习题解答 rr''(0)=2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tett=0 =2,0,2 ， 所以切线方程是 xyz= ，法面方程是 y + z = 0 ； 011xyz密切平面方程是011=0 ，即x+y-z=0 ， 202ìx+y-z=0yxz= ； 主法线的方程是í 即=2-11îy+z=0从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式xyz= 。 11-13证明圆柱螺线x=acost，y=asint，z= bt的主法线和z轴垂直相交。 rrr证 r'= -asint,acost,b, r''=-acost,- asint,0 ，由r'r''知r''为rrrr主法线的方向向量，而r''×k=0 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是 x-acosty-asintz-bt= costsint0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。 4.在曲线x = cosacost ,y = cosasint , z = tsina的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。 解 r'= -cosasint, cosacost, sina , r''= -cosacost,- cosasint , 0 rrr'´r''g=rr=sinasint ,- sinacost , cosa |r'´r''|rrr新曲线的方程为r= cosacost + sinasint ，cosasint- sinacost ，tsina + cosa 对于新曲线r'=-cosasint+ sinacost ，cosacost+ sinasint，sina =sin(a-t), rcos(a-t), sina , r''= -cos(a-t), sin(a-t),0 ,其密切平面的方程是 x-cosacostsin(a-t)-cos(a-t)y-cosasintcos(a-t)sin(a-t)z-tsinasina0=0 r即 sina sin(t-a) x sina cos(t-a) y + z tsina cosa = 0 . 4 微分几何主要习题解答 5证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一： rÞ设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径r(t)具有固定长，所以r·r'= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。 Ü 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，rr则r·r'= 0，r(t)具有固定长，对应的曲线是球面曲线。 方法二： r=r(t)是球面曲线Û存在定点r0和常数R使(r-r0)2=R2Û2(r-r0)×r¢=0 ，即(r-r0)×r¢=0 而过曲线r=r(t)上任一点的法平面方程为(r-r)×r¢=0 。可知法平面过球面中心Û成立。 所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 6.证明过原点平行于圆柱螺线r=acost，asint，bt的副法线的直线轨迹是锥面a2(x2+y2)=bz2. rrrr'rr''证 = -asint,acost, , =-acost,- asint,0 ，'×rr''=-a-bsint,bcost,-a为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是yxz= ，消去参数t得a2(x2+y2)=bz2。 bsint-bcosta7求以下曲面的曲率和挠率 r r=acosht,asinht,at, r r=a(3t-t3),3at2,a(3t+t3)(af0)。 rrr解 r'=asinht,acosht,a，r''=acosht,asinht,0，r'''=asinht,cosht,0，rrrr|r'´r''|2a2cosht1r'´r''=a-sinht,cosht,-1，所以k=r3= =23|r'|2acosht(2acosht)5 微分几何主要习题解答 rrr(r',r'',r''')a21 。 t=rr2=4=22(r'´r'')2acosht2acoshtrrr r'=3a1-t2,2t,1+t2，r''=6a-t,1,t,r'''=6a-1,0,1， rrrr18a22(t2+1)|r'´r''|222 r'×r''=18at-1,-2t,t+1 ，k=r3=223|r'|27a22(t+1)rrr(r',r'',r''')18´6a3´21 。 t=rr2=24=2222(r'´r'')18a´2(t+1)3a(t+1) 1 223a(t+1)rrrr33 8已知曲线r=cost,sint,cos2t，求基本向量a,b,g；曲率和挠率；验证伏雷内公式。 分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。 r解 r'=-3cos2tsint,3sin2tcost,-2sin2t=sintcost-3cost,3sint,-4， rrr'dsr334=|r'(t)|=5sintcost,， 则a=r=-cost,sint,-， dt|r'|555rdadt133aa=sint,cost,0 ， b=·=sint,cost,0， rdtds5sintcost55|a|rrr443g=a´b=cost,-sint,-， 555···rrrr34-sint,-cost,0 ，由于g与b方 k=|a|= ，g=25sintcost25sintcost·r4向相反，所以 t=|g|= 25sintcost··rrr··rrrr 显然以上所得 a,kb,g,t满足 a=kb,g=-tb，而 ·rrr··b=rrr1cost,-sint,0=-ka+tg 也满足伏雷内公式 。 5sintcost9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。 r证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为rr(t)，则曲线在rrrrr任意点的切线方程是r-r(t)=lr'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t)=lr'(t)，6 微分几何主要习题解答 rr可见rr'，所以r具有固定方向，故rr(t)是直线。 r方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为rr(t)，则曲线在任意rrrrr点的切线方程是r-r(t)=lr'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t)=lr'(t)，于是r'lr''，从而r'×r''0，所以由曲率的计算公式知曲率k，所以曲线为直线。 方法二：设定点为r0，曲线的方程为rr(s)，则曲线在任意点的切线方程是rrrrrr-r(s)=la(s)，由条件切线都过定点r0，所以r0-r(s)=la(s)，两端求导得: -a(s)=l¢a(s)+lkb, 即(l¢+1)a(s)+lkb=0 ，而a(s),b(s)无关，所以l¢+1=0，可知l¹0,k(s)=0，因此曲线是直线。 10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。 r证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为rr(t)，则曲线在rrrr任意点的密切平面的方程是(r-r(t)×(r'(t)´r''(t)=0，由条件rrrrrrr-r(t)×(r'(t)´r''(t)=0，即=0，所以r平行于一固定平面，即rr(t)是平面曲线。 r方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为rr(s)，则曲线在任rrrrr意点的密切平面方程是(r-r(s)×g=0，由条件r(s)×g=0，两边微分并用伏雷内·rrrrrrrrr公式得 -tr(s)×b=0。若r(s)×b=0,又由r(s)×g=0可知r(s)a=r(s),所以rrrr(s)平行于固定方向，这时rr(s)表示直线,结论成立。否则t=0，从而知曲线是平面曲线。 r方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为rr(t)，则曲线在任意rrrrrrr点的密切平面方程是(r-r(t)×(r'(t)´r''(t)=0，由条件-r(t)×(r'(t)´r''(t)=0，rrrrrr即=0，所以r，r'，r''共面，若rr'，则rr(t)是直线，否则可设7 微分几何主要习题解答 r''=lr+mr',r'''=lr'+mr''，所以r',r'',r'''共面，所以t=0，从而知曲线是平面曲线。 r 11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么曲线是直线或平面曲线。 ·rrrr证 方法一：根据已知a×e=0，若a是常向量，则k=|a|=0 ，这时曲线是直·rrrrrrrrrr线。否则在a×e=0两边微分得a·e=，即 kb·e=,所以b·e=，又因a×e=0，·rrrrr所以ge，而g为单位向量，所以可知g为常向量，于是|t|=|g|=0，即t=0，此曲线为平面曲线。 rrrrr方法二：曲线的方程设为rr(t)，由条件r'·e，两边微分得r''·e，rrrrrrrrr'''·e，所以r'， r''，r'''共面，所以。由挠率的计算公式rrrr'r''可知t=0，故曲线为平面曲线。当×0时是直线。 rrr方法三：曲线的方程设为rr(t)，由条件r'·e，两边积分得。rr因r×e=p是平面的方程，说明曲线rr(t)在平面上，即曲线是平面曲线，当r'有固定方向时为直线。 12证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。 r证明 设曲线：rr(s)的曲率k为常数,其曲率中心的轨迹的方程rr1r为：r=r(s)+b(s) ，的主法向量），对于曲线两边微分krrrrtrrr1得 r'=a(s)+(-ka+tg)=g ，的单位切向量，副kkrr|t|trt2rrrt3rb，|r'|=法向量和挠率），r''=g-，r'´r''=2a，曲线的曲率为kkkkr·|t|3rr-2|r'´r''|k=r3=k3=k 为常数。 |t|r'|k313.证明曲线x=1+3t+2t2,y=2-2t+5t2,z=1-t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。 8 微分几何主要习题解答 rrr证 r'=3+4t, -+10t,-2t， r''=4，10，-， r'''，0，0 rrr(r',r'',r''')曲线的挠率是t=rr2=0，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任(r'´r'')一点的密切平面。对于=,r =,，r'=3, -,， r''=4，10，-， rr'''，0，0。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是rrx-1y-2z-134-2100=0 ，-2即2x+3y+19z 27 14设在两条曲线、G的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。 rrr 证 设曲线：r=r(s)与G：r=r(s)点s与s一一对应，且对应点的切线平行，rrrrds&ds&则a(s)=±a(s), 两端对s求微商得a=±a, 即kb(s)=±kb(s) ，(这里k¹0，dsdsrrrr&若k=|a|=0，则b无定义)，所以bb，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平rr行。 15设在两条曲线、G的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。 rrrraG证 设,a分别为曲线、的切向量,b,b 分别为曲线、G的主法向量,rrrrrrdrr&ds&×a(a×a)=a+a×a则由已知b(s)=±b(s) ，而 dsdsrrrrrrrrdsrrdskb×a+a×kb(s)=0。所以a·a常数， 将式代入 ±kb×a±(a×b)故量dsds曲线的切线作固定角。 16.若曲线的主法线是曲线G的副法线, 的 曲率、挠率分别为k,t。求证k=l0(k2+t2) ,其中l0为常数。 rrrrrGr(s)rr(s)l(s)证 设的向量表示为=，则可表示为=+ G的切向量b(s)，9 微分几何主要习题解答 rr&rrrrrr'=a+lb+l与b垂直，即r'·bl&，所以l为常数，设为l0，rrrrrrr则r'a+l0tg。再求微商有r''l0kakbl0t&grrrrl0t2b，r''·bkl0t2，所以有k=l0(k2+t2)。 17曲线r=a(t-sint),a(1-cost),4acos解 r'= a1-cost,sint,-2sint在那点的曲率半径最大。 2rrrttt , r''= asint,cost,-cos, |r'|=22|sin|, 22222222rrtttttttr'×r''=a2-2sin3,-2sin2cos,4acos=-2a2sin2sin,cos,1, 22rrrr|r'´r''|t222 , k=r3=|r'×r''|=2asin218a|sint|2|r| ,R=8a|sint| ,所以在2t=(2k+1)p，k为整数处曲率半径最大。 rrrr18 已知曲线(C)ÎC3:r=r(s)上一点r(s0)的邻近一点r(s0+Ds)，求rrrr(s0+Ds)点到r(s0)点的密切平面、法平面、从切平面的距离。 r3rrrrr&(s)Ds+1&&(s)Ds2+1&&&(s)+errDsr(s0+Ds)r(s0)r00023!rrrrrrrrr1132r3a0Ds+k0b0Ds(-k0a0+k0b0+k0t0g0+e)Ds，设e=e1a0+e2b0+e3g0，26rrr其中lime=0 。则r(s0+Ds)r(s0) 解 Ds®0rr111123r23Ds+(-k0+e1)Dsa0+k0Ds+(k0+e2)Dsb0+(k0t0+e3)Ds3g0 6266rr上式中的三个系数的绝对值分别是点r(s0+Ds)到r(s0)的法平面、从切平面、密切平面的距离。 10 微分几何主要习题解答 §5 一般螺线 5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线. r证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量g是常向量.rrr即g&=0。曲线的挠率的绝对值等于|g&|为零，所以曲线为平面曲线。 rrrrrn证法二：设是固定直线一向量，则'·n=0 ，积分得r·n=p ,说明曲线在以rn为法向量的一个平面上,因而为平面直线。 rrrrrrrr'r证法三：设n是固定直线一向量，则·n=0 ，再微分得''·n=0 ，r'''·n=0 。rrrrrr所以r' 、r'' 、r'''三向量共面，于是= 0 ，由挠率的计算公式知t=0，因此曲线为平面曲线。 7如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。 rrrr证 设一曲线为：rr(s)，则另一曲线G的表达式为：r=r(s)+l(s)g(s) ，g(s)为曲线在点s的主法向量，也应为G在对应点的副法线的方向向量。 rrrrrrrr&r'algltb与g正交，即r'·g，于是l&，l为常数。r'arrrrrltb，r''kbl而lt&rrrrrrblt也与g正交，即r''·g-lt2=0,为平面曲线。同理曲线G为平面曲线。 ¹,所以有t，曲线rr8. 如果曲线：rr(s)为一般螺线, a、b为的切向量和主法向量，R为rr的曲率半径。证明G：r=Raòbds也是一般螺线。 rr证 因为为一般螺线, 所以存在一非零常向量e使a与e成固定角,对于曲线rrr&rrr&aG,其切向量r'=Ra+Rkb-b=R与a共线,因此也与非零常向量e成固定角, 所以G也为一般螺线。 11 微分几何主要习题解答 .rrrr&&&&&9证明曲线rr(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r)=0 rrrrr.rrrr2r32&&&&&&b+ktg,r=-3kk&a+(-k+k&&-kt)b+(2k&t+kt&)g 证 r=kb，r=-ka+k.&trrrkt&-k5t&&&&&&t+kt&)-3k3k&t=k3(kt&-k&t)=k5(r,r,r)=k3(2kk，其中k¹0. 2kkttr曲线rr(s)为一般螺线的充要条件为 为常数,即·=0,也就是 kk.r.rr&&&&&(r,r,r)=0 。 .rrrrrr&&&&&&,a&&,a&r&&)=0。曲线rr方法二： (r,r,r)=0，即(a(s)为一般螺线，则存在常向rrrrrrrrrrr&×e&&×e&r&&×e&,a&&,a&r&&共面，&,a&&,a&r&&）量e，使a·e=常数，所以a从而=0，则a平行于固定平面，设固定平面的法矢为e，则有rrrr&ea×e=0，从而a·= p (常数)，所以rr(s)为一般螺线。 r方法三：曲线rr(s)为一般螺线Û存在常向量e使be，即b×e=0Ûb平行于固定平面Ûr平行于一固定平面Û(r,r,r)=0 。 r方法四："Þ"设rr(s)为一般螺线，存在常向量e使a×e=常数，即r×e=常.rrr&&&&&数，连续三次求微商得r×e=0,r×e=0，r×e=0 ，所以(r,r,r)=0。 .rrr&&&&&"Ü"因为(r,r,r)=0，所以r平行于固定平面，设固定平面的法矢为n，则rn，而br,bn，所以曲线为一般螺线。 10. 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。 r证 设曲线与G在对应点有公共的切线，且的表达式为：rr(s) ，则G：rrr=r(s)+l(s)a(s)，lr¹r&，其切向量为r'alalkb应与a平行，所以r12 微分几何主要习题解答 k，从而曲线为直线。同理曲线G为直线，而且是与重合的直线。所以作为非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。 11设在两条曲线、G的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果为一般螺线, 则G也为一般螺线。 rrr证 设曲线：r=r(s)与G：r=r(s)点建立了一一对应，使它们对应点的切rrrr&ds&=a线平行，则适当选择参数可使a(s)=a(s), 两端对s求微商得a, 即dsrrrrrdsdsrkb(s)=kb(s) ，这里f0，所以有b=b，即主法线平行，从而g(s)=g(s)，dsdsrdskdsr, 或=即两曲线的副法线也平行。且k=k。g(s)=g(s)两边对s求微商得dskdsrrdsdstdsktkk-tb(s)=-tb(s)，于是 t=t,或=，所以，= 或=。 dsdstdskttt13