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弦长公式证明及应用详解弦长公式证明及应用详解 公式为： |AB|=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2 1|y2-y1|=(y2+y1)2-4y2y1 2k和：|AB|=1+作用：应用弦长公式很方便，它所解决的问题是求直线与所有圆锥曲线所交弦的弦长，因为直线的斜率往往是已知的，这样再知道两个交点的横坐标或者纵坐标就可以直接利用公式求出来，如果不知道横纵坐标也可以直接把直线和圆锥曲线联立方程组，进而转化成一元二次方程利用韦达定理不用解方程代入公式直接求出弦长 公式证明： 证法一： 若直线l:y=kx+b与圆锥曲线相交与A、B两点，Acosa|AB|=同理： |AB|x1-x2|=cosa所以cosa=12|x1-x2|=1+k|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2 cosa|AB|=1+1|y2-y1|=(y2+y1)2-4y2y1 2k推导方法如下： |y-y12|AB|; =sina(a是倾斜角）1又因为：1+2ka=1+cos2=sina2asina+cos=2sina221sina2=1 sina所以：|AB|=1+12|y-y|=(y+y)-4y2y1 21212k特殊的，在如果直线AB经过抛物线的焦点，则|AB|=2P y2=1交于A、B两点，求AB的弦长 例题1：已知直线y=x+1与双曲线C:x-4解：设A且AB的中点在已知直线上 解：QA、B关于l:x+y=0对称 kl×kAB=-1 Qkl=-1 kAB=1 设直线AB的方程为y=x+b ，A 过抛物线y=4x的焦点，作倾斜角为a的直线交抛物线于A，B两点，且16求a的值 AB=3，x2+y2=1及点B(0,-2)，过左焦点F1与B的直线交椭圆于 已知椭圆方程2C、D两点，F2为椭圆的右焦点，求DCDF2的面积。 弦长公式的应用 1. 弦长问题 0)和B， 例1. 已知点A(-3，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长。 解：设点C，则 |CA|-|CB|=±2， 根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线 x2y2 2-2=1 ab由2a=2，2c=|AB|=23得a=1，b=222 故点C的轨迹方程是 y2=1 x-22ì2y2x-=1， 由ï得x2+4x-6=0 2íïy=x-2î 因为D>0，所以直线与双曲线有两个交点。 设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则 x1+x2=-4，x1x2=-6, 故|DE|=1+12|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=45 2. 求曲线的方程 例2. 已知点A(-1，-4)，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，直线l：y=2x-2与抛物线C交于M1、M2两点，若|AM1|、|M1M2|、|AM2|成等比数列，求抛物线C的方程。 解：设抛物线C：y=2px(p>0)，M1(x1，y1)，M2(x2，y2)， 显然点A在直线l上， 2ìy2=2px，得 由íy=2x-2î y2-px-2p=0， 所以y1+y2=p， y1y2=-2p 由图1，知y1>-4，y2>-4， 图1 ×AM2|，即 又|M1M2|=|AM1|æçè=ö11+2|y1-y2|÷2ø1+2211(y+4)1+(y2+4)，12222 2亦即(y1+y2)-4y1y2=y1y2+4(y1+y2)+16，p2+8p=-2p+4p+16，解得p=2或p=-8 故抛物线C的方程为y=4x。 例3. 已知F是定点，l是定直线，点F到直线l的距离为p(p>0)，点M在直线l上2滑动，动点N在MF延长线上，且满足|FN|1=，求动点N的轨迹方程。 |MN|MF| 解：如图2所示，以点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系。 图2 设N(x，y)(x>0)，则kFN=y. x×NF|， 由于|MN|=|MF| 根据公式，得 y2y2y21+2(x+p)=1+2p×1+2x， xxx化简，得px2+y2=x+p(x>0)， 平方整理，得点N的轨迹方程为 (p-1)x+py-2px-p=0(x>0). 3. 范围问题 22222x2y2+=1(2£m£5)的左焦点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆及 例4. 过椭圆mm-1其准线的交点从左至右依次为A、B、C、D，记f(m)=|AB|-|CD|，求f(m)的取值范围。 图3 解：由条件，知直线l：y=x+1，椭圆准线：x=±m， A(-m，-m+1)，D(m，m+1). 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 其中-m<x1<x2<m，则 |AB|=1+12|x1-(-m)|1+12|m-x2|=2(m-x2)，2(x1+m)，2|x1+x2|.|CD|=f(m)=|AB|-|CD|=ìy=x+1ï由íx2得y2+=1.ïmm-1î(2m-1)x2+2mx-m2+2m=0.因为2£m£5所以f(m)=2-2m22m=2m-12m-1=é1021ö42ùæ2ç1+Î，÷êúè2m-1ø93ëû练习： x2y2 设双曲线2-2=1(a>0，b>0)的右顶点为A，P是双曲线上的一个动点。从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点。 图4 ×OR| 证明无论P点在什么位置，总有|OP|=|OQ|； 2|AP|2 求T=的取值范围。 |AQ|×AR|b2且T¹1） （答案：T>2a+b2