数学方法插值课件.ppt
1,实验目的,实验内容,2、掌握用数学软件包求解插值问题。,1、了解插值的基本内容。,1一维插值,2二维插值,3实验作业,2,拉格朗日插值,分段线性插值,三次样条插值,一 维 插 值,一、插值的定义,二、插值的方法,三、用Matlab解插值问题,返回,3,返回,二维插值,一、二维插值定义,二、网格节点插值法,三、用Matlab解插值问题,最邻近插值,分片线性插值,双线性插值,网格节点数据的插值,散点数据的插值,4,一维插值的定义,5,返回,6,称为拉格朗日插值基函数。,已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,xn处的函数值为 y0,y1,yn。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：Pn(xi)=yi,i=0,1,n.,解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下,其中Li(x)为n次多项式：,拉格朗日(Lagrange)插值,7,拉格朗日(Lagrange)插值,特别地:,两点一次(线性)插值多项式:,三点二次(抛物)插值多项式:,8,拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 Runge现象,采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.,例,返回,To Matlablch(larg1),9,分段线性插值,计算量与n无关;n越大，误差越小.,10,To MATLABxch11，xch12，xch13，xch14,返回,例,用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.,1.在-6,6中平均选取5个点作插值(xch11),4.在-6,6中平均选取41个点作插值(xch14),2.在-6,6中平均选取11个点作插值(xch12),3.在-6,6中平均选取21个点作插值(xch13),11,12,比分段线性插值更光滑。,在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。,三次样条插值,13,三次样条插值,g(x)为被插值函数。,14,例,用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych),返回,To MATLABych(larg1),15,16,用MATLAB作插值计算,一维插值函数：,yi=interp1(x，y，xi，method),nearest：最邻近插值linear：线性插值；spline：三次样条插值；cubic：立方插值。缺省时：分段线性插值。,注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。,17,例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。,To MATLAB(temp),hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline);(直接输出数据将是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:)%作图xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius),18,例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。,To MATLAB(plane),返回,19,二维插值的定义,第一种（网格节点）：,20,已知 mn个节点,21,第二种（散乱节点）：,22,返回,23,注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。,最邻近插值,二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。,返回,24,将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：,分片线性插值,f(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4,25,插值函数为：,第二片(上三角形区域)：(x,y)满足,插值函数为：,注意：(x,y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；,分两片的函数表达式如下：,第一片(下三角形区域)：(x,y)满足,返回,26,双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形式如下：,其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。,双线性插值,返回,27,要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),用MATLAB作网格节点数据的插值,nearest 最邻近插值linear 双线性插值cubic 双三次插值缺省时,双线性插值,28,例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。,输入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps),1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.,2以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.,29,再输入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)画出插值后的温度分布曲面图.,To MATLAB(wendu),30,通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。,To MATLAB(moutain),返回,31,插值函数griddata格式为:,cz=griddata（x，y，z，cx，cy，method）,用MATLAB作散点数据的插值计算,要求cx取行向量，cy取为列向量。,nearest 最邻近插值linear 双线性插值cubic 双三次插值v4-Matlab提供的插值方法缺省时,双线性插值,32,例 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。,33,To MATLAB hd1,返回,4.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.,3.做海底平面图,34,一、问题分析：,假设：该海域海底是平滑的。由于测量点是散乱分布的，先在平面上作出测量点的分布图，在利用二维插值方法补充一些点的水深，然后作出海底曲面图和等高线图，并求出水深小于5的海域范围。,二、问题求解：,1、作出测量点 的分布图：,35,2、作出海底地貌图,36,3、危险区域海底地貌图,37,4、危险区域平面图,38,实验作业,山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200=x=4000,1200=y=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。,返回,
