张量与连续介质力学基本公式总结.docx
张量与连续介质力学基本公式总结第一章：矢量和张量 重要矢量等式：c´(a´b)=(b×c)a-(a×c)b 指标记法： 哑指标求和约定 自由指标规则 协变基底和逆变基底： ¶rgi=i gi×gj=dij ¶x¶xig=kek ¶xig1=张量概念 g2´g3g´gg´g g2=31 g3=12 ggg gi'=bi'igi gi'=bii'gi i'j'i'j'klijT=bbbbT.kl vi'=bii'vi vi'=biv .k'l'ijk'l'i'iv=vigi=vigi T=Tij.klgiÄgjÄgkÄgl 度量张量 G=gijgiÄgj=giÄgi=giÄgi v×G=G×v=vT×G=G×T=TTi.j=Tikgkj 张量的商法则 ijkT(i,j,k,l,m)Slm=Uijk T(i,j,k,l,m)=T.lm 置换符号 3n-1n12a.2a.3.a.na Aa.1-1.nei1i2i3.in iiiii 1 aaa.ai3i1i2.j1.j2.j3in-1in.jn-1.ni1i2i3.inae=Aej1j2j3.jndridsidtiijk drjdsjdtj=eijkerst=eijkerst=drstdrkdskdtkijkdist=dsjdtk-dtjdskdstjk ijkdijt=2dtk ijkdijk=6 置换张量 =eijkgiÄgjÄgk=eijkgiÄgjÄgk eijk=gi×(gj´gk)=eijkg eijkijke =gi×(gj´gk)=ga´b=aibjeijkgk=aibjeijkgk=(aÄb):=:(aÄb) 第二章： 二阶张量 重要性质：T.u=u.TT 主不变量 1jlmz1=Tr(T)=T.ii z2=dlimTT.i . j z3=det(T) 2(T×u)×(v´w)+u×(T×v)´w)+u×(v´(T×w)=z1u×(v´w) R=(cos(j)e1+sin(j)e2)Äe1+(-sin(j)e1+cos(j)e2)Äe2+e3Äe3 2 4. 反对称二阶张量的标准形 =me2Äe1-me1Äe2=me3´G ×u=´u 1=-:=me3´u 2=-× 5. 正则张量极分解 T=R×U=V×R 第三章 张量函数 概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 eT sin(T) 重要定理： 1. Hamilton-Cayley定理： l3-V1l2+V2l-V3=0ÞT3-V1T2+V2T-V3G=0 2.对称各向同性张量函数表示定理： H=f(N)=k0G+k1N+k2N2； 其中H=HT;N=NT；而系数ki是N的主不变量的函数。 张量函数的导数 1. 方向导数：T(A;C)=lim'1hh®0T(A+hC)-T(A) 是C的线性函数 ''2. 方向导数与导数之间的关系 T(A;C)=T(A):C 3. 导数T'(A)=¶T¶TijkÄ(gÄgÄg)=Ä(giÄgjÄgk) ijk¶A¶Aijk''*'4. 张量函数导数的链式法则：H(T)=G(F(T)，则 H(T)=G(F)nF(T) 重要辅助知识 3 tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(A×B)=A.jB.i=A:B=A:Btr(A×B×C)=A.jB.kC.i=tr(B×C×A)=tr(C×A×B)ijkijTT第四章：曲线坐标系张量分析 基矢量的导数 ¶gj¶xikk=Gijgk km¶g¶xik=-Gkjgj iGij=gGij,m Gij,k=gHamilton 算子 Ñ=¶¶xiGkm mijÄg=i¶¶xi'Äg i'T×Ñ=¶T¶Tii ×gÑ×T=g× ii¶x¶x¶T¶TiiTÑ=iÄg ÑT=gÄi ¶x¶x¶T¶Tii T´Ñ=´g Ñ´T=g´i i¶x¶x张量的协变导数 ijÑsT.klij¶T.kl¶xsmjiimjijmijmij+T.klGms+T.klGms-T.mlGks-T.kmGlsT.kl;s 重要性质： 1度量张量的协变导数为零 2置换张量的协变导数为零 3张量分量的缩并与求协变导数次序可交换 4Ñs(A.ijkB.lm)=(ÑsA.ijk)B.lm+A.ijk(ÑsB.lm) 积分定理 4 òda*T=òdWÑ*T òT*da=òT*ÑdW AWAW òda×(Ñ´T)=òds×T SLòT×ds=-ò(T´Ñ)×da LSRiemann-Christoffel 张量 欧氏空间特性： Riemann曲率张量等于零 张量对曲线坐标的求导顺序可交换 张量的物理分量 掌握张量在标准基下分解时Hamilton 算子对张量的运算 第六章 连续介质力学基础 物质导数 Euler 坐标基底矢量的物质导数： DgiDt=¶gi¶xkv=-vGmkg mkkiDgiDtiDgDt=¶gi¶xkv=vGikgm kkm物质坐标基底矢量的物质导数： iDgDt×vÑ=-Ñv×g =-giii=gi×Ñv =vÑ×g变形梯度张量： =F×dr drkÄgk F-1=gkÄgk F=gk k F-T×gk=gF×gk=gF-1k=gk FT×gk=gk ×g5 应变张量 11E=(G+Ñu)(G+uÑ)-G=(Ñu+uÑ+Ñu×uÑ) 2211+uÑ-Ñu×uÑ) e=(G-(G-Ñu)(G-uÑ)=(Ñu22()小变形、小位移假设下 11) E»(Ñu+uÑ) ; e=(Ñu+uÑ22在直角坐标系下 E1æ¶ui¶uj¶uk¶uköij=2çè¶xj+¶xi+¶xi¶xj÷ ø线元、面元、体元 dr=F×dr da=JF-T×da dv=Jdv J=gg=det(F) 变形梯度的物质导数 Ñ=¶¶xkÄgk Ñ=¶k¶xkÄg F&=vÑ×F=vÑ F&-1=-F-1×vÑ 线元、面元、体元 的物质导数 dr&=vÑ×dr da&=(v×Ñ)da-(Ñv)×da dv&=(v×Ñ)dv J&=(v×Ñ)J E&=12FT×(vÑ+vÑ)×F=1T2F×D×F 6 几种应力 iÄgj ijgCauchy 应力 pn=n× =s-1ijj 第一类Piola-Kirchhoff应力 P=JF×=JsgiÄg第二类Piola-Kirchhoff应力 S=JF-1××F-T=JskmgkÄgm×=da×P=da×S×FT 面力 Tn=da连续介质力学的基本定律 质量守恒定律 &+(v×Ñ)r=0 r 动量定理 =rf+Ñ×v& r& rf+Ñ×P=rv动量矩定理 = 机械能守恒定律 +òrv×fdvdv=ò(v×v)r+ò:Ddv òv××dadt2SVVVTd1变形功率密度 &=P:F&=J:D S:E 掌握用张量方法推导弹性体运动方程 7
